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13.（传统文化·生活应用）《清秘藏》是明代所著工艺美术鉴赏著作，其中所述的刺绣在中国经过长时间的发展，已经形成了极高的工艺水平和独特的工艺门类. 现有一张长方形绣布，长、宽之比为2:3，绣布面积为54 dm².
(1)求绣布的周长；
(2)刺绣师傅想利用这张绣布裁出一张面积为30 dm²的完整圆形绣布来绣花鸟图，她能够裁出来吗？请说明理由.（π取3）
(1)求绣布的周长；
(2)刺绣师傅想利用这张绣布裁出一张面积为30 dm²的完整圆形绣布来绣花鸟图，她能够裁出来吗？请说明理由.（π取3）
答案
13. (1)绣布的周长是30 dm.
(2)不能够裁出来，理由如下：
设圆的半径为r，$π r^2 = 30$，
解得$r = \sqrt{10}$，
直径为$2r = 2\sqrt{10} = \sqrt{40}$，
$\because 36 ＜ 40 ＜ 49,\ \therefore 6 ＜ \sqrt{40} ＜ 7.$
$\therefore$不能够裁出来.
(2)不能够裁出来，理由如下：
设圆的半径为r，$π r^2 = 30$，
解得$r = \sqrt{10}$，
直径为$2r = 2\sqrt{10} = \sqrt{40}$，
$\because 36 ＜ 40 ＜ 49,\ \therefore 6 ＜ \sqrt{40} ＜ 7.$
$\therefore$不能够裁出来.
解析
【分析】
(1) 要求绣布的周长，需先求出长方形的长和宽。已知长宽比为2:3，可设长为2x dm、宽为3x dm，结合面积为54 dm²列方程求出x的值，再代入周长公式计算即可。
(2) 判断能否裁出指定面积的圆形绣布，需明确：长方形内可裁剪的最大圆的直径不能超过长方形的较短边。先根据圆的面积公式求出目标圆的直径，再与长方形的短边比较，若圆的直径大于短边则无法裁出，反之可以裁出。
【解析】
(1) 设长方形绣布的长为$2x\ \mathrm{dm}$，宽为$3x\ \mathrm{dm}$，根据长方形面积公式得：
$2x·3x=54$
整理得$6x^2=54$，即$x^2=9$
∵长度为正数，
∴$x=3$
则长为$2×3=6\ \mathrm{dm}$，宽为$3×3=9\ \mathrm{dm}$
绣布的周长为$2×(6+9)=30\ \mathrm{dm}$
(2) 不能够裁出来，理由如下：
设面积为$30\ \mathrm{dm}^2$的圆形绣布半径为$r\ \mathrm{dm}$，根据圆的面积公式（$π$取3）得：
$3r^2=30$
解得$r^2=10$，即$r=\sqrt{10}$（半径为正，舍去负根）
圆的直径为$2r=2\sqrt{10}=\sqrt{40}$
∵长方形绣布的短边长为$6\ \mathrm{dm}=\sqrt{36}$，且$\sqrt{36}＜\sqrt{40}$，即目标圆的直径大于长方形的短边
∴无法裁出符合要求的完整圆形绣布。
【答案】
(1) 绣布的周长是30 dm；
(2) 不能够裁出来，理由见解析。
【知识点】
长方形的周长与面积计算、圆的面积计算、无理数的估算
【点评】
本题结合传统刺绣文化设置情境，考查了几何图形基本公式的应用和实际问题分析能力，解题关键是明确长方形内裁剪最大圆的直径受长方形较短边的限制。
【难度系数】
0.7
(1) 要求绣布的周长，需先求出长方形的长和宽。已知长宽比为2:3，可设长为2x dm、宽为3x dm，结合面积为54 dm²列方程求出x的值，再代入周长公式计算即可。
(2) 判断能否裁出指定面积的圆形绣布，需明确：长方形内可裁剪的最大圆的直径不能超过长方形的较短边。先根据圆的面积公式求出目标圆的直径，再与长方形的短边比较，若圆的直径大于短边则无法裁出，反之可以裁出。
【解析】
(1) 设长方形绣布的长为$2x\ \mathrm{dm}$，宽为$3x\ \mathrm{dm}$，根据长方形面积公式得：
$2x·3x=54$
整理得$6x^2=54$，即$x^2=9$
∵长度为正数，
∴$x=3$
则长为$2×3=6\ \mathrm{dm}$，宽为$3×3=9\ \mathrm{dm}$
绣布的周长为$2×(6+9)=30\ \mathrm{dm}$
(2) 不能够裁出来，理由如下：
设面积为$30\ \mathrm{dm}^2$的圆形绣布半径为$r\ \mathrm{dm}$，根据圆的面积公式（$π$取3）得：
$3r^2=30$
解得$r^2=10$，即$r=\sqrt{10}$（半径为正，舍去负根）
圆的直径为$2r=2\sqrt{10}=\sqrt{40}$
∵长方形绣布的短边长为$6\ \mathrm{dm}=\sqrt{36}$，且$\sqrt{36}＜\sqrt{40}$，即目标圆的直径大于长方形的短边
∴无法裁出符合要求的完整圆形绣布。
【答案】
(1) 绣布的周长是30 dm；
(2) 不能够裁出来，理由见解析。
【知识点】
长方形的周长与面积计算、圆的面积计算、无理数的估算
【点评】
本题结合传统刺绣文化设置情境，考查了几何图形基本公式的应用和实际问题分析能力，解题关键是明确长方形内裁剪最大圆的直径受长方形较短边的限制。
【难度系数】
0.7
14. 我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”. 例如：-9，-4，-1这三个数，$\sqrt{(-9) × (-4)} =6$，$\sqrt{(-9) × (-1)} =3$，$\sqrt{(-4) × (-1)} =2$，其结果6，3，2都是整数，所以-9，-4，-1这三个数称为“完美组合数”.
(1) -25，-4，-1这三个数是“完美组合数”吗？请说明理由.
(2)若三个数-80，a，-5是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为10，求a的值.
(1) -25，-4，-1这三个数是“完美组合数”吗？请说明理由.
(2)若三个数-80，a，-5是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为10，求a的值.
答案
14. (1)是“完美组合数”，理由略.
(2)$a = -20.$
(2)$a = -20.$
解析
【分析】
(1) 按照“完美组合数”的定义，只需计算三个数两两乘积的算术平方根，判断所有结果是否均为整数即可判定。
(2) 首先列出三个数两两乘积的三种情况，先计算已知的两个常数-80和-5乘积的算术平方根，发现不等于10，因此分剩下两种情况讨论，分别列方程求解a，再验证所得a是否满足“完美组合数”的要求，舍去不符合的结果即可。
【解析】
(1) -25，-4，-1是“完美组合数”，理由如下：
计算两两乘积的算术平方根：
$\sqrt{(-25)×(-4)}=\sqrt{100}=10$，
$\sqrt{(-25)×(-1)}=\sqrt{25}=5$，
$\sqrt{(-4)×(-1)}=\sqrt{4}=2$，
三个结果都是整数，符合“完美组合数”的定义，因此这三个数是“完美组合数”。
(2) 三个数-80，a，-5两两乘积的情况共3种，先计算$\sqrt{(-80)×(-5)}=\sqrt{400}=20≠10$，因此算术平方根为10的乘积只能是剩下两种情况：
① 若$\sqrt{(-80)·a}=10$，两边同时平方得：$-80a=100$，解得$a=-\frac{5}{4}$，不是负整数，不符合要求，舍去；
② 若$\sqrt{a·(-5)}=10$，两边同时平方得：$-5a=100$，解得$a=-20$。
验证：当$a=-20$时，三个数为-80，-20，-5，两两互不相等，且都是负整数，计算剩余的乘积算术平方根：$\sqrt{(-80)×(-20)}=\sqrt{1600}=40$，是整数，符合“完美组合数”的要求。
综上，a的值为-20。
【答案】
(1) 是“完美组合数”；(2) $a=-20$
【知识点】
算术平方根计算，新定义问题处理，有理数运算
【点评】
本题围绕新定义“完美组合数”展开，核心考查对算术平方根概念的理解和运用，解题时需紧扣定义分析，第二问要注意分类讨论后对结果进行验证，排除不符合题意的解。
【难度系数】
0.7
(1) 按照“完美组合数”的定义，只需计算三个数两两乘积的算术平方根，判断所有结果是否均为整数即可判定。
(2) 首先列出三个数两两乘积的三种情况，先计算已知的两个常数-80和-5乘积的算术平方根，发现不等于10，因此分剩下两种情况讨论，分别列方程求解a，再验证所得a是否满足“完美组合数”的要求，舍去不符合的结果即可。
【解析】
(1) -25，-4，-1是“完美组合数”，理由如下：
计算两两乘积的算术平方根：
$\sqrt{(-25)×(-4)}=\sqrt{100}=10$，
$\sqrt{(-25)×(-1)}=\sqrt{25}=5$，
$\sqrt{(-4)×(-1)}=\sqrt{4}=2$，
三个结果都是整数，符合“完美组合数”的定义，因此这三个数是“完美组合数”。
(2) 三个数-80，a，-5两两乘积的情况共3种，先计算$\sqrt{(-80)×(-5)}=\sqrt{400}=20≠10$，因此算术平方根为10的乘积只能是剩下两种情况：
① 若$\sqrt{(-80)·a}=10$，两边同时平方得：$-80a=100$，解得$a=-\frac{5}{4}$，不是负整数，不符合要求，舍去；
② 若$\sqrt{a·(-5)}=10$，两边同时平方得：$-5a=100$，解得$a=-20$。
验证：当$a=-20$时，三个数为-80，-20，-5，两两互不相等，且都是负整数，计算剩余的乘积算术平方根：$\sqrt{(-80)×(-20)}=\sqrt{1600}=40$，是整数，符合“完美组合数”的要求。
综上，a的值为-20。
【答案】
(1) 是“完美组合数”；(2) $a=-20$
【知识点】
算术平方根计算，新定义问题处理，有理数运算
【点评】
本题围绕新定义“完美组合数”展开，核心考查对算术平方根概念的理解和运用，解题时需紧扣定义分析，第二问要注意分类讨论后对结果进行验证，排除不符合题意的解。
【难度系数】
0.7
