登录
1. 下列方程组是三元一次方程组的是 （
A.$\begin{cases} x + y = 1, \\ y + z = 2, \\ z - x = 3 \end{cases}$
B.$\begin{cases} x + y + z = 0, \\ x - 2yz = 3, \\ y - z = 10 \end{cases}$
C.$\begin{cases} x^2 + 2y = 1, \\ y + z = 5, \\ x - z = 4 \end{cases}$
D.$\begin{cases} x + y = 5, \\ w + z = 6, \\ z + x = 3 \end{cases}$
A
）A.$\begin{cases} x + y = 1, \\ y + z = 2, \\ z - x = 3 \end{cases}$
B.$\begin{cases} x + y + z = 0, \\ x - 2yz = 3, \\ y - z = 10 \end{cases}$
C.$\begin{cases} x^2 + 2y = 1, \\ y + z = 5, \\ x - z = 4 \end{cases}$
D.$\begin{cases} x + y = 5, \\ w + z = 6, \\ z + x = 3 \end{cases}$
答案
1. A
解析
【分析】
要判断一个方程组是否为三元一次方程组，需紧扣三元一次方程组的3个判定条件：①方程组中总共包含3个不同的未知数；②所有方程都是整式方程；③每个方程中含未知数的项的次数都是1。我们只需对照这3个条件逐一验证每个选项，就能选出正确答案。
【解析】
首先明确三元一次方程组的定义：含有3个不同的未知数，含未知数的项的次数都是1，且由整式方程组成的方程组，叫做三元一次方程组。
逐个分析选项：
A选项：方程组包含x、y、z共3个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，且都是整式方程，符合三元一次方程组的定义。
B选项：第二个方程中的$-2yz$项，是两个未知数相乘，次数为$1+1=2$，不满足“含未知数的项的次数都是1”的要求，不是三元一次方程组。
C选项：第一个方程中的$x^2$项次数为2，不符合次数要求，不是三元一次方程组。
D选项：方程组中出现了x、y、z、w共4个不同的未知数，不满足“总共3个未知数”的要求，不是三元一次方程组。
【答案】
A
【知识点】
三元一次方程组的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题核心是准确记忆三元一次方程组的判定标准，判断时要同时核对未知数个数、项的次数、整式方程三个条件，避免漏看条件出错。
【难度系数】
0.8
要判断一个方程组是否为三元一次方程组，需紧扣三元一次方程组的3个判定条件：①方程组中总共包含3个不同的未知数；②所有方程都是整式方程；③每个方程中含未知数的项的次数都是1。我们只需对照这3个条件逐一验证每个选项，就能选出正确答案。
【解析】
首先明确三元一次方程组的定义：含有3个不同的未知数，含未知数的项的次数都是1，且由整式方程组成的方程组，叫做三元一次方程组。
逐个分析选项：
A选项：方程组包含x、y、z共3个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，且都是整式方程，符合三元一次方程组的定义。
B选项：第二个方程中的$-2yz$项，是两个未知数相乘，次数为$1+1=2$，不满足“含未知数的项的次数都是1”的要求，不是三元一次方程组。
C选项：第一个方程中的$x^2$项次数为2，不符合次数要求，不是三元一次方程组。
D选项：方程组中出现了x、y、z、w共4个不同的未知数，不满足“总共3个未知数”的要求，不是三元一次方程组。
【答案】
A
【知识点】
三元一次方程组的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题核心是准确记忆三元一次方程组的判定标准，判断时要同时核对未知数个数、项的次数、整式方程三个条件，避免漏看条件出错。
【难度系数】
0.8
2. 已知关于$x$，$y$的二元一次方程组$\begin{cases}x + 2y = 1, \\2x + y = 4,\end{cases}$则$x - y$的值为（ ）
A.$-2$
B.$2$
C.$-3$
D.$3$
A.$-2$
B.$2$
C.$-3$
D.$3$
答案
2. D
解析
【分析】
要求$x-y$的值，有两种常用解题思路：第一种是先解二元一次方程组，分别求出$x$和$y$的具体数值，再代入计算$x-y$；第二种是观察两个方程的系数特征，发现将第二个方程减去第一个方程，左边整理后可直接得到$x-y$的形式，右边计算常数项的差就能得到结果，不需要单独求$x$和$y$，这种方法更简便。
【解析】
方法一（整体消元法）：
记$\begin{cases}x + 2y = 1&① \\2x + y = 4&② \end{cases}$
用②式减去①式可得：
$\begin{aligned}(2x + y) - (x + 2y) &= 4 - 1 \\2x + y - x - 2y &= 3 \\x - y &= 3\end{aligned}$
方法二（常规求解法）：
由①式移项得$x = 1 - 2y$ ③，将③代入②式：
$\begin{aligned}2(1 - 2y) + y &= 4 \\2 - 4y + y &= 4 \\-3y &= 2 \\y &= -\frac{2}{3}\end{aligned}$
把$y = -\frac{2}{3}$代入③得：$x = 1 - 2×(-\frac{2}{3}) = \frac{7}{3}$
则$x - y = \frac{7}{3} - (-\frac{2}{3}) = 3$
【答案】
D
【知识点】
二元一次方程组的解法，代数式求值，加减消元法
【点评】
本题既可以先求解未知数再计算目标式，也可以通过观察方程结构整体运算得到结果，做题时可优先观察式子特点，选择更高效的解法。
【难度系数】
0.9
要求$x-y$的值，有两种常用解题思路：第一种是先解二元一次方程组，分别求出$x$和$y$的具体数值，再代入计算$x-y$；第二种是观察两个方程的系数特征，发现将第二个方程减去第一个方程，左边整理后可直接得到$x-y$的形式，右边计算常数项的差就能得到结果，不需要单独求$x$和$y$，这种方法更简便。
【解析】
方法一（整体消元法）：
记$\begin{cases}x + 2y = 1&① \\2x + y = 4&② \end{cases}$
用②式减去①式可得：
$\begin{aligned}(2x + y) - (x + 2y) &= 4 - 1 \\2x + y - x - 2y &= 3 \\x - y &= 3\end{aligned}$
方法二（常规求解法）：
由①式移项得$x = 1 - 2y$ ③，将③代入②式：
$\begin{aligned}2(1 - 2y) + y &= 4 \\2 - 4y + y &= 4 \\-3y &= 2 \\y &= -\frac{2}{3}\end{aligned}$
把$y = -\frac{2}{3}$代入③得：$x = 1 - 2×(-\frac{2}{3}) = \frac{7}{3}$
则$x - y = \frac{7}{3} - (-\frac{2}{3}) = 3$
【答案】
D
【知识点】
二元一次方程组的解法，代数式求值，加减消元法
【点评】
本题既可以先求解未知数再计算目标式，也可以通过观察方程结构整体运算得到结果，做题时可优先观察式子特点，选择更高效的解法。
【难度系数】
0.9
3. 三元一次方程组$\begin{cases}x + y = 3, \\ y + z = 5, \\ x + z = 4\end{cases}$的解为（ ）
A.$\begin{cases} x = 1, \\ y = 3, \\ z = 2 \end{cases}$
B.$\begin{cases} x = 2, \\ y = 1, \\ z = 3 \end{cases}$
C.$\begin{cases} x = 3, \\ y = 2, \\ z = 1 \end{cases}$
D.$\begin{cases} x = 1, \\ y = 2, \\ z = 3 \end{cases}$
A.$\begin{cases} x = 1, \\ y = 3, \\ z = 2 \end{cases}$
B.$\begin{cases} x = 2, \\ y = 1, \\ z = 3 \end{cases}$
C.$\begin{cases} x = 3, \\ y = 2, \\ z = 1 \end{cases}$
D.$\begin{cases} x = 1, \\ y = 2, \\ z = 3 \end{cases}$
答案
3. D
解析
【分析】
解这道题有两种常用思路，思路一：利用加减消元法，先把三个方程相加求出x+y+z的总和，再用总和分别减去每个二元方程，就能依次求出z、x、y的值；思路二：因为是选择题，也可以把四个选项的数值逐一代入三个方程验证，全部满足的就是正确答案。
【解析】
先给三个方程依次编号：
$\begin{cases}x + y = 3 \ \ \ ①, \\ y + z = 5 \ \ \ ②, \\ x + z = 4 \ \ \ ③\end{cases}$
将①+②+③，左边相加得$2x+2y+2z$，右边相加得$3+5+4=12$，即$2(x+y+z)=12$，化简得$x+y+z=6$ ④。
用④减去①：$(x+y+z)-(x+y)=6-3$，计算得$z=3$；
用④减去②：$(x+y+z)-(y+z)=6-5$，计算得$x=1$；
用④减去③：$(x+y+z)-(x+z)=6-4$，计算得$y=2$。
所以方程组的解为$\begin{cases} x = 1, \\ y = 2, \\ z = 3 \end{cases}$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
三元一次方程组解法，加减消元法
【点评】
本题属于三元一次方程组的基础考查题型，求解时既可以用加减消元法直接算出未知数的值，也可以利用选择题的特性用代入验证法快速选出答案，计算难度较低。
【难度系数】
0.9
解这道题有两种常用思路，思路一：利用加减消元法，先把三个方程相加求出x+y+z的总和，再用总和分别减去每个二元方程，就能依次求出z、x、y的值；思路二：因为是选择题，也可以把四个选项的数值逐一代入三个方程验证，全部满足的就是正确答案。
【解析】
先给三个方程依次编号：
$\begin{cases}x + y = 3 \ \ \ ①, \\ y + z = 5 \ \ \ ②, \\ x + z = 4 \ \ \ ③\end{cases}$
将①+②+③，左边相加得$2x+2y+2z$，右边相加得$3+5+4=12$，即$2(x+y+z)=12$，化简得$x+y+z=6$ ④。
用④减去①：$(x+y+z)-(x+y)=6-3$，计算得$z=3$；
用④减去②：$(x+y+z)-(y+z)=6-5$，计算得$x=1$；
用④减去③：$(x+y+z)-(x+z)=6-4$，计算得$y=2$。
所以方程组的解为$\begin{cases} x = 1, \\ y = 2, \\ z = 3 \end{cases}$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
三元一次方程组解法，加减消元法
【点评】
本题属于三元一次方程组的基础考查题型，求解时既可以用加减消元法直接算出未知数的值，也可以利用选择题的特性用代入验证法快速选出答案，计算难度较低。
【难度系数】
0.9
4.（生活应用）小华看到如图所示的一幅图片并根据其设计了如下数学问题：若设桌子的高度是x cm，站立的小猫的高度为y cm，趴着的小猫的高度为z cm，则桌子的高度为（
A.130 cm
B.120 cm
C.110 cm
D.100 cm
A
）A.130 cm
B.120 cm
C.110 cm
D.100 cm
答案
4. A
解析
【分析】
我们可以先根据两个图示的高度信息，分别列出包含桌子高度、站立小猫高度、趴着小猫高度的等量关系式。观察两个关系式的特征，发现将两个式子相加后，站立小猫和趴着小猫的高度这两个未知量会相互抵消，就能直接计算出桌子的高度，不需要单独求出每只小猫的高度。
【解析】
设桌子的高度是$x\ \mathrm{cm}$，站立的小猫的高度为$y\ \mathrm{cm}$，趴着的小猫的高度为$z\ \mathrm{cm}$。
根据第一个图的高度关系可得：$x + y - z = 150$ ①
根据第二个图的高度关系可得：$x + z - y = 110$ ②
将①和②两个等式左右两边分别相加：
左边：$(x + y - z) + (x + z - y) = 2x$
右边：$150 + 110 = 260$
即$2x = 260$，解得$x = 130$。
所以桌子的高度为130cm。
【答案】
A
【知识点】
列等量关系、等式的性质、加减消元
【点评】
本题结合趣味生活情境出题，解题的核心是准确梳理两个图示对应的高度关系，不需要单独求解两个小猫的高度，利用整体相加消去未知量的方法即可快速得到结果，侧重考查对等量关系的分析和等式性质的运用能力。
【难度系数】
0.7
我们可以先根据两个图示的高度信息，分别列出包含桌子高度、站立小猫高度、趴着小猫高度的等量关系式。观察两个关系式的特征，发现将两个式子相加后，站立小猫和趴着小猫的高度这两个未知量会相互抵消，就能直接计算出桌子的高度，不需要单独求出每只小猫的高度。
【解析】
设桌子的高度是$x\ \mathrm{cm}$，站立的小猫的高度为$y\ \mathrm{cm}$，趴着的小猫的高度为$z\ \mathrm{cm}$。
根据第一个图的高度关系可得：$x + y - z = 150$ ①
根据第二个图的高度关系可得：$x + z - y = 110$ ②
将①和②两个等式左右两边分别相加：
左边：$(x + y - z) + (x + z - y) = 2x$
右边：$150 + 110 = 260$
即$2x = 260$，解得$x = 130$。
所以桌子的高度为130cm。
【答案】
A
【知识点】
列等量关系、等式的性质、加减消元
【点评】
本题结合趣味生活情境出题，解题的核心是准确梳理两个图示对应的高度关系，不需要单独求解两个小猫的高度，利用整体相加消去未知量的方法即可快速得到结果，侧重考查对等量关系的分析和等式性质的运用能力。
【难度系数】
0.7
