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1. 下列说法错误的是 （
A.已知圆心和半径可以作一个圆
B.经过一个已知点A能作无数个圆
C.经过两个已知点A,B能作两个圆
D.经过不在同一直线上的三个点A,B,C只能作一个圆
C
）A.已知圆心和半径可以作一个圆
B.经过一个已知点A能作无数个圆
C.经过两个已知点A,B能作两个圆
D.经过不在同一直线上的三个点A,B,C只能作一个圆
答案
1.C
解析
【分析】
本题考查圆的确定相关知识，解题时需结合圆的核心要素（圆心定位置、半径定大小）逐一分析每个选项：首先回忆不同数量的点对作圆的限制：①已知圆心和半径可唯一确定圆；②过1个点时，圆心不受额外限制，可作无数个圆；③过2个点时，圆心需在两点连线的垂直平分线上，仍有无数个可选圆心；④过不共线3个点时，圆心是两条垂直平分线的交点，唯一确定，只能作1个圆。据此判断各选项正误即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 圆由圆心（确定位置）和半径（确定大小）两个要素唯一确定，已知圆心和半径可以作出一个圆，该说法正确，不符合题意；
B. 经过已知点A作圆时，圆心可以是平面内除A外的任意一点，半径为该点到A的距离，因此可以作无数个圆，该说法正确，不符合题意；
C. 经过A、B两个点作圆时，圆心需要满足到A、B两点的距离相等，即圆心在线段AB的垂直平分线上，垂直平分线上有无数个点，因此可以作无数个圆，而非2个，该说法错误，符合题意；
D. 根据圆的确定定理，不在同一直线上的三个点只能确定唯一的一个圆，该说法正确，不符合题意。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
圆的确定条件；线段垂直平分线的性质
【点评】
本题属于基础概念类题目，重点考查对圆的确定条件的理解，易错点是误判过两个点可作圆的数量，掌握圆心需要到所有已知点距离相等的规律，就能快速判断各选项正误。
【难度系数】
0.8
本题考查圆的确定相关知识，解题时需结合圆的核心要素（圆心定位置、半径定大小）逐一分析每个选项：首先回忆不同数量的点对作圆的限制：①已知圆心和半径可唯一确定圆；②过1个点时，圆心不受额外限制，可作无数个圆；③过2个点时，圆心需在两点连线的垂直平分线上，仍有无数个可选圆心；④过不共线3个点时，圆心是两条垂直平分线的交点，唯一确定，只能作1个圆。据此判断各选项正误即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 圆由圆心（确定位置）和半径（确定大小）两个要素唯一确定，已知圆心和半径可以作出一个圆，该说法正确，不符合题意；
B. 经过已知点A作圆时，圆心可以是平面内除A外的任意一点，半径为该点到A的距离，因此可以作无数个圆，该说法正确，不符合题意；
C. 经过A、B两个点作圆时，圆心需要满足到A、B两点的距离相等，即圆心在线段AB的垂直平分线上，垂直平分线上有无数个点，因此可以作无数个圆，而非2个，该说法错误，符合题意；
D. 根据圆的确定定理，不在同一直线上的三个点只能确定唯一的一个圆，该说法正确，不符合题意。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
圆的确定条件；线段垂直平分线的性质
【点评】
本题属于基础概念类题目，重点考查对圆的确定条件的理解，易错点是误判过两个点可作圆的数量，掌握圆心需要到所有已知点距离相等的规律，就能快速判断各选项正误。
【难度系数】
0.8
2. 小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店的一块碎片应该是（
A.①
B.②
C.③
D.④
A
）A.①
B.②
C.③
D.④
答案
2.A
解析
【分析】
要配到和原来大小一致的圆形镜子，本质是要还原原圆，也就是确定原圆的圆心和半径。根据所学的“不在同一直线上的三个点确定一个圆”的定理，只要拿到的碎片上有一段足够长的原圆的完整圆弧，就能在弧上取三个不共线的点确定原圆。观察四块碎片：①号碎片保留了原圆较长的完整圆弧，满足确定原圆的条件；②③④号碎片仅保留很短的弧，无法找到足够的点确定原圆，因此应选择带①号碎片。
【解析】
解：根据圆的确定原理：不在同一条直线上的三个点可以确定唯一的圆。
要还原原圆形镜子，需要碎片包含原圆的一段弧，弧上存在三个不共线的点：
1. 碎片①包含原圆的一段较长完整圆弧，可在该弧上任取3个不共线的点，分别作任意两点连线的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是原圆的圆心，圆心到弧上点的距离就是原圆的半径，即可确定原圆的大小。
2. 碎片②、③、④保留的圆弧过短，无法找到足够的不共线的点确定原圆，不符合要求。
综上，应带碎片①，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
圆的确定，垂直平分线的应用
【点评】
本题是结合生活场景的几何应用题，解题核心是掌握三点定圆的定理，能灵活把实际问题转化为几何原理求解，考查了知识的实际运用能力。
【难度系数】
0.7
要配到和原来大小一致的圆形镜子，本质是要还原原圆，也就是确定原圆的圆心和半径。根据所学的“不在同一直线上的三个点确定一个圆”的定理，只要拿到的碎片上有一段足够长的原圆的完整圆弧，就能在弧上取三个不共线的点确定原圆。观察四块碎片：①号碎片保留了原圆较长的完整圆弧，满足确定原圆的条件；②③④号碎片仅保留很短的弧，无法找到足够的点确定原圆，因此应选择带①号碎片。
【解析】
解：根据圆的确定原理：不在同一条直线上的三个点可以确定唯一的圆。
要还原原圆形镜子，需要碎片包含原圆的一段弧，弧上存在三个不共线的点：
1. 碎片①包含原圆的一段较长完整圆弧，可在该弧上任取3个不共线的点，分别作任意两点连线的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是原圆的圆心，圆心到弧上点的距离就是原圆的半径，即可确定原圆的大小。
2. 碎片②、③、④保留的圆弧过短，无法找到足够的不共线的点确定原圆，不符合要求。
综上，应带碎片①，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
圆的确定，垂直平分线的应用
【点评】
本题是结合生活场景的几何应用题，解题核心是掌握三点定圆的定理，能灵活把实际问题转化为几何原理求解，考查了知识的实际运用能力。
【难度系数】
0.7
3.平面直角坐标系内的三个点A(1，-3)，B(0，-3)，C(2，-3)
（填“能”或“不能”）
不能
确定一个圆.（填“能”或“不能”）
答案
3.不能
解析
【分析】
要判断三个点能否确定一个圆，首先回忆圆的确定条件：不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆，因此解题核心是判断这三个点是否共线。观察三个点的坐标可发现纵坐标均为-3，说明三点都在直线y=-3上，属于同一直线上的三点，不满足“不在同一直线上”的前提，因此不能确定一个圆。
【解析】
解：
∵点A(1，-3)、B(0，-3)、C(2，-3)的纵坐标都为-3，
∴这三个点都在直线y=-3上，即三点共线。
根据圆的确定规则：只有不在同一直线上的三个点才能确定一个圆，
∴这三个点不能确定一个圆。
【答案】
不能
【知识点】
确定圆的条件；共线点的坐标特征
【点评】
本题重点考查三点确定圆的条件的应用，易错点是容易忽略“不在同一直线上”这个前提条件，只要先判断三点的位置是否共线即可快速得出结论。
【难度系数】
0.9
要判断三个点能否确定一个圆，首先回忆圆的确定条件：不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆，因此解题核心是判断这三个点是否共线。观察三个点的坐标可发现纵坐标均为-3，说明三点都在直线y=-3上，属于同一直线上的三点，不满足“不在同一直线上”的前提，因此不能确定一个圆。
【解析】
解：
∵点A(1，-3)、B(0，-3)、C(2，-3)的纵坐标都为-3，
∴这三个点都在直线y=-3上，即三点共线。
根据圆的确定规则：只有不在同一直线上的三个点才能确定一个圆，
∴这三个点不能确定一个圆。
【答案】
不能
【知识点】
确定圆的条件；共线点的坐标特征
【点评】
本题重点考查三点确定圆的条件的应用，易错点是容易忽略“不在同一直线上”这个前提条件，只要先判断三点的位置是否共线即可快速得出结论。
【难度系数】
0.9
4. 如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A,B,C,D,E,F,G均在小正方形的顶点上，则△ABC的外心是（
A.点D
B.点E
C.点F
D.点G
A
）A.点D
B.点E
C.点F
D.点G
答案
4.A
解析
【分析】首先明确三角形外心的核心性质：三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形三个顶点的距离相等。结合本题的网格背景，我们可以通过计算各选项中点到A、B、C三个顶点的距离，判断哪个点到三个顶点的距离全部相等，该点就是△ABC的外心，计算时可借助勾股定理求网格中两点的距离。
【解析】三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，设每个小正方形的边长为1，根据勾股定理计算各点到A、B、C的距离：
经计算，点D到A、B、C三点的距离均为$\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，满足到三个顶点距离相等的要求；
点E、F、G到A、B、C三点的距离不全相等，不符合外心的性质。
因此△ABC的外心是点D。
【答案】A
【知识点】三角形外心的定义；勾股定理；垂直平分线的性质
【点评】本题属于基础类几何判定题，解题关键是牢记三角形外心的性质，结合网格特征通过简单计算即可完成判定，对知识点的识记和基础应用能力要求较低。
【难度系数】0.7
【解析】三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，设每个小正方形的边长为1，根据勾股定理计算各点到A、B、C的距离：
经计算，点D到A、B、C三点的距离均为$\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，满足到三个顶点距离相等的要求；
点E、F、G到A、B、C三点的距离不全相等，不符合外心的性质。
因此△ABC的外心是点D。
【答案】A
【知识点】三角形外心的定义；勾股定理；垂直平分线的性质
【点评】本题属于基础类几何判定题，解题关键是牢记三角形外心的性质，结合网格特征通过简单计算即可完成判定，对知识点的识记和基础应用能力要求较低。
【难度系数】0.7
5.已知$\odot O$是$△ ABC$的外接圆，那么点O一定是$△ ABC$的（
A.三条角平分线的交点
B.三条高的交点
C.三条中线的交点
D.三边垂直平分线的交点
D
）A.三条角平分线的交点
B.三条高的交点
C.三条中线的交点
D.三边垂直平分线的交点
答案
5.D
解析
【分析】
解题时首先抓住题干核心：△ABC的外接圆圆心O需要满足到A、B、C三个顶点的距离相等，接下来逐一对应各选项中交点的性质，筛选出符合“到三个顶点距离相等”的交点即可。
【解析】
我们逐个分析选项对应的交点性质：
A. 三条角平分线的交点是三角形的内心，是内切圆的圆心，特点是到三角形三边的距离相等，不符合外接圆圆心的要求，排除；
B. 三条高的交点是三角形的垂心，不具备到三个顶点距离相等的性质，排除；
C. 三条中线的交点是三角形的重心，特点是分每条中线为2:1的两段，不满足到三个顶点距离都相等，排除；
D. 三边垂直平分线的交点是三角形的外心，外心到三角形三个顶点的距离相等，正好是外接圆的圆心，符合要求。
综上，本题选D。
【答案】
D
【知识点】
三角形外心的定义；三角形特殊交点的性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，只要熟练掌握三角形各特殊交点的定义和对应性质，就能快速得出正确答案。
【难度系数】
0.9
解题时首先抓住题干核心：△ABC的外接圆圆心O需要满足到A、B、C三个顶点的距离相等，接下来逐一对应各选项中交点的性质，筛选出符合“到三个顶点距离相等”的交点即可。
【解析】
我们逐个分析选项对应的交点性质：
A. 三条角平分线的交点是三角形的内心，是内切圆的圆心，特点是到三角形三边的距离相等，不符合外接圆圆心的要求，排除；
B. 三条高的交点是三角形的垂心，不具备到三个顶点距离相等的性质，排除；
C. 三条中线的交点是三角形的重心，特点是分每条中线为2:1的两段，不满足到三个顶点距离都相等，排除；
D. 三边垂直平分线的交点是三角形的外心，外心到三角形三个顶点的距离相等，正好是外接圆的圆心，符合要求。
综上，本题选D。
【答案】
D
【知识点】
三角形外心的定义；三角形特殊交点的性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，只要熟练掌握三角形各特殊交点的定义和对应性质，就能快速得出正确答案。
【难度系数】
0.9
6.若$\odot O$是$△ ABC$的外接圆，$∠ ABO=20°$，$∠ OAC=40°$，则$∠ OBC$的度数为 （
A.$30°$
B.$40°$
C.$60°$
D.$120°$
A
）A.$30°$
B.$40°$
C.$60°$
D.$120°$
答案
6.A
解析
【分析】
解题时先利用同圆半径相等的性质，得到△OAB、△OAC、△OBC均为等腰三角形。首先根据等腰△OAB的已知底角求出∠OAB，结合已知的∠OAC算出圆周角∠BAC的度数；再根据圆周角定理，求出弧BC对应的圆心角∠BOC的度数；最后在等腰△OBC中利用三角形内角和即可求出∠OBC的度数。
【解析】
解：
∵OA、OB、OC都是⊙O的半径，
∴OA=OB=OC。
①在△OAB中，OA=OB，
∴∠OAB=∠ABO=20°，
又
∵∠OAC=40°，
∴∠BAC=∠OAB+∠OAC=20°+40°=60°。
②根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，∠BOC与∠BAC均对应弧BC，
∴∠BOC=2∠BAC=2×60°=120°。
③在△OBC中，OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
由三角形内角和为180°可得：
$∠ OBC=\frac{180°-∠ BOC}{2}=\frac{180°-120°}{2}=30°$。
【答案】
A
【知识点】
同圆半径相等、圆周角定理、等腰三角形性质
【点评】
本题是圆的性质的基础综合题，核心是通过半径相等构造等腰三角形找到角的等量关系，再结合圆周角定理完成角度转化，是圆相关角度计算的典型题型。
【难度系数】
0.7
解题时先利用同圆半径相等的性质，得到△OAB、△OAC、△OBC均为等腰三角形。首先根据等腰△OAB的已知底角求出∠OAB，结合已知的∠OAC算出圆周角∠BAC的度数；再根据圆周角定理，求出弧BC对应的圆心角∠BOC的度数；最后在等腰△OBC中利用三角形内角和即可求出∠OBC的度数。
【解析】
解：
∵OA、OB、OC都是⊙O的半径，
∴OA=OB=OC。
①在△OAB中，OA=OB，
∴∠OAB=∠ABO=20°，
又
∵∠OAC=40°，
∴∠BAC=∠OAB+∠OAC=20°+40°=60°。
②根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，∠BOC与∠BAC均对应弧BC，
∴∠BOC=2∠BAC=2×60°=120°。
③在△OBC中，OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
由三角形内角和为180°可得：
$∠ OBC=\frac{180°-∠ BOC}{2}=\frac{180°-120°}{2}=30°$。
【答案】
A
【知识点】
同圆半径相等、圆周角定理、等腰三角形性质
【点评】
本题是圆的性质的基础综合题，核心是通过半径相等构造等腰三角形找到角的等量关系，再结合圆周角定理完成角度转化，是圆相关角度计算的典型题型。
【难度系数】
0.7
7.如图，△ABC外接圆的圆心坐标是
(5,2)
。答案
7.(5,2)
解析
【分析】
三角形外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，该点到三角形三个顶点的距离相等。解题时首先确定三个顶点的坐标，观察边BC的特征：B、C横坐标相同，线段BC为竖直线段，可快速求出BC的垂直平分线，得到圆心的纵坐标，再设出圆心坐标，利用圆心到另外两个顶点距离相等列方程求解即可。
【解析】
首先确定△ABC三个顶点的坐标：$A(3,6)$，$B(1,4)$，$C(1,0)$。
1. 求BC边的垂直平分线：
B、C横坐标均为1，线段BC是竖直线段，中点坐标为$(1,2)$，因此BC的垂直平分线为水平线$y=2$，即外接圆圆心的纵坐标为2，设圆心坐标为$(x,2)$。
2. 根据外接圆圆心到三个顶点距离相等，列等式：
圆心到A的距离等于到C的距离，由两点间距离公式得：
$\sqrt{(x-3)^2+(2-6)^2}=\sqrt{(x-1)^2+(2-0)^2}$
两边平方消去根号：
$(x-3)^2 + 16 = (x-1)^2 + 4$
展开化简：
$x^2-6x+25=x^2-2x+5$
移项计算得：$4x=20$，解得$x=5$。
因此外接圆圆心坐标为$(5,2)$。
【答案】
$(5,2)$
【知识点】
三角形外接圆性质；垂直平分线性质；两点间距离公式
【点评】
本题的解题技巧是结合网格特征先求出一条边的垂直平分线，简化计算过程，核心是掌握外接圆圆心到三个顶点距离相等的性质。
【难度系数】
0.7
三角形外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，该点到三角形三个顶点的距离相等。解题时首先确定三个顶点的坐标，观察边BC的特征：B、C横坐标相同，线段BC为竖直线段，可快速求出BC的垂直平分线，得到圆心的纵坐标，再设出圆心坐标，利用圆心到另外两个顶点距离相等列方程求解即可。
【解析】
首先确定△ABC三个顶点的坐标：$A(3,6)$，$B(1,4)$，$C(1,0)$。
1. 求BC边的垂直平分线：
B、C横坐标均为1，线段BC是竖直线段，中点坐标为$(1,2)$，因此BC的垂直平分线为水平线$y=2$，即外接圆圆心的纵坐标为2，设圆心坐标为$(x,2)$。
2. 根据外接圆圆心到三个顶点距离相等，列等式：
圆心到A的距离等于到C的距离，由两点间距离公式得：
$\sqrt{(x-3)^2+(2-6)^2}=\sqrt{(x-1)^2+(2-0)^2}$
两边平方消去根号：
$(x-3)^2 + 16 = (x-1)^2 + 4$
展开化简：
$x^2-6x+25=x^2-2x+5$
移项计算得：$4x=20$，解得$x=5$。
因此外接圆圆心坐标为$(5,2)$。
【答案】
$(5,2)$
【知识点】
三角形外接圆性质；垂直平分线性质；两点间距离公式
【点评】
本题的解题技巧是结合网格特征先求出一条边的垂直平分线，简化计算过程，核心是掌握外接圆圆心到三个顶点距离相等的性质。
【难度系数】
0.7
8. [教材P27习题24.2第15题改编]如图,在破残的圆形轮片上,弦AB的垂直平分线交弧AB于点C,交弦AB于点D.已知AB=24 cm,CD=8 cm.
(1)求作此残片所在的圆;(不写作法,保留作图痕迹)
(2)求(1)中所作圆的半径.
(1)求作此残片所在的圆;(不写作法,保留作图痕迹)
(2)求(1)中所作圆的半径.
答案
8.(1)略 (2)(1)中所作圆的半径为 13 cm.
解析
【分析】
（1）要确定残片所在的圆，核心是找到圆心，根据“不在同一直线上的三个点确定一个圆”的原理，已知A、B、C三点，作出任意两条弦的垂直平分线，交点即为圆心，再以圆心到点的距离为半径画圆即可。
（2）求半径可先借助垂直平分线的性质得到AD的长度，设半径为r，用含r的代数式表示OD的长度，再在直角三角形中利用勾股定理列方程求解。
【解析】
（1）作图：连接AC，作AC的垂直平分线，与CD所在直线交于点O，以O为圆心、OA长为半径作圆，即为残片所在的圆（作图痕迹略）。
（2）设所作圆的半径为$r$ $\mathrm{cm}$，则$OA=OC=r$ $\mathrm{cm}$。
∵CD是AB的垂直平分线，$AB=24$ $\mathrm{cm}$，
∴$AD=\frac{1}{2}AB=12$ $\mathrm{cm}$，$∠ ADO=90°$，
又
∵$CD=8$ $\mathrm{cm}$，
∴$OD=OC-CD=(r-8)$ $\mathrm{cm}$，
在$\mathrm{Rt}△ ADO$中，由勾股定理得$AD^2+OD^2=OA^2$，
代入数值：$12^2+(r-8)^2=r^2$，
展开计算：$144+r^2-16r+64=r^2$，
化简得$16r=208$，解得$r=13$。
【答案】
(1) 作图略；(2) 所作圆的半径为$\boldsymbol{13\ \mathrm{cm}}$。
【知识点】
确定圆的条件；垂径定理；勾股定理
【点评】
本题结合实际场景考查圆的相关知识，将垂径定理和勾股定理结合，用方程思想求解线段长度是解题的核心，属于圆章节的基础常考题型。
【难度系数】
0.7
（1）要确定残片所在的圆，核心是找到圆心，根据“不在同一直线上的三个点确定一个圆”的原理，已知A、B、C三点，作出任意两条弦的垂直平分线，交点即为圆心，再以圆心到点的距离为半径画圆即可。
（2）求半径可先借助垂直平分线的性质得到AD的长度，设半径为r，用含r的代数式表示OD的长度，再在直角三角形中利用勾股定理列方程求解。
【解析】
（1）作图：连接AC，作AC的垂直平分线，与CD所在直线交于点O，以O为圆心、OA长为半径作圆，即为残片所在的圆（作图痕迹略）。
（2）设所作圆的半径为$r$ $\mathrm{cm}$，则$OA=OC=r$ $\mathrm{cm}$。
∵CD是AB的垂直平分线，$AB=24$ $\mathrm{cm}$，
∴$AD=\frac{1}{2}AB=12$ $\mathrm{cm}$，$∠ ADO=90°$，
又
∵$CD=8$ $\mathrm{cm}$，
∴$OD=OC-CD=(r-8)$ $\mathrm{cm}$，
在$\mathrm{Rt}△ ADO$中，由勾股定理得$AD^2+OD^2=OA^2$，
代入数值：$12^2+(r-8)^2=r^2$，
展开计算：$144+r^2-16r+64=r^2$，
化简得$16r=208$，解得$r=13$。
【答案】
(1) 作图略；(2) 所作圆的半径为$\boldsymbol{13\ \mathrm{cm}}$。
【知识点】
确定圆的条件；垂径定理；勾股定理
【点评】
本题结合实际场景考查圆的相关知识，将垂径定理和勾股定理结合，用方程思想求解线段长度是解题的核心，属于圆章节的基础常考题型。
【难度系数】
0.7
