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7.[新课标—跨学科题]平底烧瓶是实验室中使用的一种烧瓶类玻璃器皿，主要用来盛液体，可以轻度受热.它的截面图可以近似看作由$\odot O$去掉两个弓形后与矩形ABCD组合而成的图形(
)，其中$BC// MN$.若$\odot O$的半径为25，$AB=36$，$BC=14$，$MN=30$，则该平底烧瓶的高度为（
A.20
B.40
C.60
D.80
)，其中$BC// MN$.若$\odot O$的半径为25，$AB=36$，$BC=14$，$MN=30$，则该平底烧瓶的高度为（D
）A.20
B.40
C.60
D.80
答案
7.D
解析
【分析】要计算平底烧瓶的高度，也就是AD到MN的垂直距离，可将其拆分为三部分：矩形的边AB的长度、圆心O到弦BC的距离、圆心O到弦MN的距离。我们可以利用垂径定理分别求出两条弦的弦心距，再将三部分长度相加就能得到总高度。
【解析】
过圆心O分别作BC、MN的垂线，垂足分别为E、F，根据垂径定理：
1. 对弦BC：已知BC=14，因此半弦长$BE=\frac{1}{2}BC=7$，⊙O半径$r=25$，由勾股定理得O到BC的距离：
$OE=\sqrt{r^2-BE^2}=\sqrt{25^2-7^2}=\sqrt{625-49}=\sqrt{576}=24$
2. 对弦MN：已知MN=30，因此半弦长$MF=\frac{1}{2}MN=15$，同理得O到MN的距离：
$OF=\sqrt{r^2-MF^2}=\sqrt{25^2-15^2}=\sqrt{625-225}=\sqrt{400}=20$
3. 平底烧瓶的总高度为：$AB+OE+OF=36+24+20=80$
【答案】D
【知识点】垂径定理、勾股定理
【点评】本题结合常见实验器具考查几何定理的实际应用，解题关键是将实物图形的高度拆解为已知线段和两条弦心距的和，结合垂径定理和勾股定理计算即可得到结果。
【难度系数】0.7
【解析】
过圆心O分别作BC、MN的垂线，垂足分别为E、F，根据垂径定理：
1. 对弦BC：已知BC=14，因此半弦长$BE=\frac{1}{2}BC=7$，⊙O半径$r=25$，由勾股定理得O到BC的距离：
$OE=\sqrt{r^2-BE^2}=\sqrt{25^2-7^2}=\sqrt{625-49}=\sqrt{576}=24$
2. 对弦MN：已知MN=30，因此半弦长$MF=\frac{1}{2}MN=15$，同理得O到MN的距离：
$OF=\sqrt{r^2-MF^2}=\sqrt{25^2-15^2}=\sqrt{625-225}=\sqrt{400}=20$
3. 平底烧瓶的总高度为：$AB+OE+OF=36+24+20=80$
【答案】D
【知识点】垂径定理、勾股定理
【点评】本题结合常见实验器具考查几何定理的实际应用，解题关键是将实物图形的高度拆解为已知线段和两条弦心距的和，结合垂径定理和勾股定理计算即可得到结果。
【难度系数】0.7
8.如图是一个圆弧形拱门,其所在圆的半径为$2\sqrt{5}$ m,拱门底部跨度$AB=8$ m. 现要在拱门内加装一根垂直于底边AB的加固立柱MN,点M在圆弧上,点N在AB上,且点N把线段AB分为1:3的两部分,则线段AM的长度为
$2\sqrt{2}$或$2\sqrt{10}$
m.答案
8.$2\sqrt{2}$或$2\sqrt{10}$
解析
【分析】
解决本题首先利用垂径定理确定圆弧所在圆的圆心到AB的距离，由于点N分AB为1:3的两部分存在两种情况（AN较短或AN较长），需分类讨论，再结合坐标法和勾股定理求出M点位置，最终计算AM的长度。
解题思路如下：第一步：作圆心O到AB的垂线，由垂径定理得到AB的中点，结合圆的半径用勾股定理求出圆心到AB的距离；第二步：根据N分AB的比例求出两种情况下AN的长度；第三步：结合圆的方程求出对应M点的坐标，用两点间距离公式计算AM的长度即可。
【解析】
设圆弧AB所在圆的圆心为O，过点O作$OC⊥ AB$于点C，由垂径定理得：
$AC=BC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8=4\ \mathrm{m}$
在$\mathrm{Rt}△ OAC$中，$OA=2\sqrt{5}\ \mathrm{m}$，由勾股定理得：
$OC=\sqrt{OA^2-AC^2}=\sqrt{(2\sqrt{5})^2-4^2}=\sqrt{20-16}=2\ \mathrm{m}$，即圆心O到AB的距离为2m，因拱门向上凸起，故圆心O在AB下方。
以A为原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则$A(0,0)$，$B(8,0)$，$C(4,0)$，$O(4,-2)$，圆O的方程为$(x-4)^2+(y+2)^2=(2\sqrt{5})^2=20$。
点N分AB为1:3的两部分，分两种情况讨论：
1. 当$AN:NB=1:3$时，$AN=8×\frac{1}{1+3}=2\ \mathrm{m}$，此时N点坐标为$(2,0)$。
因$MN⊥ AB$，故M点横坐标为2，代入圆的方程得：
$(2-4)^2+(y+2)^2=20$，解得$y=2$（$y=-6$不符合M在AB上方的要求，舍去），即$M(2,2)$。
则$AM=\sqrt{(2-0)^2+(2-0)^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}\ \mathrm{m}$。
2. 当$AN:NB=3:1$时，$AN=8×\frac{3}{1+3}=6\ \mathrm{m}$，此时N点坐标为$(6,0)$。
因$MN⊥ AB$，故M点横坐标为6，代入圆的方程得：
$(6-4)^2+(y+2)^2=20$，解得$y=2$，即$M(6,2)$。
则$AM=\sqrt{(6-0)^2+(2-0)^2}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}\ \mathrm{m}$。
【答案】
$2\sqrt{2}$或$2\sqrt{10}$
【知识点】
垂径定理，勾股定理，分类讨论
【点评】
本题是垂径定理实际应用的典型题型，解题的关键是注意N点的位置存在两种情况，避免漏解，结合勾股定理即可顺利求解。
【难度系数】
0.6
解决本题首先利用垂径定理确定圆弧所在圆的圆心到AB的距离，由于点N分AB为1:3的两部分存在两种情况（AN较短或AN较长），需分类讨论，再结合坐标法和勾股定理求出M点位置，最终计算AM的长度。
解题思路如下：第一步：作圆心O到AB的垂线，由垂径定理得到AB的中点，结合圆的半径用勾股定理求出圆心到AB的距离；第二步：根据N分AB的比例求出两种情况下AN的长度；第三步：结合圆的方程求出对应M点的坐标，用两点间距离公式计算AM的长度即可。
【解析】
设圆弧AB所在圆的圆心为O，过点O作$OC⊥ AB$于点C，由垂径定理得：
$AC=BC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8=4\ \mathrm{m}$
在$\mathrm{Rt}△ OAC$中，$OA=2\sqrt{5}\ \mathrm{m}$，由勾股定理得：
$OC=\sqrt{OA^2-AC^2}=\sqrt{(2\sqrt{5})^2-4^2}=\sqrt{20-16}=2\ \mathrm{m}$，即圆心O到AB的距离为2m，因拱门向上凸起，故圆心O在AB下方。
以A为原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则$A(0,0)$，$B(8,0)$，$C(4,0)$，$O(4,-2)$，圆O的方程为$(x-4)^2+(y+2)^2=(2\sqrt{5})^2=20$。
点N分AB为1:3的两部分，分两种情况讨论：
1. 当$AN:NB=1:3$时，$AN=8×\frac{1}{1+3}=2\ \mathrm{m}$，此时N点坐标为$(2,0)$。
因$MN⊥ AB$，故M点横坐标为2，代入圆的方程得：
$(2-4)^2+(y+2)^2=20$，解得$y=2$（$y=-6$不符合M在AB上方的要求，舍去），即$M(2,2)$。
则$AM=\sqrt{(2-0)^2+(2-0)^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}\ \mathrm{m}$。
2. 当$AN:NB=3:1$时，$AN=8×\frac{3}{1+3}=6\ \mathrm{m}$，此时N点坐标为$(6,0)$。
因$MN⊥ AB$，故M点横坐标为6，代入圆的方程得：
$(6-4)^2+(y+2)^2=20$，解得$y=2$，即$M(6,2)$。
则$AM=\sqrt{(6-0)^2+(2-0)^2}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}\ \mathrm{m}$。
【答案】
$2\sqrt{2}$或$2\sqrt{10}$
【知识点】
垂径定理，勾股定理，分类讨论
【点评】
本题是垂径定理实际应用的典型题型，解题的关键是注意N点的位置存在两种情况，避免漏解，结合勾股定理即可顺利求解。
【难度系数】
0.6
9. [2025·合肥庐江校级月考]如图是一个蔬菜大棚的横截面,它的拱顶部分是以点O为圆心的圆的一部分.已知$\odot O$的半径为5 m,横梁AB的长为8 m,D为$\overset{\frown}{AB}$的中点,连接OD交AB于点C.
(1)求拱高CD的长;
(2)若要在离蔬菜大棚中心3 m处($CE=3$ m)安装一根支撑柱EF,且支撑柱EF垂直于横梁AB,求支撑柱EF的长.
(1)求拱高CD的长;
(2)若要在离蔬菜大棚中心3 m处($CE=3$ m)安装一根支撑柱EF,且支撑柱EF垂直于横梁AB,求支撑柱EF的长.
答案
9. (1)拱高 CD 的长为 2 m.
(2)如题图,过点 F 作 $FG⊥ CD$ 于点 G,连接 OF,则$∠ FGO=90°$.
设 $EF=x$ m,
易知四边形 GCEF 为矩形,
$\therefore GC=EF=x\ \mathrm{m},FG=CE=3\ \mathrm{m}.$
又 $OG=OC+GC=(3+x)\mathrm{m},OF=5\ \mathrm{m},FG=3\ \mathrm{m},$
在 $\mathrm{Rt}△ OGF$ 中,由勾股定理,得 $OG^2+FG^2=OF^2,\therefore (3+x)^2+3^2=5^2,$
解得 $x=1$ 或 $x=-7$(不符合题意,舍去),$\therefore EF=1\ \mathrm{m}.$
答:支撑柱 EF 的长为 1 m.
(2)如题图,过点 F 作 $FG⊥ CD$ 于点 G,连接 OF,则$∠ FGO=90°$.
设 $EF=x$ m,
易知四边形 GCEF 为矩形,
$\therefore GC=EF=x\ \mathrm{m},FG=CE=3\ \mathrm{m}.$
又 $OG=OC+GC=(3+x)\mathrm{m},OF=5\ \mathrm{m},FG=3\ \mathrm{m},$
在 $\mathrm{Rt}△ OGF$ 中,由勾股定理,得 $OG^2+FG^2=OF^2,\therefore (3+x)^2+3^2=5^2,$
解得 $x=1$ 或 $x=-7$(不符合题意,舍去),$\therefore EF=1\ \mathrm{m}.$
答:支撑柱 EF 的长为 1 m.
解析
【分析】
(1) 求拱高CD时，首先利用垂径定理的推论：平分弧（非直径的弧）的直径垂直于弧所对的弦且平分弦，可得OD垂直平分AB，先求出AC的长度，再在Rt△OAC中用勾股定理算出OC的长度，最后用半径OD减去OC即可得到CD的长度。
(2) 求EF的长时，可通过作辅助线构造直角三角形和矩形：过F作FG⊥CD于G，连接OF，易得四边形GCEF是矩形，将EF转化为GC、CE转化为FG，设EF为x m，用含x的式子表示出OG的长度，再在Rt△OGF中利用勾股定理列方程求解，舍去不符合实际的负根即可得到结果。
【解析】
(1)
∵D为$\overset{\frown}{AB}$的中点，O为圆心，
∴OD⊥AB，$AC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8=4\ \mathrm{m}$，
在$\mathrm{Rt}△OAC$中，OA=5 m，AC=4 m，
由勾股定理得：$OC=\sqrt{OA^2-AC^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3\ \mathrm{m}$，
∵OD是$\odot O$的半径，
∴OD=5 m，
∴$CD=OD-OC=5-3=2\ \mathrm{m}$。
(2) 过点F作$FG⊥CD$于点G，连接OF，则$∠FGO=90°$，
设$EF=x\ \mathrm{m}$，
∵EF⊥AB，FG⊥CD，∠GCE=90°，
∴四边形GCEF为矩形，
∴$GC=EF=x\ \mathrm{m}$，$FG=CE=3\ \mathrm{m}$，
∴$OG=OC+GC=(3+x)\ \mathrm{m}$，
又
∵OF是$\odot O$的半径，
∴OF=5 m，
在$\mathrm{Rt}△OGF$中，由勾股定理得：$OG^2+FG^2=OF^2$，
∴$(3+x)^2+3^2=5^2$，
解得$x=1$或$x=-7$（长度不能为负，不符合题意舍去），
∴$EF=1\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1) 拱高CD的长为2 m；
(2) 支撑柱EF的长为1 m。
【知识点】
垂径定理，勾股定理，矩形的性质
【点评】
本题是垂径定理在实际问题中的应用，解题的关键是结合已知条件构造直角三角形，利用勾股定理建立方程求解，同时体现了数形结合思想和转化思想的运用。
【难度系数】
0.7
(1) 求拱高CD时，首先利用垂径定理的推论：平分弧（非直径的弧）的直径垂直于弧所对的弦且平分弦，可得OD垂直平分AB，先求出AC的长度，再在Rt△OAC中用勾股定理算出OC的长度，最后用半径OD减去OC即可得到CD的长度。
(2) 求EF的长时，可通过作辅助线构造直角三角形和矩形：过F作FG⊥CD于G，连接OF，易得四边形GCEF是矩形，将EF转化为GC、CE转化为FG，设EF为x m，用含x的式子表示出OG的长度，再在Rt△OGF中利用勾股定理列方程求解，舍去不符合实际的负根即可得到结果。
【解析】
(1)
∵D为$\overset{\frown}{AB}$的中点，O为圆心，
∴OD⊥AB，$AC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8=4\ \mathrm{m}$，
在$\mathrm{Rt}△OAC$中，OA=5 m，AC=4 m，
由勾股定理得：$OC=\sqrt{OA^2-AC^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3\ \mathrm{m}$，
∵OD是$\odot O$的半径，
∴OD=5 m，
∴$CD=OD-OC=5-3=2\ \mathrm{m}$。
(2) 过点F作$FG⊥CD$于点G，连接OF，则$∠FGO=90°$，
设$EF=x\ \mathrm{m}$，
∵EF⊥AB，FG⊥CD，∠GCE=90°，
∴四边形GCEF为矩形，
∴$GC=EF=x\ \mathrm{m}$，$FG=CE=3\ \mathrm{m}$，
∴$OG=OC+GC=(3+x)\ \mathrm{m}$，
又
∵OF是$\odot O$的半径，
∴OF=5 m，
在$\mathrm{Rt}△OGF$中，由勾股定理得：$OG^2+FG^2=OF^2$，
∴$(3+x)^2+3^2=5^2$，
解得$x=1$或$x=-7$（长度不能为负，不符合题意舍去），
∴$EF=1\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1) 拱高CD的长为2 m；
(2) 支撑柱EF的长为1 m。
【知识点】
垂径定理，勾股定理，矩形的性质
【点评】
本题是垂径定理在实际问题中的应用，解题的关键是结合已知条件构造直角三角形，利用勾股定理建立方程求解，同时体现了数形结合思想和转化思想的运用。
【难度系数】
0.7
10. [转化思想]如图，AB，CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB=8，CD=6，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为线段EF上任意一点，求PA+PC的最小值.
答案
10. 如图,连接 BC 交MN 于点 P,连接 AP,过点 B 作 MN 的平行线交 CD 的延长线于点 H.
由圆的对称性可知 $AP=BP$,
$\therefore PA+PC=BP+PC,\therefore$ 当 B,P,C 三点共线时,$PA+PC$有最小值,为 BC 的长.
$\because MN$ 是直径,$AB⊥ MN,CD⊥ MN,\therefore AE=BE=\frac{1}{2}AB=4,CF=DF=\frac{1}{2}CD=3.$
易得四边形 EBHF 为矩形,$\therefore EB=FH=4,\therefore CH=7.$ 连接 OA.$\because OA=5,AE=4,$
$\therefore OE=3$,同理得 $OF=4,\therefore EF=7,\therefore BH=7,$
$\therefore BC=7\sqrt{2}$,即 $PA+PC$ 的最小值为 $7\sqrt{2}$.
解析
【分析】
要求PA+PC的最小值，可结合轴对称思想转化线段：由于MN是⊙O的直径且AB⊥MN，根据圆的对称性可知点A与点B关于MN对称，因此PA=PB，那么PA+PC可转化为PB+PC。根据“两点之间线段最短”，当B、P、C三点共线时，PB+PC的长度最小，即最小值为线段BC的长度，后续只需构造直角三角形，结合垂径定理、勾股定理计算BC的长度即可。
【解析】
解：如图，连接BC交MN于点P，连接AP，过点B作MN的平行线交CD的延长线于点H。
由圆的对称性可知，点A与点B关于MN对称，因此$AP=BP$，
$\therefore PA+PC=BP+PC$，根据两点之间线段最短，当B、P、C三点共线时，$PA+PC$取得最小值，最小值为BC的长度。
$\because MN$是直径，$AB⊥ MN$，$CD⊥ MN$，
根据垂径定理可得：$AE=BE=\frac{1}{2}AB=4$，$CF=DF=\frac{1}{2}CD=3$。
$\because BH// MN$，$AB⊥ MN$，$CD⊥ MN$，
$\therefore$四边形EBHF为矩形，$\therefore EB=FH=4$，$BH=EF$，
$\therefore CH=CF+FH=3+4=7$。
连接OA、OC，在$Rt△ OAE$中，$OA=5$，$AE=4$，由勾股定理得：
$OE=\sqrt{OA^2-AE^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$，
同理在$Rt△ OCF$中，$OC=5$，$CF=3$，由勾股定理得：
$OF=\sqrt{OC^2-CF^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$，
$\therefore EF=OE+OF=3+4=7$，即$BH=7$。
在$Rt△ BCH$中，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{BH^2+CH^2}=\sqrt{7^2+7^2}=7\sqrt{2}$，
即$PA+PC$的最小值为$7\sqrt{2}$。
【答案】
$7\sqrt{2}$
【知识点】
垂径定理；勾股定理；轴对称的性质
【点评】
本题是几何最值类的典型考题，将最短路径模型与圆的性质相结合，解题关键是利用圆的对称性转化待求线段和，再通过垂径定理、勾股定理计算对应线段长度，对知识的综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
要求PA+PC的最小值，可结合轴对称思想转化线段：由于MN是⊙O的直径且AB⊥MN，根据圆的对称性可知点A与点B关于MN对称，因此PA=PB，那么PA+PC可转化为PB+PC。根据“两点之间线段最短”，当B、P、C三点共线时，PB+PC的长度最小，即最小值为线段BC的长度，后续只需构造直角三角形，结合垂径定理、勾股定理计算BC的长度即可。
【解析】
解：如图，连接BC交MN于点P，连接AP，过点B作MN的平行线交CD的延长线于点H。
由圆的对称性可知，点A与点B关于MN对称，因此$AP=BP$，
$\therefore PA+PC=BP+PC$，根据两点之间线段最短，当B、P、C三点共线时，$PA+PC$取得最小值，最小值为BC的长度。
$\because MN$是直径，$AB⊥ MN$，$CD⊥ MN$，
根据垂径定理可得：$AE=BE=\frac{1}{2}AB=4$，$CF=DF=\frac{1}{2}CD=3$。
$\because BH// MN$，$AB⊥ MN$，$CD⊥ MN$，
$\therefore$四边形EBHF为矩形，$\therefore EB=FH=4$，$BH=EF$，
$\therefore CH=CF+FH=3+4=7$。
连接OA、OC，在$Rt△ OAE$中，$OA=5$，$AE=4$，由勾股定理得：
$OE=\sqrt{OA^2-AE^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$，
同理在$Rt△ OCF$中，$OC=5$，$CF=3$，由勾股定理得：
$OF=\sqrt{OC^2-CF^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$，
$\therefore EF=OE+OF=3+4=7$，即$BH=7$。
在$Rt△ BCH$中，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{BH^2+CH^2}=\sqrt{7^2+7^2}=7\sqrt{2}$，
即$PA+PC$的最小值为$7\sqrt{2}$。
【答案】
$7\sqrt{2}$
【知识点】
垂径定理；勾股定理；轴对称的性质
【点评】
本题是几何最值类的典型考题，将最短路径模型与圆的性质相结合，解题关键是利用圆的对称性转化待求线段和，再通过垂径定理、勾股定理计算对应线段长度，对知识的综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
