9.如图，AB是半圆O的直径，以弦AC为折痕折叠$\overset{\frown}{AC}$后，恰好经过点O，则∠AOC的度数为（）


A.$120°$
B.$125°$
C.$130°$
D.$145°$

9.A

【分析】
遇到折叠与圆结合的问题，首先利用折叠的对称性：折叠前后对应点到折痕的距离相等、对应弧相等。本题中折叠$\overset{\frown}{AC}$后经过圆心O，说明圆心O到折痕AC的距离等于半径的一半。我们可以过O作AC的垂线，结合垂径定理构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系求出$∠ OAC$的度数，再根据OA、OC都是半径得到$△ AOC$是等腰三角形，最后用三角形内角和即可求出$∠ AOC$的度数。
【解析】
解：过点O作$OD⊥ AC$于点D，延长OD交$\overset{\frown}{AC}$于点E。
由折叠的性质可知，折叠后点O的对应点落在$\overset{\frown}{AC}$上，因此$OD=DE$，即$OD=\frac{1}{2}OE$。
设半圆O的半径为r，则$OE=OA=OC=r$，故$OD=\frac{1}{2}r$。
在$Rt△ AOD$中，$OA=r$，$OD=\frac{1}{2}OA$，因此$∠ OAD=30°$。
$\because OA=OC$，$\therefore ∠ OCA=∠ OAD=30°$。
在$△ AOC$中，$∠ AOC=180°-∠ OAD-∠ OCA=180°-30°-30°=120°$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 折叠的性质
2. 垂径定理
3. 等腰三角形性质
【点评】
本题是圆与折叠变换结合的典型题型，解题核心是通过作垂直于弦的辅助线，将折叠性质和圆半径相等的特点结合，利用特殊直角三角形的性质快速求角，考察了学生几何辅助线构造能力和知识综合运用能力。
【难度系数】
0.6

10. 如图，在$\odot O$中，$\overset{\frown}{AC}=2\overset{\frown}{AB}$，则下列数量关系正确的是（）


A.$AB=AC$
B.$AC=2AB$
C.$AC＜2AB$
D.$AC＞2AB$

10.C

【分析】
要解决弧的倍数关系对应弦的数量关系问题，首先利用“同圆中等弧对等弦”的性质，将倍弧拆分为多段等弧，把弧的关系转化为弦的关系，再结合三角形三边关系判断弦的大小。已知$\overset{\frown}{AC}=2\overset{\frown}{AB}$，我们可取$\overset{\frown}{AC}$的中点，将$\overset{\frown}{AC}$拆分为两个和$\overset{\frown}{AB}$相等的弧，得到三条相等的弦，再通过三角形三边关系推导即可。
【解析】
解：取$\overset{\frown}{AC}$的中点$D$，连接$AD$、$DC$。
$\because \overset{\frown}{AC}=2\overset{\frown}{AB}$，
$\therefore \overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{DC}=\overset{\frown}{AB}$，
$\because$同圆中相等的弧所对的弦相等，
$\therefore AD=DC=AB$。
在$△ ADC$中，根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，可得$AD+DC＞AC$，
将$AD=DC=AB$代入上式，得$AB+AB＞AC$，即$2AB＞AC$，也就是$AC＜2AB$。
故选：C
【答案】
C
【知识点】
弧与弦的关系、三角形三边关系
【点评】
本题的易错点是误认为弧的倍数关系等同于弦的倍数关系，解题核心是通过拆分倍弧得到等弧，将弧的关系转化为弦的关系，结合三角形三边关系即可快速判断。
【难度系数】
0.7

[易错题]如图,在$\odot O$中,如果$∠ AOB=2∠ COD$,那么
$\begin{array}{l}\mathrm{A. }AB=2DC \\\mathrm{B. }AB＞2DC \\\mathrm{C. }AB≥ 2DC \\\mathrm{D. }AB＜2DC\end{array}$
（ ）

【变式训练】D

【分析】
解题时首先避免直接根据圆心角的倍数关系判定弦也成相同倍数的思维误区。我们可以通过作∠AOB的角平分线，将∠AOB拆分为两个等于∠COD的角，利用同圆中相等圆心角对应相等弦的性质，得到两条长度等于CD的弦，再将这两条弦与AB放入同一三角形中，借助三角形三边关系比较AB和2CD的大小。
【解析】
作∠AOB的平分线OE，交$\odot O$于点E。
∴ $∠ AOE = ∠ BOE = \frac{1}{2}∠ AOB$，
∵ $∠ AOB = 2∠ COD$，
∴ $∠ AOE = ∠ BOE = ∠ COD$。
∵ 在同圆中，相等的圆心角所对的弦相等，
∴ $AE = BE = DC$。
在$△ ABE$中，根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，
可得 $AE + BE ＞ AB$，
将$AE=BE=DC$代入得：$DC + DC ＞ AB$，
即 $2DC ＞ AB$，也就是$AB ＜ 2DC$。
【答案】
D
【知识点】
1. 同圆中圆心角与弦的关系
2. 三角形三边关系
【点评】
本题属于易错题，很多学生会直接由圆心角的2倍关系错误推断弦也为2倍关系，解题核心是通过构造等角对应等弦，结合三角形三边关系判断大小，能有效强化对圆心角、弦对应关系的理解。
【难度系数】
0.6

11. [教材P27习题24.2第12题改编]如图，在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，以点$C$为圆心，$BC$长为半径的圆交$AB$于点$D$，交$AC$于点$E$。若$\overset{\frown}{DE}$的度数为$α$，则$∠ A$的度数为（）


A.$45° - \frac{α}{2}$
B.$\frac{α}{2}$
C.$45° + \frac{α}{2}$
D.$25° + \frac{α}{2}$

11.A

【分析】
解题时首先利用“弧的度数等于它所对圆心角的度数”这一性质，连接辅助线CD得到与弧DE对应的圆心角∠DCE=α。再结合CB、CD都是圆的半径，可知△BCD是等腰三角形，可先求出∠B的度数，最后利用直角三角形两锐角互余的性质，即可求出∠A的度数。
【解析】
连接CD，
∵$\overset{\frown}{DE}$的度数为$α$，
∴$∠ DCE=α$，
∵$∠ ACB=90°$，
∴$∠ BCD=90° - α$，
∵CB、CD都是$\odot C$的半径，
∴$CB=CD$，即$△ BCD$为等腰三角形，$∠ B=∠ CDB$，
在$△ BCD$中，根据三角形内角和为$180°$：
$∠ B=\frac{180° - ∠ BCD}{2}=\frac{180° - (90° - α)}{2}=45° + \frac{α}{2}$，
在$Rt△ ABC$中，$∠ A + ∠ B=90°$，
∴$∠ A=90° - ∠ B=90° - (45° + \frac{α}{2})=45° - \frac{α}{2}$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
圆心角与弧的关系；等腰三角形的性质；直角三角形的性质
【点评】
本题是圆的性质和三角形性质的基础综合题，解题的关键是正确作出辅助线CD，将弧的度数转化为圆心角度数，再结合三角形内角和、直角三角形两锐角互余的性质逐步推导，考查学生对基础知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.7

12. 如图，在$\odot O$中，弦$AD$，$BC$相交于点$E$，连接$OE$. 已知$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，$\odot O$的半径为5，$AD⊥ BC$，$DE=1$，求$AE$的长.

12.7

【分析】
解题首先从已知等弧的条件出发，利用等弧对等弦、同弧所对圆周角相等的性质，结合AD⊥BC的垂直关系，证明△ABE≌△CDE，得到BE=DE=1、AE=CE的线段等量关系；再推导得到弧AD=弧BC，因此弦AD=弦BC，根据垂径定理作两条弦的垂线，可得弦心距相等，结合垂直条件可证弦心距与交点E围成的四边形是正方形，得到弦心距与EF的等量关系；最后设AE的长为x，利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
解：过点O作$OF⊥AD$于F，$OG⊥BC$于G。
1. 由$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，得$AB=CD$，且$\overset{\frown}{AB}+\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{CD}+\overset{\frown}{BD}$，即$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BC}$，因此$AD=BC$。
2. 在$△ ABE$和$△ CDE$中：
$\begin{cases}∠A=∠C \quad (\mathrm{同弧所对圆周角相等}) \\AB=CD \\∠B=∠D \quad (\mathrm{同弧所对圆周角相等})\end{cases}$
$\therefore △ ABE≌△ CDE(\mathrm{ASA})$，得$BE=DE=1$，$AE=CE$。
3. 根据垂径定理：$AF=FD=\frac{1}{2}AD$，$BG=GC=\frac{1}{2}BC$，由$AD=BC$得$AF=BG$，且等弦的弦心距相等，故$OF=OG$。
$\because AD⊥BC$，$\therefore ∠FEG=90°$，又$∠OFE=∠OGE=90°$，因此四边形OFEG是矩形，结合$OF=OG$，可知四边形OFEG是正方形，得$OF=EF$。
4. 设$AE=x$，则$AD=x+1$，$AF=\frac{x+1}{2}$，$EF=AE-AF=x-\frac{x+1}{2}=\frac{x-1}{2}$，即$OF=\frac{x-1}{2}$。
在$Rt△ OFA$中，$OA=5$，由勾股定理得$OF^2+AF^2=OA^2$，代入得：
$(\frac{x-1}{2})^2 + (\frac{x+1}{2})^2 = 5^2$
展开化简：$\frac{x^2-2x+1+x^2+2x+1}{4}=25$，即$x^2+1=50$，解得$x=7$（负值舍去）。
【答案】
7
【知识点】
圆心角弧弦的关系，垂径定理，勾股定理
【点评】
本题综合考查圆的基本性质、全等三角形判定和特殊四边形的应用，解题核心是通过等弧转化线段等量关系，结合垂径定理构造直角三角形，利用方程思想求解，是圆的综合计算的典型题型。
【难度系数】
0.6

13. [新课标—探究题]如图，PC是$\odot O$的直径，PA与PB是$\odot O$的弦，且$∠ APC=∠ BPC$.
(1)求证:$PA=PB$.
(2)如图，如果点P由圆上运动到圆外，PC过圆心，是否仍有$PA=PB$？为什么？
(3)如图，如果点P由圆上运动到圆内，PC过圆心，是否仍有$PA=PB$？(直接写出结论，不必说明理由)

13.(1)证明略.
(2)仍有 $PA=PB$.
理由:如题图,过点O作$OE⊥PA$于点E,$OF⊥PB$于点F.
易证$OE=OF$,$PE=PF$.
连接OA,OB.
在$\mathrm{Rt}△AOE$和$\mathrm{Rt}△BOF$中,
$AE=\sqrt{OA^2-OE^2}$,$BF=\sqrt{OB^2-OF^2}$,
$\therefore AE=BF$,$\therefore PA=PB$.
(3)仍有 $PA=PB$.

【分析】
本题是探究点P在不同位置时PA和PB的数量关系，解题思路如下：
(1) 点P在圆上时，已知PC是直径且∠APC=∠BPC，可利用角平分线的性质得到弦PA、PB的弦心距相等，再根据同圆中弦心距相等则对应弦相等，即可证明PA=PB。
(2) 点P在圆外时，仍有∠APC=∠BPC且PC过圆心，先过圆心作PA、PB的垂线，由角平分线性质得两条垂线段相等，再结合垂径定理和勾股定理求出AE=BF、PE=PF，通过线段和差即可推导得到PA=PB。
(3) 点P在圆内时，类比前两问的推导逻辑，可直接得出结论。
【解析】
(1) 证明：过点O作$OE⊥PA$于点E，$OF⊥PB$于点F。
∵ $∠APC=∠BPC$，$OE⊥PA$，$OF⊥PB$，
∴ $OE=OF$（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
又
∵ 同圆中弦心距相等则对应的弦相等，
∴ $PA=PB$。
(2) 仍有$PA=PB$，理由如下：
过点O作$OE⊥PA$于点E，$OF⊥PB$于点F。
∵ $∠APC=∠BPC$，$OE⊥PA$，$OF⊥PB$，
∴ $OE=OF$，$PE=PF$（角平分线的性质）。
连接OA、OB，
在$\mathrm{Rt}△AOE$和$\mathrm{Rt}△BOF$中，OA和OB都是$\odot O$的半径，故$OA=OB$，
由勾股定理得：$AE=\sqrt{OA^2-OE^2}$，$BF=\sqrt{OB^2-OF^2}$，
∴ $AE=BF$。
∵ $PA=PE+AE$，$PB=PF+BF$，
∴ $PA=PB$。
(3) 仍有$PA=PB$。
【答案】
(1) 证明见解析；
(2) 仍有 $PA=PB$，理由见解析；
(3) 仍有 $PA=PB$。
【知识点】
角平分线的性质、垂径定理、弦与弦心距的关系
【点评】
本题为分层探究类题目，通过改变点P的位置，引导学生迁移运用角平分线性质、圆的相关性质解决问题，有助于培养逻辑推理能力和分类探究的思维习惯。
【难度系数】
0.7