13. 已知$\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{4}$，求$\frac{2x+3y+4z}{5x-2y}$的值.

$\frac{29}{4}$

设$\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{4}=k$（$k≠0$），则$x=2k$，$y=3k$，$z=4k$。将其代入$\frac{2x+3y+4z}{5x-2y}$，得：
分子：$2x+3y+4z=2×2k + 3×3k + 4×4k=4k+9k+16k=29k$；
分母：$5x-2y=5×2k - 2×3k=10k-6k=4k$；
所以$\frac{2x+3y+4z}{5x-2y}=\frac{29k}{4k}=\frac{29}{4}$（$k≠0$，约去$k$）。

14. 当 $ x $ 取什么值时，分式 $ \dfrac{x - 1}{2 - 3x} $ 满足下列条件？
（1）分式的值是正数；
（2）分式的值是负数；
（3）分式的值是零；
（4）分式无意义。

（1）当$\frac{2}{3} ＜ x ＜ 1$时，分式的值是正数；（2）当$x ＞ 1$或$x ＜ \frac{2}{3}$时，分式的值是负数；（3）当$x = 1$时，分式的值是零；（4）当$x = \frac{2}{3}$时，分式无意义。

要解决分式$\frac{x - 1}{2 - 3x}$的相关问题，需根据分式的性质分析：
（1）分式的值为正数时，分子与分母同号，分两种情况：
① $\begin{cases}x - 1 ＞ 0 \\2 - 3x ＞ 0\end{cases}$，解得$\begin{cases}x ＞ 1 \\x ＜ \frac{2}{3}\end{cases}$，无解；
② $\begin{cases}x - 1 ＜ 0 \\2 - 3x ＜ 0\end{cases}$，解得$\begin{cases}x ＜ 1 \\x ＞ \frac{2}{3}\end{cases}$，即$\frac{2}{3} ＜ x ＜ 1$；
（2）分式的值为负数时，分子与分母异号，分两种情况：
① $\begin{cases}x - 1 ＞ 0 \\2 - 3x ＜ 0\end{cases}$，解得$\begin{cases}x ＞ 1 \\x ＞ \frac{2}{3}\end{cases}$，即$x ＞ 1$；
② $\begin{cases}x - 1 ＜ 0 \\2 - 3x ＞ 0\end{cases}$，解得$\begin{cases}x ＜ 1 \\x ＜ \frac{2}{3}\end{cases}$，即$x ＜ \frac{2}{3}$；
（3）分式的值为零时，分子为0且分母不为0：
令$x - 1 = 0$，得$x = 1$，此时分母$2 - 3×1 = -1 ≠ 0$，故$x = 1$；
（4）分式无意义时，分母为0：
令$2 - 3x = 0$，解得$x = \frac{2}{3}$。

15. 若 $ x $ 为整数，且$\frac{4x + 8}{x^2 - 4}$的值也为整数，求所有符合条件的 $ x $ 的值之和。

14

先对分式化简：$\frac{4x + 8}{x^2 - 4}=\frac{4(x + 2)}{(x + 2)(x - 2)}$，需满足$x + 2≠0$即$x≠-2$，约分后得$\frac{4}{x - 2}$。因为$x$为整数，且$\frac{4}{x - 2}$为整数，所以$x - 2$是4的约数，即$x - 2 = ±1，±2，±4$。分别计算：当$x - 2=1$时，$x=3$；当$x - 2=-1$时，$x=1$；当$x - 2=2$时，$x=4$；当$x - 2=-2$时，$x=0$；当$x - 2=4$时，$x=6$；当$x - 2=-4$时，$x=-2$（此时分母为0，舍去）。符合条件的$x$为0、1、3、4、6，它们的和为$0 + 1 + 3 + 4 + 6 = 14$。

16. 已知$x^2 - 3x + 1 = 0$，求$\dfrac{x^2}{x^4 + x^2 + 1}$的值.

$\frac{1}{8}$

已知$x^2 -3x +1=0$，因为$x≠0$（若$x=0$，代入方程得$1=0$，不成立），两边同除以$x$得：$x -3 +\frac{1}{x}=0$，即$x+\frac{1}{x}=3$。对所求式子取倒数：$\frac{x^4+x^2+1}{x^2}=x^2 +1 +\frac{1}{x^2}$，利用完全平方公式，$x^2+\frac{1}{x^2}=(x+\frac{1}{x})^2 -2$，代入$x+\frac{1}{x}=3$，得$x^2+\frac{1}{x^2}=9-2=7$，故$\frac{x^4+x^2+1}{x^2}=7+1=8$，因此$\frac{x^2}{x^4+x^2+1}=\frac{1}{8}$。

17. 阅读下面的解题过程：
已知$\frac{x}{x^2 + 1} = \frac{1}{3}$，求$\frac{x^2}{x^4 + 1}$的值.
解:由$\frac{x}{x^2 + 1} = \frac{1}{3}$，知$x≠0$，所以$\frac{x^2 + 1}{x} = 3$，即$x + \frac{1}{x} = 3$，所以$\frac{x^4 + 1}{x^2} = x^2 + \frac{1}{x^2} = (x + \frac{1}{x})^2 - 2x · \frac{1}{x} = 3^2 - 2 = 7$，所以$\frac{x^2}{x^4 + 1}$的值为$\frac{1}{7}$.
该题的解法叫作“倒数法”.
请你利用“倒数法”解下面的题目:
已知$\frac{x}{x^2 - 2x - 2} = 4$.
求:(1) $x - \frac{2}{x}$的值；
(2) $\frac{x^4 - 6x^2 + 4}{x^2}$的值.

(1)$\frac{9}{4}$；(2)$\frac{16}{49}$

已知$\frac{x}{x^2 -2x -2}=4$，因为$x≠0$（若$x=0$，左边为$0≠4$，不符合题意），对等式两边取倒数得：
$\frac{x^2 -2x -2}{x}=\frac{1}{4}$，
拆分左边得：$x - 2 - \frac{2}{x} = \frac{1}{4}$，
移项计算得：$x - \frac{2}{x} = \frac{1}{4} + 2 = \frac{9}{4}$，即(1)的结果。
对于(2)，求$\frac{x^2}{x^4 -6x^2 +4}$，先对其取倒数：
$\frac{x^4 -6x^2 +4}{x^2} = x^2 -6 + \frac{4}{x^2}$，
将$x^2 + \frac{4}{x^2}$变形为完全平方形式：$x^2 + \frac{4}{x^2}=(x - \frac{2}{x})^2 + 2· x· \frac{2}{x}=(x - \frac{2}{x})^2 +4$，
代入$x - \frac{2}{x}=\frac{9}{4}$，得：
$x^2 + \frac{4}{x^2}=(\frac{9}{4})^2 +4=\frac{81}{16}+\frac{64}{16}=\frac{145}{16}$，
因此$\frac{x^4 -6x^2 +4}{x^2}=\frac{145}{16}-6=\frac{49}{16}$，
故$\frac{x^2}{x^4 -6x^2 +4}=\frac{16}{49}$。