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1. 下图中，$∠ ACB$ 是圆心角的是 （
A
B
C
D
B
）A
B
C
D
答案
1.B
解析
【分析】
要判断∠ACB是否为圆心角，首先明确圆心角的判定条件：①角的顶点必须是圆的圆心；②角的两条边都与圆相交。本题中∠ACB的顶点为C，因此只需判断C点是否为所在圆的圆心，且CA、CB是否与圆相交即可，接下来逐一分析各选项即可得出答案。
【解析】
根据圆心角的定义：顶点在圆心，且两边都与圆相交的角叫做圆心角。
已知要判断的角是∠ACB，其顶点为点C，因此需满足点C是圆的圆心，且CA、CB均与圆相交：
选项A：点C在圆周上，不是圆心，不符合圆心角要求；
选项B：点C是圆的圆心，CA、CB均为圆的半径，与圆相交，符合圆心角定义；
选项C：点C在圆内但不是圆心，不符合要求；
选项D：点C在圆周上，圆心为点A，不符合要求。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
圆心角的定义
【点评】
本题属于基础概念题，核心考查圆心角的识别，解题时要注意先明确所判断角的顶点，再结合“顶点在圆心”这一核心特征判断即可，避免因看错角的顶点导致失误。
【难度系数】
0.9
要判断∠ACB是否为圆心角，首先明确圆心角的判定条件：①角的顶点必须是圆的圆心；②角的两条边都与圆相交。本题中∠ACB的顶点为C，因此只需判断C点是否为所在圆的圆心，且CA、CB是否与圆相交即可，接下来逐一分析各选项即可得出答案。
【解析】
根据圆心角的定义：顶点在圆心，且两边都与圆相交的角叫做圆心角。
已知要判断的角是∠ACB，其顶点为点C，因此需满足点C是圆的圆心，且CA、CB均与圆相交：
选项A：点C在圆周上，不是圆心，不符合圆心角要求；
选项B：点C是圆的圆心，CA、CB均为圆的半径，与圆相交，符合圆心角定义；
选项C：点C在圆内但不是圆心，不符合要求；
选项D：点C在圆周上，圆心为点A，不符合要求。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
圆心角的定义
【点评】
本题属于基础概念题，核心考查圆心角的识别，解题时要注意先明确所判断角的顶点，再结合“顶点在圆心”这一核心特征判断即可，避免因看错角的顶点导致失误。
【难度系数】
0.9
2. [2025·芜湖一模]图1是一个球形烧瓶，图2是这个球形烧瓶下半部分的平面示意图. 若D为$\overset{\frown}{AB}$的中点，$∠ AOB=100°$，则$∠ AOD=$（
A.$100°$
B.$60°$
C.$50°$
D.$40°$
C
）A.$100°$
B.$60°$
C.$50°$
D.$40°$
答案
2.C
解析
【分析】
首先明确弧中点的定义：若点为弧的中点，则该点将弧分成两个相等的弧。再结合同圆中相等的弧所对的圆心角相等的性质，可知∠AOD与∠BOD相等，因此∠AOD是∠AOB的一半，代入已知角度计算即可得到结果。
【解析】
∵D为$\overset{\frown}{AB}$的中点，
∴$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$，
∵在同圆中，等弧所对的圆心角相等，
∴$∠ AOD=∠ BOD=\frac{1}{2}∠ AOB$，
又
∵$∠ AOB=100°$，
∴$∠ AOD=\frac{1}{2}×100°=50°$。
【答案】
C
【知识点】
弧中点的定义，圆心角与弧的关系
【点评】
本题是基础类题目，主要考查圆心角和弧之间的对应关系，熟练掌握同圆中等弧对等圆心角的性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
首先明确弧中点的定义：若点为弧的中点，则该点将弧分成两个相等的弧。再结合同圆中相等的弧所对的圆心角相等的性质，可知∠AOD与∠BOD相等，因此∠AOD是∠AOB的一半，代入已知角度计算即可得到结果。
【解析】
∵D为$\overset{\frown}{AB}$的中点，
∴$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$，
∵在同圆中，等弧所对的圆心角相等，
∴$∠ AOD=∠ BOD=\frac{1}{2}∠ AOB$，
又
∵$∠ AOB=100°$，
∴$∠ AOD=\frac{1}{2}×100°=50°$。
【答案】
C
【知识点】
弧中点的定义，圆心角与弧的关系
【点评】
本题是基础类题目，主要考查圆心角和弧之间的对应关系，熟练掌握同圆中等弧对等圆心角的性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
3. 如图，AB，CD分别为$\odot O$的两条弦，$OM ⊥ AB$于点M，$ON ⊥ CD$于点N，且$OM=ON$，则下列结论错误的是（
A.$AB=CD$
B.$∠ AOB=∠ COD$
C.$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$
D.$ON=CN$
D
）A.$AB=CD$
B.$∠ AOB=∠ COD$
C.$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$
D.$ON=CN$
答案
3.D
解析
【分析】
解题时先回忆同圆中圆心角、弧、弦、弦心距的关系定理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。首先根据已知的$OM⊥AB$、$ON⊥CD$且$OM=ON$，可先判断AB、CD对应的弦、弧、圆心角的关系，再分析D选项，结合垂径定理可知CN是CD的一半，只有当$△ OCN$为等腰直角三角形时$ON=CN$，题目无此条件，即可判断错误选项。
【解析】
解：$\because OM⊥AB$，$ON⊥CD$，OM、ON分别是弦AB、CD的弦心距，且$OM=ON$
$\therefore$根据同圆中弦心距相等对应弦相等，可得$AB=CD$，故A选项正确，不符合题意；
$\because$弦相等对应的圆心角相等，$\therefore ∠AOB=∠COD$，故B选项正确，不符合题意；
$\because$弦相等对应的劣弧相等，$\therefore \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，故C选项正确，不符合题意；
$\because ON⊥CD$，由垂径定理得$CN=\frac{1}{2}CD$，题目未给出$∠OCD=45°$等条件，无法证明$ON=CN$，故D选项错误，符合题意。
故选：D。
【答案】
D
【知识点】
圆心角弧弦弦心距的关系，垂径定理
【点评】
本题属于基础概念应用题，核心考查同圆中四组量（圆心角、弧、弦、弦心距）的等量换算规律，掌握“一组量相等，其余对应量都相等”的结论可快速判断前三个选项，D选项需要注意不能默认三角形为特殊三角形，要结合已知条件判断。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆同圆中圆心角、弧、弦、弦心距的关系定理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。首先根据已知的$OM⊥AB$、$ON⊥CD$且$OM=ON$，可先判断AB、CD对应的弦、弧、圆心角的关系，再分析D选项，结合垂径定理可知CN是CD的一半，只有当$△ OCN$为等腰直角三角形时$ON=CN$，题目无此条件，即可判断错误选项。
【解析】
解：$\because OM⊥AB$，$ON⊥CD$，OM、ON分别是弦AB、CD的弦心距，且$OM=ON$
$\therefore$根据同圆中弦心距相等对应弦相等，可得$AB=CD$，故A选项正确，不符合题意；
$\because$弦相等对应的圆心角相等，$\therefore ∠AOB=∠COD$，故B选项正确，不符合题意；
$\because$弦相等对应的劣弧相等，$\therefore \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，故C选项正确，不符合题意；
$\because ON⊥CD$，由垂径定理得$CN=\frac{1}{2}CD$，题目未给出$∠OCD=45°$等条件，无法证明$ON=CN$，故D选项错误，符合题意。
故选：D。
【答案】
D
【知识点】
圆心角弧弦弦心距的关系，垂径定理
【点评】
本题属于基础概念应用题，核心考查同圆中四组量（圆心角、弧、弦、弦心距）的等量换算规律，掌握“一组量相等，其余对应量都相等”的结论可快速判断前三个选项，D选项需要注意不能默认三角形为特殊三角形，要结合已知条件判断。
【难度系数】
0.8
4.如图，AB为$\odot O$的直径，C，D是BE的三等分点.若$∠ AOE=60°$，则$∠ BOD$的度数为（
A.$40°$
B.$60°$
C.$80°$
D.$120°$
C
）A.$40°$
B.$60°$
C.$80°$
D.$120°$
答案
4.C
解析
【分析】
解题时首先结合直径对应的平角性质求出∠BOE的度数，再根据同圆中相等的弧对应的圆心角相等的性质，结合C、D是弧BE的三等分点，求出每一段弧对应的圆心角度数，最后计算∠BOD的度数即可。
【解析】
∵AB为$\odot O$的直径，
∴$∠ AOB=180°$，
∴$∠ BOE=∠ AOB-∠ AOE=180°-60°=120°$，
∵C，D是$\overset{\frown}{BE}$的三等分点，
∴$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DE}$，
根据同圆中相等的弧所对的圆心角相等，可得：
$∠ BOC=∠ COD=∠ DOE=\frac{1}{3}∠ BOE=\frac{1}{3}×120°=40°$，
∴$∠ BOD=∠ BOC+∠ COD=40°+40°=80°$。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
圆心角与弧的关系，平角的性质
【点评】
本题主要考查同圆中圆心角和弧的对应关系，解题的关键是先求出$\overset{\frown}{BE}$对应的圆心角度数，再结合三等分点的性质计算，整体难度较低，属于基础类考题。
【难度系数】
0.8
解题时首先结合直径对应的平角性质求出∠BOE的度数，再根据同圆中相等的弧对应的圆心角相等的性质，结合C、D是弧BE的三等分点，求出每一段弧对应的圆心角度数，最后计算∠BOD的度数即可。
【解析】
∵AB为$\odot O$的直径，
∴$∠ AOB=180°$，
∴$∠ BOE=∠ AOB-∠ AOE=180°-60°=120°$，
∵C，D是$\overset{\frown}{BE}$的三等分点，
∴$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DE}$，
根据同圆中相等的弧所对的圆心角相等，可得：
$∠ BOC=∠ COD=∠ DOE=\frac{1}{3}∠ BOE=\frac{1}{3}×120°=40°$，
∴$∠ BOD=∠ BOC+∠ COD=40°+40°=80°$。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
圆心角与弧的关系，平角的性质
【点评】
本题主要考查同圆中圆心角和弧的对应关系，解题的关键是先求出$\overset{\frown}{BE}$对应的圆心角度数，再结合三等分点的性质计算，整体难度较低，属于基础类考题。
【难度系数】
0.8
5.[易错题]下列说法正确的是 （
A.相等的圆心角所对的弦相等
B.等弧所对的弦相等
C.相等的圆心角所对的弧相等
D.相等的弦所对的弧相等
B
）A.相等的圆心角所对的弦相等
B.等弧所对的弦相等
C.相等的圆心角所对的弧相等
D.相等的弦所对的弧相等
答案
5.B
解析
【分析】
解答本题首先要明确圆心角、弧、弦三者相等关系成立的核心前提是“在同圆或等圆中”，同时牢记等弧的定义本身就隐含了同圆或等圆的条件，另外要注意一条弦对应优弧、劣弧两条弧，结合以上要点逐个分析选项即可得出正确答案。
【解析】
根据圆心角、弧、弦的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。据此分析各选项：
A. 未说明在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦不一定相等，该选项错误；
B. 等弧是指能够完全重合的弧，只有同圆或等圆中才存在等弧，因此等弧已经满足同圆或等圆的前提，等弧所对的弦相等，该选项正确；
C. 未说明在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧不一定相等，该选项错误；
D. 首先未说明在同圆或等圆中，其次即使在同圆或等圆中，一条弦对应优弧和劣弧两条弧，因此相等的弦所对的弧不一定相等，该选项错误。
综上，选B。
【答案】
B
【知识点】
圆心角弧弦的关系；等弧的定义
【点评】
本题为易错题，易错点是容易忽略圆心角、弧、弦相等关系成立的“同圆或等圆”前提，同时要注意等弧本身已经隐含该前提，且一条弦对应两条不同的弧，做题时要注意验证各选项的前提是否成立。
【难度系数】
0.6
解答本题首先要明确圆心角、弧、弦三者相等关系成立的核心前提是“在同圆或等圆中”，同时牢记等弧的定义本身就隐含了同圆或等圆的条件，另外要注意一条弦对应优弧、劣弧两条弧，结合以上要点逐个分析选项即可得出正确答案。
【解析】
根据圆心角、弧、弦的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。据此分析各选项：
A. 未说明在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦不一定相等，该选项错误；
B. 等弧是指能够完全重合的弧，只有同圆或等圆中才存在等弧，因此等弧已经满足同圆或等圆的前提，等弧所对的弦相等，该选项正确；
C. 未说明在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧不一定相等，该选项错误；
D. 首先未说明在同圆或等圆中，其次即使在同圆或等圆中，一条弦对应优弧和劣弧两条弧，因此相等的弦所对的弧不一定相等，该选项错误。
综上，选B。
【答案】
B
【知识点】
圆心角弧弦的关系；等弧的定义
【点评】
本题为易错题，易错点是容易忽略圆心角、弧、弦相等关系成立的“同圆或等圆”前提，同时要注意等弧本身已经隐含该前提，且一条弦对应两条不同的弧，做题时要注意验证各选项的前提是否成立。
【难度系数】
0.6
6. [2024·六安霍邱模拟]如图,在半径为5的$\odot O$中,弦AB与弦CD互相垂直,垂足为点E.如果$AB=CD=8$,那么OE的长为 (
A.$3\sqrt{2}$
B.3
C.4
D.$4\sqrt{2}$
A
)A.$3\sqrt{2}$
B.3
C.4
D.$4\sqrt{2}$
答案
6.A
解析
【分析】
遇到圆中弦长计算问题，优先考虑作弦心距，结合垂径定理求解。首先过圆心分别作两条弦的垂线，利用垂径定理求出弦心距的长度；再根据两条弦垂直的条件判断所得四边形的形状，最后结合特殊四边形的性质计算OE的长度。
【解析】
过点O作$OM⊥ AB$于点M，$ON⊥ CD$于点N，连接OB、OD。
根据垂径定理可得：$BM=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8=4$，$DN=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×8=4$。
在$Rt△ OMB$中，$OB=5$，由勾股定理得：
$OM=\sqrt{OB^2-BM^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$，
同理可得$ON=3$。
$\because AB⊥ CD$，$OM⊥ AB$，$ON⊥ CD$，
$\therefore ∠ OME=∠ ONE=∠ MEN=90°$，
$\therefore$ 四边形OMEN是矩形，
又$\because AB=CD$，同圆中相等的弦对应的弦心距相等，即$OM=ON$，
$\therefore$ 矩形OMEN是正方形，
$\therefore OE=\sqrt{OM^2+ME^2}=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}$。
【答案】
A
【知识点】
垂径定理，勾股定理，正方形的判定与性质
【点评】
本题是圆中弦长计算的典型题型，解题的核心是通过作弦心距构造直角三角形，将弦长、半径、弦心距的关系转化为直角三角形三边关系求解，同时结合特殊四边形的性质简化计算。
【难度系数】
0.6
遇到圆中弦长计算问题，优先考虑作弦心距，结合垂径定理求解。首先过圆心分别作两条弦的垂线，利用垂径定理求出弦心距的长度；再根据两条弦垂直的条件判断所得四边形的形状，最后结合特殊四边形的性质计算OE的长度。
【解析】
过点O作$OM⊥ AB$于点M，$ON⊥ CD$于点N，连接OB、OD。
根据垂径定理可得：$BM=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8=4$，$DN=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×8=4$。
在$Rt△ OMB$中，$OB=5$，由勾股定理得：
$OM=\sqrt{OB^2-BM^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$，
同理可得$ON=3$。
$\because AB⊥ CD$，$OM⊥ AB$，$ON⊥ CD$，
$\therefore ∠ OME=∠ ONE=∠ MEN=90°$，
$\therefore$ 四边形OMEN是矩形，
又$\because AB=CD$，同圆中相等的弦对应的弦心距相等，即$OM=ON$，
$\therefore$ 矩形OMEN是正方形，
$\therefore OE=\sqrt{OM^2+ME^2}=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}$。
【答案】
A
【知识点】
垂径定理，勾股定理，正方形的判定与性质
【点评】
本题是圆中弦长计算的典型题型，解题的核心是通过作弦心距构造直角三角形，将弦长、半径、弦心距的关系转化为直角三角形三边关系求解，同时结合特殊四边形的性质简化计算。
【难度系数】
0.6
7.如图,在$\odot O$中,$OE ⊥ AB$,$OF ⊥ AC$,且$OE=OF$.若$∠ A=40°$,则$∠ ABC=$
$70°$
. 答案
7.$70°$
解析
【分析】
首先观察已知条件：OE⊥AB、OF⊥AC，说明OE、OF分别是弦AB、AC的弦心距；又已知OE=OF，根据同圆中弦心距相等则对应弦相等的性质，可推出AB=AC，即△ABC为等腰三角形，已知顶角∠A的度数，结合三角形内角和与等腰三角形底角相等的性质，即可求出∠ABC的度数。
【解析】
∵在⊙O中，OE⊥AB，OF⊥AC，且OE=OF，
根据同圆中相等的弦心距对应的弦相等，可得AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形，∠ABC=∠ACB，
又
∵三角形内角和为180°，∠A=40°，
∴$∠ ABC=\frac{180°-∠ A}{2}=\frac{180°-40°}{2}=70°$。
【答案】
$70°$
【知识点】
弦心距与弦的关系；等腰三角形性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础题，将圆的基本性质和三角形的性质结合考查，解题的关键是根据弦心距相等推出两条弦相等，进而判断三角形为等腰三角形。
【难度系数】
0.8
首先观察已知条件：OE⊥AB、OF⊥AC，说明OE、OF分别是弦AB、AC的弦心距；又已知OE=OF，根据同圆中弦心距相等则对应弦相等的性质，可推出AB=AC，即△ABC为等腰三角形，已知顶角∠A的度数，结合三角形内角和与等腰三角形底角相等的性质，即可求出∠ABC的度数。
【解析】
∵在⊙O中，OE⊥AB，OF⊥AC，且OE=OF，
根据同圆中相等的弦心距对应的弦相等，可得AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形，∠ABC=∠ACB，
又
∵三角形内角和为180°，∠A=40°，
∴$∠ ABC=\frac{180°-∠ A}{2}=\frac{180°-40°}{2}=70°$。
【答案】
$70°$
【知识点】
弦心距与弦的关系；等腰三角形性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础题，将圆的基本性质和三角形的性质结合考查，解题的关键是根据弦心距相等推出两条弦相等，进而判断三角形为等腰三角形。
【难度系数】
0.8
8. [教材 P27 习题 24.2 第10题改编]如图，$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，$CD⊥ OA$于点$D$，$CE⊥ OB$于点$E$。求证：$CD=CE$。
答案
证明：
∵ $\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，
∴ ∠AOC = ∠BOC。
∵ $CD⊥ OA$，$CE⊥ OB$，
∴ ∠CDO = ∠CEO = 90°。
在△CDO和△CEO中，
$\{\begin{array}{l}∠CDO = ∠CEO \\∠DOC = ∠EOC \\OC = OC\end{array} $
∴ △CDO ≌ △CEO（AAS），
∴ $CD=CE$。
∵ $\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，
∴ ∠AOC = ∠BOC。
∵ $CD⊥ OA$，$CE⊥ OB$，
∴ ∠CDO = ∠CEO = 90°。
在△CDO和△CEO中，
$\{\begin{array}{l}∠CDO = ∠CEO \\∠DOC = ∠EOC \\OC = OC\end{array} $
∴ △CDO ≌ △CEO（AAS），
∴ $CD=CE$。
解析
【分析】
求证两条线段相等时，优先考虑证明两条线段所在的三角形全等。首先由已知$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，根据同圆中相等的弧所对的圆心角相等，可得$∠ AOC=∠ BOC$；再结合$CD⊥ OA$、$CE⊥ OB$的条件，得到$∠ CDO=∠ CEO=90°$，且$△ CDO$和$△ CEO$有公共边$OC$，满足AAS全等判定的条件，证明三角形全等后即可得到对应边$CD=CE$。
【解析】
证明：
∵ $\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，
∴ $∠ AOC = ∠ BOC$。
∵ $CD⊥ OA$，$CE⊥ OB$，
∴ $∠ CDO = ∠ CEO = 90°$。
在$△ CDO$和$△ CEO$中：
$\{\begin{array}{l}∠ CDO = ∠ CEO \\∠ DOC = ∠ EOC \\OC = OC\end{array} $
∴ $△ CDO ≌ △ CEO$（AAS），
∴ $CD=CE$。
【答案】
$CD=CE$
【知识点】
弧与圆心角的关系；全等三角形的判定；全等三角形的性质
【点评】
本题是圆性质的基础应用类证明题，解题的关键是先利用“同圆中等弧对等圆心角”得到角相等的条件，再结合垂直关系构造全等三角形，熟练掌握圆的基本性质和全等三角形的判定方法即可快速解答。
【难度系数】
0.8
求证两条线段相等时，优先考虑证明两条线段所在的三角形全等。首先由已知$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，根据同圆中相等的弧所对的圆心角相等，可得$∠ AOC=∠ BOC$；再结合$CD⊥ OA$、$CE⊥ OB$的条件，得到$∠ CDO=∠ CEO=90°$，且$△ CDO$和$△ CEO$有公共边$OC$，满足AAS全等判定的条件，证明三角形全等后即可得到对应边$CD=CE$。
【解析】
证明：
∵ $\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，
∴ $∠ AOC = ∠ BOC$。
∵ $CD⊥ OA$，$CE⊥ OB$，
∴ $∠ CDO = ∠ CEO = 90°$。
在$△ CDO$和$△ CEO$中：
$\{\begin{array}{l}∠ CDO = ∠ CEO \\∠ DOC = ∠ EOC \\OC = OC\end{array} $
∴ $△ CDO ≌ △ CEO$（AAS），
∴ $CD=CE$。
【答案】
$CD=CE$
【知识点】
弧与圆心角的关系；全等三角形的判定；全等三角形的性质
【点评】
本题是圆性质的基础应用类证明题，解题的关键是先利用“同圆中等弧对等圆心角”得到角相等的条件，再结合垂直关系构造全等三角形，熟练掌握圆的基本性质和全等三角形的判定方法即可快速解答。
【难度系数】
0.8
