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9. 已知某正数的两个不同平方根分别是$m+4$和$2m-16$，则$m=$
$4$
.答案
9. 4
解析
【分析】
本题解题核心是运用正数平方根的性质，首先回忆知识点：一个正数的两个不同平方根互为相反数，而互为相反数的两个数相加和为0。我们可以根据这一规律列出关于m的一元一次方程，再按照解方程的步骤计算就能得到m的值。
【解析】
解：根据正数的两个不同平方根互为相反数，且互为相反数的两数之和为0，可列方程：
$\begin{aligned}(m+4)+(2m-16)&=0\\3m-12&=0\\3m&=12\\m&=4\end{aligned}$
【答案】
4
【知识点】
平方根的性质、解一元一次方程
【点评】
本题是基础类题型，主要考查平方根的基本概念，只要熟练掌握正数平方根的相关性质就能快速找到解题思路，计算过程简单，不易出错。
【难度系数】
0.8
本题解题核心是运用正数平方根的性质，首先回忆知识点：一个正数的两个不同平方根互为相反数，而互为相反数的两个数相加和为0。我们可以根据这一规律列出关于m的一元一次方程，再按照解方程的步骤计算就能得到m的值。
【解析】
解：根据正数的两个不同平方根互为相反数，且互为相反数的两数之和为0，可列方程：
$\begin{aligned}(m+4)+(2m-16)&=0\\3m-12&=0\\3m&=12\\m&=4\end{aligned}$
【答案】
4
【知识点】
平方根的性质、解一元一次方程
【点评】
本题是基础类题型，主要考查平方根的基本概念，只要熟练掌握正数平方根的相关性质就能快速找到解题思路，计算过程简单，不易出错。
【难度系数】
0.8
10. 用计算器计算了一部分数的平方，结果如下表. 根据表中的信息判断下列结论中，正确的有
①275.56 的平方根是 ±16.6；②$\sqrt{2.7889}=1.67$；③265 的算术平方根比16.3大；④只有4个正整数n满足$16.4 ＜ \sqrt{n} ＜16.5$.
①②④
(填序号).①275.56 的平方根是 ±16.6；②$\sqrt{2.7889}=1.67$；③265 的算术平方根比16.3大；④只有4个正整数n满足$16.4 ＜ \sqrt{n} ＜16.5$.
答案
10. ①②④
解析
【分析】
解题时结合表格给出的数与其平方的对应关系，依据平方根、算术平方根的定义和性质，以及被开方数与算术平方根的小数点移动规律、不等式的基本性质，逐个判断4个结论是否正确：第一步先从表格中提取对应数的平方值，第二步结合相关性质对每个结论逐一验证，第三步统计正确结论的序号即可。
【解析】
根据表格可得对应平方值：$16.3^2=265.69$，$16.4^2=268.96$，$16.5^2=272.25$，$16.6^2=275.56$，$16.7^2=278.89$。
①：由平方根的定义，若$x^2=a$，则$x$是$a$的平方根，因为$16.6^2=275.56$，所以275.56的平方根是$\pm16.6$，①正确；
②：由算术平方根的小数点移动规律：被开方数的小数点向左移动2位，对应算术平方根的小数点向左移动1位。因为$\sqrt{278.89}=16.7$，所以$\sqrt{2.7889}=1.67$，②正确；
③：因为正数的算术平方根随被开方数增大而增大，$265＜265.69=16.3^2$，所以$\sqrt{265}＜16.3$，即265的算术平方根比16.3小，③错误；
④：对不等式$16.4＜\sqrt{n}＜16.5$两边同时平方（两边均为正数，不等号方向不变），得$16.4^2＜n＜16.5^2$，即$268.96＜n＜272.25$，满足条件的正整数$n$为269、270、271、272，共4个，④正确。
综上，正确的结论是①②④。
【答案】
①②④
【知识点】
平方根与算术平方根，算术平方根变化规律，不等式的性质
【点评】
本题结合平方表考查平方根相关的基础性质，解题时要注意区分平方根和算术平方根的差异，利用已知的平方值结合相关规律推导未知结论，处理含根号的不等式时要注意两边均为正数时平方才不改变不等号方向。
【难度系数】
0.7
解题时结合表格给出的数与其平方的对应关系，依据平方根、算术平方根的定义和性质，以及被开方数与算术平方根的小数点移动规律、不等式的基本性质，逐个判断4个结论是否正确：第一步先从表格中提取对应数的平方值，第二步结合相关性质对每个结论逐一验证，第三步统计正确结论的序号即可。
【解析】
根据表格可得对应平方值：$16.3^2=265.69$，$16.4^2=268.96$，$16.5^2=272.25$，$16.6^2=275.56$，$16.7^2=278.89$。
①：由平方根的定义，若$x^2=a$，则$x$是$a$的平方根，因为$16.6^2=275.56$，所以275.56的平方根是$\pm16.6$，①正确；
②：由算术平方根的小数点移动规律：被开方数的小数点向左移动2位，对应算术平方根的小数点向左移动1位。因为$\sqrt{278.89}=16.7$，所以$\sqrt{2.7889}=1.67$，②正确；
③：因为正数的算术平方根随被开方数增大而增大，$265＜265.69=16.3^2$，所以$\sqrt{265}＜16.3$，即265的算术平方根比16.3小，③错误；
④：对不等式$16.4＜\sqrt{n}＜16.5$两边同时平方（两边均为正数，不等号方向不变），得$16.4^2＜n＜16.5^2$，即$268.96＜n＜272.25$，满足条件的正整数$n$为269、270、271、272，共4个，④正确。
综上，正确的结论是①②④。
【答案】
①②④
【知识点】
平方根与算术平方根，算术平方根变化规律，不等式的性质
【点评】
本题结合平方表考查平方根相关的基础性质，解题时要注意区分平方根和算术平方根的差异，利用已知的平方值结合相关规律推导未知结论，处理含根号的不等式时要注意两边均为正数时平方才不改变不等号方向。
【难度系数】
0.7
11. 求下列x的值：
(1)$x^2 -81=0$；
(2)$2x^2 -128=0$；
(3)$2(x-1)^2 -50=0$.
(1)$x^2 -81=0$；
(2)$2x^2 -128=0$；
(3)$2(x-1)^2 -50=0$.
答案
11. (1)$x = \pm9.$
(2)$x = \pm8.$
(3)$x=6$或$x = -4.$
(2)$x = \pm8.$
(3)$x=6$或$x = -4.$
解析
【分析】
这三道题均可利用平方根的性质，用直接开平方法求解。解题思路如下：首先通过移项、系数化为1，将方程整理为“含未知数的代数式的平方等于非负常数”的形式；再根据正数有两个互为相反数的平方根，对等式两边开平方求解；第(3)小题需要把$(x-1)$看作一个整体计算，最后拆分得到两个一元一次方程，分别求出x的值即可，注意不要漏解。
【解析】
(1) 对$x^2 -81=0$移项，得：
$x^2=81$
根据平方根的定义开平方，得：
$x=\pm\sqrt{81}=\pm9$
(2) 对$2x^2 -128=0$移项，得：
$2x^2=128$
两边同时除以2，系数化为1得：
$x^2=64$
开平方得：
$x=\pm\sqrt{64}=\pm8$
(3) 对$2(x-1)^2 -50=0$移项，得：
$2(x-1)^2=50$
两边同时除以2，系数化为1得：
$(x-1)^2=25$
将$x-1$看作整体开平方，得：
$x-1=\pm5$
当$x-1=5$时，解得$x=6$；当$x-1=-5$时，解得$x=-4$，即$x=6$或$x=-4$。
【答案】
(1)$x = \pm9$
(2)$x = \pm8$
(3)$x=6$或$x = -4$
【知识点】
1. 平方根的性质
2. 直接开平方法解方程
3. 整体代换思想
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，核心考查直接开平方法的应用，解题关键是先将方程转化为平方项等于非负常数的形式，开平方时要注意正数的平方根有两个，避免出现只保留正根的漏解问题，第三小题运用整体思想可大幅降低计算难度。
【难度系数】
0.85
这三道题均可利用平方根的性质，用直接开平方法求解。解题思路如下：首先通过移项、系数化为1，将方程整理为“含未知数的代数式的平方等于非负常数”的形式；再根据正数有两个互为相反数的平方根，对等式两边开平方求解；第(3)小题需要把$(x-1)$看作一个整体计算，最后拆分得到两个一元一次方程，分别求出x的值即可，注意不要漏解。
【解析】
(1) 对$x^2 -81=0$移项，得：
$x^2=81$
根据平方根的定义开平方，得：
$x=\pm\sqrt{81}=\pm9$
(2) 对$2x^2 -128=0$移项，得：
$2x^2=128$
两边同时除以2，系数化为1得：
$x^2=64$
开平方得：
$x=\pm\sqrt{64}=\pm8$
(3) 对$2(x-1)^2 -50=0$移项，得：
$2(x-1)^2=50$
两边同时除以2，系数化为1得：
$(x-1)^2=25$
将$x-1$看作整体开平方，得：
$x-1=\pm5$
当$x-1=5$时，解得$x=6$；当$x-1=-5$时，解得$x=-4$，即$x=6$或$x=-4$。
【答案】
(1)$x = \pm9$
(2)$x = \pm8$
(3)$x=6$或$x = -4$
【知识点】
1. 平方根的性质
2. 直接开平方法解方程
3. 整体代换思想
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，核心考查直接开平方法的应用，解题关键是先将方程转化为平方项等于非负常数的形式，开平方时要注意正数的平方根有两个，避免出现只保留正根的漏解问题，第三小题运用整体思想可大幅降低计算难度。
【难度系数】
0.85
12. 如图，数轴上从左至右依次有C，O，A，B四个点，分别对应的数为x，0，1和$\sqrt{3}$，且$AB = CO$.
(1)求AB的长，并求x的值；
(2)求$(x+\sqrt{3})^2$的平方根.
(1)求AB的长，并求x的值；
(2)求$(x+\sqrt{3})^2$的平方根.
答案
12. (1)$AB = \sqrt{3} - 1$，$x = 1 - \sqrt{3}.$
(2)$(x+\sqrt{3})^2$的平方根是$\pm1.$
(2)$(x+\sqrt{3})^2$的平方根是$\pm1.$
解析
【分析】
(1) 首先利用数轴上两点间距离的计算规则：数轴上两点的距离等于右侧点对应的数减去左侧点对应的数，先算出AB的长度；再根据AB=CO的等量关系，点C在原点左侧，CO的长度为0减去C对应的数x，建立等式即可求出x的值。
(2) 先将第(1)问求出的x代入代数式$(x+\sqrt{3})^2$计算出结果，再根据平方根的定义：若$a^2=b$，则$a$是$b$的平方根，正数的平方根有两个且互为相反数，即可求出最终结果。
【解析】
(1) 解：
∵ 点A对应数为1，点B对应数为$\sqrt{3}$，且B在A右侧，
∴ $AB = \sqrt{3} - 1$
由题意$AB=CO$，点C在原点左侧，对应数为x，因此CO的长度为$0 - x$，
∴ $0 - x = \sqrt{3} - 1$
解得 $x = 1 - \sqrt{3}$
(2) 解：把$x = 1 - \sqrt{3}$代入$(x+\sqrt{3})^2$得：
$(x+\sqrt{3})^2 = (1 - \sqrt{3} + \sqrt{3})^2 = 1^2 = 1$
∵ 1的平方根为$\pm1$，
∴ $(x+\sqrt{3})^2$的平方根是$\pm1$。
【答案】
(1) $AB = \sqrt{3} - 1$，$x = 1 - \sqrt{3}$；
(2) $(x+\sqrt{3})^2$的平方根是$\pm1$。
【知识点】
数轴上两点距离计算，平方根的定义，代数式求值
【点评】
本题结合数轴考查基础代数运算，解题关键是掌握数轴两点距离的计算方法，以及平方根的性质，注意正数的平方根有两个，互为相反数，不要漏解负的平方根。
【难度系数】
0.8
(1) 首先利用数轴上两点间距离的计算规则：数轴上两点的距离等于右侧点对应的数减去左侧点对应的数，先算出AB的长度；再根据AB=CO的等量关系，点C在原点左侧，CO的长度为0减去C对应的数x，建立等式即可求出x的值。
(2) 先将第(1)问求出的x代入代数式$(x+\sqrt{3})^2$计算出结果，再根据平方根的定义：若$a^2=b$，则$a$是$b$的平方根，正数的平方根有两个且互为相反数，即可求出最终结果。
【解析】
(1) 解：
∵ 点A对应数为1，点B对应数为$\sqrt{3}$，且B在A右侧，
∴ $AB = \sqrt{3} - 1$
由题意$AB=CO$，点C在原点左侧，对应数为x，因此CO的长度为$0 - x$，
∴ $0 - x = \sqrt{3} - 1$
解得 $x = 1 - \sqrt{3}$
(2) 解：把$x = 1 - \sqrt{3}$代入$(x+\sqrt{3})^2$得：
$(x+\sqrt{3})^2 = (1 - \sqrt{3} + \sqrt{3})^2 = 1^2 = 1$
∵ 1的平方根为$\pm1$，
∴ $(x+\sqrt{3})^2$的平方根是$\pm1$。
【答案】
(1) $AB = \sqrt{3} - 1$，$x = 1 - \sqrt{3}$；
(2) $(x+\sqrt{3})^2$的平方根是$\pm1$。
【知识点】
数轴上两点距离计算，平方根的定义，代数式求值
【点评】
本题结合数轴考查基础代数运算，解题关键是掌握数轴两点距离的计算方法，以及平方根的性质，注意正数的平方根有两个，互为相反数，不要漏解负的平方根。
【难度系数】
0.8
