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19. 我们把关于$x$，$y$的两个二元一次方程$ax+by=c$与$bx+ay=c(a≠b)$叫作互为共轭二元一次方程；二元一次方程组$\begin{cases}ax + by = c, \\ bx + ay = c\end{cases}$叫作关于$x$，$y$的共轭二元一次方程组。例如：$2x - y = 3$与$-x + 2y = 3$互为共轭二元一次方程，二元一次方程组$\begin{cases}2x - y = 3, \\ -x + 2y = 3\end{cases}$叫作关于$x$，$y$的共轭二元一次方程组；$2(x - 1) - (y + 2) = 3$与$-(x - 1) + 2(y + 2) = 3$互为共轭二元一次方程，二元一次方程组$\begin{cases}2(x - 1) - (y + 2) = 3, \\ -(x - 1) + 2(y + 2) = 3\end{cases}$叫作关于$x-1$，$y+2$的共轭二元一次方程组.
(1) 若关于$x$，$y$的方程组$\begin{cases}x + 2y = b + 2, \\ (1 - a)x + y = 3\end{cases}$为共轭二元一次方程组，则$a=$ ______ ，$b=$ ______ ；
(2) 若二元一次方程$x + by = 1$中$x$，$y$的值满足下列表格：
则这个方程的共轭二元一次方程是
(3) 解方程组(直接写出方程组的解即可)：$\begin{cases}2024x - 2025y = 1, \\ -2025x + 2024y = 1\end{cases}$的解为 ______ .
(4) 发现：若方程组$\begin{cases}ax + by = c + a + 2b, \\ bx + ay = c + 2a + b\end{cases}$是关于$x$，$y$的共轭二元一次方程组，且方程组的解是$\begin{cases}x = m, \\ y = n\end{cases}$，请计算$n^2 - mn - n + 2026$的值.
(1) 若关于$x$，$y$的方程组$\begin{cases}x + 2y = b + 2, \\ (1 - a)x + y = 3\end{cases}$为共轭二元一次方程组，则$a=$ ______ ，$b=$ ______ ；
(2) 若二元一次方程$x + by = 1$中$x$，$y$的值满足下列表格：
则这个方程的共轭二元一次方程是$\frac{1}{2}x + y = 1$
；(3) 解方程组(直接写出方程组的解即可)：$\begin{cases}2024x - 2025y = 1, \\ -2025x + 2024y = 1\end{cases}$的解为 ______ .
(4) 发现：若方程组$\begin{cases}ax + by = c + a + 2b, \\ bx + ay = c + 2a + b\end{cases}$是关于$x$，$y$的共轭二元一次方程组，且方程组的解是$\begin{cases}x = m, \\ y = n\end{cases}$，请计算$n^2 - mn - n + 2026$的值.
答案
19.(1)$-1$ $1$ (2)$\frac{1}{2}x + y = 1$ (3)$\begin{cases} x = -1, \\ y = -1 \end{cases}$ (4)2 026
解析
【分析】
本题是新定义类题型，解题核心是先准确理解“共轭二元一次方程组”的定义：对于方程组$\begin{cases}ax + by = c \\ bx + ay = c\end{cases}$（$a≠b$），两个方程的$x$、$y$系数互换，右侧常数项相等。各小问思路如下：
(1) 对照定义，匹配两个方程的系数和常数项，列等式计算$a$、$b$即可；
(2) 先将表格中$x$、$y$的取值代入方程求出$b$的值，再根据共轭方程的定义互换$x$、$y$系数，保持常数项不变写出对应方程；
(3) 利用加减消元法，先将两个方程相加、相减，简化运算求出$x$、$y$的关系，进而得到方程组的解；
(4) 将方程组的解$\begin{cases}x=m \\ y=n\end{cases}$代入方程组，通过两个方程作差消去参数$c$，推导得到$m$和$n$的数量关系，再代入所求代数式计算即可。
【解析】
(1) 根据共轭二元一次方程组的定义，两个方程的$x$、$y$系数互换，常数项相等：
第一个方程$x+2y = b+2$的$x$系数为1，$y$系数为2，常数项为$b+2$；
第二个方程$(1-a)x + y = 3$的$x$系数为$1-a$，$y$系数为1，常数项为3；
因此可得：$\begin{cases}1-a = 2 \\ b+2 = 3\end{cases}$，解得$\begin{cases}a=-1 \\ b=1\end{cases}$。
(2) 先将表格中$x=0$，$y=2$代入方程$x+by=1$，得：$0 + 2b = 1$，解得$b=\frac{1}{2}$，
因此原方程为$x + \frac{1}{2}y =1$，根据共轭方程定义，互换$x$、$y$的系数，常数项不变，可得共轭方程为$\frac{1}{2}x + y = 1$。
(3) 解方程组$\begin{cases}2024x - 2025y = 1&① \\ -2025x + 2024y =1&②\end{cases}$
①+②得：$-x -y = 2$，即$x+y=-2$ ③
①-②得：$4049x - 4049y = 0$，即$x=y$ ④
将④代入③得：$2x=-2$，解得$x=-1$，因此$y=-1$，即方程组的解为$\begin{cases}x=-1 \\ y=-1\end{cases}$。
(4) 将$\begin{cases}x=m \\ y=n\end{cases}$代入方程组$\begin{cases}am + bn = c +a +2b&① \\ bm + an = c +2a +b&②\end{cases}$
①-②得：$(a-b)m + (b-a)n = -a + b$
整理得：$(a-b)(m-n) = -(a-b)$
$\because a≠b$，$\therefore a-b≠0$，两边同时除以$(a-b)$得：$m-n=-1$，即$n = m+1$
将$n = m+1$代入$n^2 - mn -n +2026$：
$\begin{aligned}原式 &= (m+1)^2 - m(m+1) - (m+1) + 2026 \\&= m^2 +2m +1 -m^2 -m -m -1 +2026 \\&= 2026\end{aligned}$
【答案】
(1)$-1$，$1$；(2)$\frac{1}{2}x + y = 1$；(3)$\begin{cases} x = -1, \\ y = -1 \end{cases}$；(4)$2026$
【知识点】
新定义问题，二元一次方程组的解，解二元一次方程组
【点评】
本题以新定义为载体，考查二元一次方程组的相关知识，解题的关键是准确理解共轭二元一次方程组的特征，灵活运用加减消元法简化运算，最后一问无需求出参数的具体值，通过作差推导变量关系即可求解，整体考查学生的读题理解能力和运算能力。
【难度系数】
0.7
本题是新定义类题型，解题核心是先准确理解“共轭二元一次方程组”的定义：对于方程组$\begin{cases}ax + by = c \\ bx + ay = c\end{cases}$（$a≠b$），两个方程的$x$、$y$系数互换，右侧常数项相等。各小问思路如下：
(1) 对照定义，匹配两个方程的系数和常数项，列等式计算$a$、$b$即可；
(2) 先将表格中$x$、$y$的取值代入方程求出$b$的值，再根据共轭方程的定义互换$x$、$y$系数，保持常数项不变写出对应方程；
(3) 利用加减消元法，先将两个方程相加、相减，简化运算求出$x$、$y$的关系，进而得到方程组的解；
(4) 将方程组的解$\begin{cases}x=m \\ y=n\end{cases}$代入方程组，通过两个方程作差消去参数$c$，推导得到$m$和$n$的数量关系，再代入所求代数式计算即可。
【解析】
(1) 根据共轭二元一次方程组的定义，两个方程的$x$、$y$系数互换，常数项相等：
第一个方程$x+2y = b+2$的$x$系数为1，$y$系数为2，常数项为$b+2$；
第二个方程$(1-a)x + y = 3$的$x$系数为$1-a$，$y$系数为1，常数项为3；
因此可得：$\begin{cases}1-a = 2 \\ b+2 = 3\end{cases}$，解得$\begin{cases}a=-1 \\ b=1\end{cases}$。
(2) 先将表格中$x=0$，$y=2$代入方程$x+by=1$，得：$0 + 2b = 1$，解得$b=\frac{1}{2}$，
因此原方程为$x + \frac{1}{2}y =1$，根据共轭方程定义，互换$x$、$y$的系数，常数项不变，可得共轭方程为$\frac{1}{2}x + y = 1$。
(3) 解方程组$\begin{cases}2024x - 2025y = 1&① \\ -2025x + 2024y =1&②\end{cases}$
①+②得：$-x -y = 2$，即$x+y=-2$ ③
①-②得：$4049x - 4049y = 0$，即$x=y$ ④
将④代入③得：$2x=-2$，解得$x=-1$，因此$y=-1$，即方程组的解为$\begin{cases}x=-1 \\ y=-1\end{cases}$。
(4) 将$\begin{cases}x=m \\ y=n\end{cases}$代入方程组$\begin{cases}am + bn = c +a +2b&① \\ bm + an = c +2a +b&②\end{cases}$
①-②得：$(a-b)m + (b-a)n = -a + b$
整理得：$(a-b)(m-n) = -(a-b)$
$\because a≠b$，$\therefore a-b≠0$，两边同时除以$(a-b)$得：$m-n=-1$，即$n = m+1$
将$n = m+1$代入$n^2 - mn -n +2026$：
$\begin{aligned}原式 &= (m+1)^2 - m(m+1) - (m+1) + 2026 \\&= m^2 +2m +1 -m^2 -m -m -1 +2026 \\&= 2026\end{aligned}$
【答案】
(1)$-1$，$1$；(2)$\frac{1}{2}x + y = 1$；(3)$\begin{cases} x = -1, \\ y = -1 \end{cases}$；(4)$2026$
【知识点】
新定义问题，二元一次方程组的解，解二元一次方程组
【点评】
本题以新定义为载体，考查二元一次方程组的相关知识，解题的关键是准确理解共轭二元一次方程组的特征，灵活运用加减消元法简化运算，最后一问无需求出参数的具体值，通过作差推导变量关系即可求解，整体考查学生的读题理解能力和运算能力。
【难度系数】
0.7
