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1. 计算$\dfrac{3x+1}{x}-\dfrac{1}{x}$的结果是 （）
A.$3$
B.$x$
C.$3x$
D.$\dfrac{3x+2}{x}$
A.$3$
B.$x$
C.$3x$
D.$\dfrac{3x+2}{x}$
答案
A
解析
同分母分式相减，分母不变，分子相减，原式=(3x+1-1)/x=3x/x=3。
2. 化简$\dfrac{a+1}{a^2 - a} ÷ \dfrac{a+1}{a^2 - 2a + 1}$的结果是（）
A.$\dfrac{a+1}{a}$
B.$\dfrac{a}{a - 1}$
C.$\dfrac{1}{a - 1}$
D.$\dfrac{a - 1}{a}$
A.$\dfrac{a+1}{a}$
B.$\dfrac{a}{a - 1}$
C.$\dfrac{1}{a - 1}$
D.$\dfrac{a - 1}{a}$
答案
D
解析
先分解因式：$a^2 - a = a(a-1)$，$a^2 -2a +1=(a-1)^2$；将除法转化为乘法：$\frac{a+1}{a(a-1)} × \frac{(a-1)^2}{a+1}$；约分后得$\frac{a-1}{a}$。
3. 计算$a^{2}÷\dfrac{1}{b}· b$的结果是（）
A.$a^{2}$
B.$\dfrac{a^{2}}{b^{2}}$
C.$a^{2}b^{2}$
D.$2a^{2}b^{2}$
A.$a^{2}$
B.$\dfrac{a^{2}}{b^{2}}$
C.$a^{2}b^{2}$
D.$2a^{2}b^{2}$
答案
C
解析
根据分式运算规则，除以一个数等于乘它的倒数，同级运算从左到右计算。原式=a²×b×b=a²b²。
4. 计算$\frac{1}{m+2}-\frac{1}{4-m^2}÷\frac{1}{m-2}$的结果是（）
A.$0$
B.$\frac{1}{m+2}$
C.$\frac{2}{m+2}$
D.$\frac{m+2}{m-2}$
A.$0$
B.$\frac{1}{m+2}$
C.$\frac{2}{m+2}$
D.$\frac{m+2}{m-2}$
答案
C
解析
先算除法，将除法转化为乘法，分解因式约分：$\frac{1}{4-m^2}÷\frac{1}{m-2}=\frac{1}{-(m-2)(m+2)}×(m-2)=-\frac{1}{m+2}$；再算减法：$\frac{1}{m+2}-(-\frac{1}{m+2})=\frac{1}{m+2}+\frac{1}{m+2}=\frac{2}{m+2}$。
5. 化简：$\dfrac{16 - a^2}{a^2 + 8a + 16} ÷ \dfrac{a - 4}{2a + 8} =$ ______.
答案
$-2$
解析
先对各部分因式分解：$16 - a^2 = -(a^2 - 16) = -(a - 4)(a + 4)$，$a^2 + 8a + 16 = (a + 4)^2$，$2a + 8 = 2(a + 4)$；再将除法转化为乘法：原式$=\dfrac{-(a - 4)(a + 4)}{(a + 4)^2} × \dfrac{2(a + 4)}{a - 4}$；最后约分，约去$(a - 4)$和$(a + 4)$，得到结果。
6. 已知$a+b=4$，$ab=2$，则$\dfrac{b}{a}+\dfrac{a}{b}=$.
答案
6
解析
先对$\dfrac{b}{a}+\dfrac{a}{b}$通分，得$\dfrac{b^2+a^2}{ab}$；再利用完全平方公式变形，$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$；将$a+b=4$，$ab=2$代入，得$\dfrac{4^2 - 2×2}{2}=\dfrac{16-4}{2}=\dfrac{12}{2}=6$。
7. 若$\dfrac{4x - 9}{(3x + 2)(x - 1)} = \dfrac{A}{3x + 2} - \dfrac{B}{x - 1}(A、B为常数)$，则$A · B$的值为________.
答案
7
解析
将等式右边通分，得：
$\frac{A}{3x+2} - \frac{B}{x-1} = \frac{A(x-1) - B(3x+2)}{(3x+2)(x-1)}$
因为等式左右两边分母相同，分子相等，所以：
$A(x-1) - B(3x+2) = 4x -9$
展开左边并整理：
$(A - 3B)x + (-A -2B) = 4x -9$
根据对应系数相等，可得方程组：
$\begin{cases} A - 3B = 4 \\ -A -2B = -9 \end{cases}$
解方程组：将两式相加，得$-5B = -5$，解得$B=1$；把$B=1$代入$A -3B=4$，得$A=7$。
则$A·B=7×1=7$。
$\frac{A}{3x+2} - \frac{B}{x-1} = \frac{A(x-1) - B(3x+2)}{(3x+2)(x-1)}$
因为等式左右两边分母相同，分子相等，所以：
$A(x-1) - B(3x+2) = 4x -9$
展开左边并整理：
$(A - 3B)x + (-A -2B) = 4x -9$
根据对应系数相等，可得方程组：
$\begin{cases} A - 3B = 4 \\ -A -2B = -9 \end{cases}$
解方程组：将两式相加，得$-5B = -5$，解得$B=1$；把$B=1$代入$A -3B=4$，得$A=7$。
则$A·B=7×1=7$。
8. 计算：
(1) $\dfrac{2x^2}{x^2 - 1} - \dfrac{x}{x + 1}$；
(2) $( \dfrac{m^2 - 6m + 9}{m^2 - 9} - \dfrac{m}{m + 3} ) ÷ \dfrac{m - 1}{m + 3}$。
(1) $\dfrac{2x^2}{x^2 - 1} - \dfrac{x}{x + 1}$；
(2) $( \dfrac{m^2 - 6m + 9}{m^2 - 9} - \dfrac{m}{m + 3} ) ÷ \dfrac{m - 1}{m + 3}$。
答案
(1) $\frac{x}{x-1}$；
(2) $\frac{3}{1 - m}$
(2) $\frac{3}{1 - m}$
解析
(1) 先对原式通分，分母$x^2-1=(x+1)(x-1)$，则：
$\frac{2x^2}{x^2-1}-\frac{x}{x+1}=\frac{2x^2}{(x+1)(x-1)}-\frac{x(x-1)}{(x+1)(x-1)}$
合并分子：$\frac{2x^2 - x^2 + x}{(x+1)(x-1)}=\frac{x^2 + x}{(x+1)(x-1)}$
因式分解分子并约分：$\frac{x(x+1)}{(x+1)(x-1)}=\frac{x}{x-1}$
(2) 先化简括号内的分式，对$\frac{m^2-6m+9}{m^2-9}$约分：
$\frac{(m-3)^2}{(m+3)(m-3)}=\frac{m-3}{m+3}$
则括号内变为：$\frac{m-3}{m+3}-\frac{m}{m+3}=\frac{m-3 - m}{m+3}=\frac{-3}{m+3}$
将除法转化为乘法：$\frac{-3}{m+3}÷\frac{m-1}{m+3}=\frac{-3}{m+3}×\frac{m+3}{m-1}=\frac{-3}{m-1}=\frac{3}{1 - m}$
$\frac{2x^2}{x^2-1}-\frac{x}{x+1}=\frac{2x^2}{(x+1)(x-1)}-\frac{x(x-1)}{(x+1)(x-1)}$
合并分子：$\frac{2x^2 - x^2 + x}{(x+1)(x-1)}=\frac{x^2 + x}{(x+1)(x-1)}$
因式分解分子并约分：$\frac{x(x+1)}{(x+1)(x-1)}=\frac{x}{x-1}$
(2) 先化简括号内的分式，对$\frac{m^2-6m+9}{m^2-9}$约分：
$\frac{(m-3)^2}{(m+3)(m-3)}=\frac{m-3}{m+3}$
则括号内变为：$\frac{m-3}{m+3}-\frac{m}{m+3}=\frac{m-3 - m}{m+3}=\frac{-3}{m+3}$
将除法转化为乘法：$\frac{-3}{m+3}÷\frac{m-1}{m+3}=\frac{-3}{m+3}×\frac{m+3}{m-1}=\frac{-3}{m-1}=\frac{3}{1 - m}$
9. 先化简,再求值:
(1) $\dfrac{3a^2 - ab}{9a^2 - 6ab + b^2}$,其中 $a=-8,b=\dfrac{1}{2}$;
(2) $\dfrac{x - 1}{x^2 - 2x + 1} ÷ \dfrac{1}{x^2 - 1}$,其中 $x=\sqrt{2}-1$.
(1) $\dfrac{3a^2 - ab}{9a^2 - 6ab + b^2}$,其中 $a=-8,b=\dfrac{1}{2}$;
(2) $\dfrac{x - 1}{x^2 - 2x + 1} ÷ \dfrac{1}{x^2 - 1}$,其中 $x=\sqrt{2}-1$.
答案
（1）$\frac{16}{49}$；（2）$\sqrt{2}$
解析
（1）先对分式的分子、分母因式分解：分子$3a^2 - ab = a(3a - b)$，分母$9a^2 -6ab +b^2=(3a - b)^2$，约分后得$\frac{a}{3a - b}$；将$a=-8$，$b=\frac{1}{2}$代入，计算得$\frac{-8}{3×(-8)-\frac{1}{2}}=\frac{-8}{-\frac{49}{2}}=\frac{16}{49}$。（2）先将除法转化为乘法：$\frac{x-1}{x^2 -2x +1} · (x^2 -1)$，再因式分解：$x^2 -2x +1=(x-1)^2$，$x^2 -1=(x-1)(x+1)$，约分后得$x+1$；将$x=\sqrt{2}-1$代入，得$\sqrt{2}-1 +1=\sqrt{2}$。
10. 计算$\frac{2}{x-1}-\frac{4}{x^2-1}$的结果是 （）
A.$-\frac{2}{x-1}$
B.$\frac{2}{x-1}$
C.$-\frac{2}{x+1}$
D.$\frac{2}{x+1}$
A.$-\frac{2}{x-1}$
B.$\frac{2}{x-1}$
C.$-\frac{2}{x+1}$
D.$\frac{2}{x+1}$
答案
D
解析
先对分母因式分解，$x^2-1=(x-1)(x+1)$，通分后原式$=\frac{2(x+1)}{(x-1)(x+1)}-\frac{4}{(x-1)(x+1)}=\frac{2x+2-4}{(x-1)(x+1)}=\frac{2(x-1)}{(x-1)(x+1)}=\frac{2}{x+1}$。
11. 已知 $ x $ 为整数，且 $ \frac{2}{x+3} + \frac{2}{3-x} + \frac{2x+18}{x^2 - 9} $ 为整数，则符合条件的 $ x $ 有（）
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
答案
C
解析
先化简原式：
$\begin{aligned}&\frac{2}{x+3}+\frac{2}{3-x}+\frac{2x+18}{x^2-9}\\=&\frac{2}{x+3}-\frac{2}{x-3}+\frac{2x+18}{(x+3)(x-3)}\\=&\frac{2(x-3)-2(x+3)+2x+18}{(x+3)(x-3)}\\=&\frac{2x-6-2x-6+2x+18}{(x+3)(x-3)}\\=&\frac{2(x+3)}{(x+3)(x-3)}\\=&\frac{2}{x-3}\quad(x≠\pm3)\end{aligned}$
要使$\frac{2}{x-3}$为整数，且$x$为整数，则$x-3$是$2$的约数，即$x-3=\pm1,\pm2$，解得$x=4,2,5,1$，共4个符合条件的$x$。
$\begin{aligned}&\frac{2}{x+3}+\frac{2}{3-x}+\frac{2x+18}{x^2-9}\\=&\frac{2}{x+3}-\frac{2}{x-3}+\frac{2x+18}{(x+3)(x-3)}\\=&\frac{2(x-3)-2(x+3)+2x+18}{(x+3)(x-3)}\\=&\frac{2x-6-2x-6+2x+18}{(x+3)(x-3)}\\=&\frac{2(x+3)}{(x+3)(x-3)}\\=&\frac{2}{x-3}\quad(x≠\pm3)\end{aligned}$
要使$\frac{2}{x-3}$为整数，且$x$为整数，则$x-3$是$2$的约数，即$x-3=\pm1,\pm2$，解得$x=4,2,5,1$，共4个符合条件的$x$。
12. 当$|a|=3$时，代数式$(1-\dfrac{1}{a-2})÷\dfrac{a-3}{a^2-4}$的值为 （）
A.$5$
B.$-1$
C.$5$或$-1$
D.$0$
A.$5$
B.$-1$
C.$5$或$-1$
D.$0$
答案
B
解析
先化简代数式：
1. 计算括号内：$1 - \frac{1}{a-2} = \frac{a-2 -1}{a-2} = \frac{a-3}{a-2}$；
2. 除法转化为乘法：$\frac{a-3}{a-2} ÷ \frac{a-3}{a^2 -4} = \frac{a-3}{a-2} × \frac{(a-2)(a+2)}{a-3}$，约分后得$a+2$；
3. 由$|a|=3$得$a=3$或$a=-3$，原式中分母不能为0，故$a≠3$（除数$a-3=0$无意义），仅取$a=-3$；
4. 代入得$-3 + 2 = -1$。
1. 计算括号内：$1 - \frac{1}{a-2} = \frac{a-2 -1}{a-2} = \frac{a-3}{a-2}$；
2. 除法转化为乘法：$\frac{a-3}{a-2} ÷ \frac{a-3}{a^2 -4} = \frac{a-3}{a-2} × \frac{(a-2)(a+2)}{a-3}$，约分后得$a+2$；
3. 由$|a|=3$得$a=3$或$a=-3$，原式中分母不能为0，故$a≠3$（除数$a-3=0$无意义），仅取$a=-3$；
4. 代入得$-3 + 2 = -1$。
13. 已知$x-\dfrac{1}{x}=4$，则$x^{2}+\dfrac{1}{x^{2}}=\underline{\hspace{5em}}$.
答案
18
解析
根据完全平方公式，对$x - \frac{1}{x}=4$两边同时平方，得$(x - \frac{1}{x})^2 = 4^2$，展开左边式子：$x^2 - 2· x·\frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}=16$，化简后为$x^2 -2 + \frac{1}{x^2}=16$，移项计算得$x^2 + \frac{1}{x^2}=16 +2=18$。
14. 若代数式$\dfrac{x+1}{x+2}÷\dfrac{x+3}{x+4}$有意义，则$x$的取值范围是________.
答案
$x≠-4$且$x≠-3$且$x≠-2$
解析
要使代数式$\dfrac{x+1}{x+2}÷\dfrac{x+3}{x+4}$有意义，需满足分式的分母不为0，且除式的分母不为0，同时除式本身不为0。
1. 对于$\dfrac{x+1}{x+2}$，分母$x+2≠0$，得$x≠-2$；
2. 对于$\dfrac{x+3}{x+4}$，分母$x+4≠0$，得$x≠-4$；
3. 因为是除法运算，除式$\dfrac{x+3}{x+4}≠0$，即分子$x+3≠0$，得$x≠-3$。
综上，$x$的取值范围是$x≠-4$且$x≠-3$且$x≠-2$。
1. 对于$\dfrac{x+1}{x+2}$，分母$x+2≠0$，得$x≠-2$；
2. 对于$\dfrac{x+3}{x+4}$，分母$x+4≠0$，得$x≠-4$；
3. 因为是除法运算，除式$\dfrac{x+3}{x+4}≠0$，即分子$x+3≠0$，得$x≠-3$。
综上，$x$的取值范围是$x≠-4$且$x≠-3$且$x≠-2$。
