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【生活情境】“优选1号”水稻试验田是边长为$a\ \mathrm{m}$（$a＞1$）的正方形中减去一个边长为1m的正方形蓄水池后余下的部分，“优选2号”水稻试验田是边长为$(a-1)\ \mathrm{m}$的正方形，两块试验田的水稻都收获了500kg.
【问题提出】“优选2号”水稻的单位面积产量是“优选1号”水稻单位面积产量的多少倍？
【问题分析】由已知条件可以分别求出两块水稻试验田的面积，进而可以求得两种水稻的单位面积产量，再根据题意列出算式，计算即可得到结果.
【问题提出】“优选2号”水稻的单位面积产量是“优选1号”水稻单位面积产量的多少倍？
【问题分析】由已知条件可以分别求出两块水稻试验田的面积，进而可以求得两种水稻的单位面积产量，再根据题意列出算式，计算即可得到结果.
答案
由题意得：“优选1号”水稻单位面积产量为$\frac{500}{a^2-1}\ \mathrm{kg/m^2}$，“优选2号”水稻单位面积产量为$\frac{500}{(a-1)^2}\mathrm{kg/m^2}$. 所以“优选2号”水稻的单位面积产量是“优选1号”水稻单位面积产量的$\frac{500}{(a-1)^2} ÷ \frac{500}{a^2-1} =\frac{500}{(a-1)^2} × \frac{(a-1)(a+1)}{500} =\frac{a+1}{a-1}$倍.
解析
【分析】
要解决这个问题，我们可以分三步思考：第一步，先分别求出两块试验田的面积，“优选1号”的面积是边长为a的正方形面积减去边长为1的正方形面积，“优选2号”的面积是边长为(a-1)的正方形面积；第二步，根据“单位面积产量=总产量÷种植面积”，分别写出两种水稻的单位面积产量；第三步，求“优选2号”单位面积产量是“优选1号”的几倍，就用2号的单位产量除以1号的单位产量，再根据分式乘除的运算法则计算、约分得到最终结果。
【解析】
首先计算两块试验田的面积：
“优选1号”试验田面积：$a^2 - 1\ \mathrm{m^2}$，
“优选2号”试验田面积：$(a-1)^2\ \mathrm{m^2}$。
再分别计算单位面积产量：
“优选1号”单位面积产量：$\frac{500}{a^2 - 1}\ \mathrm{kg/m^2}$，
“优选2号”单位面积产量：$\frac{500}{(a-1)^2}\ \mathrm{kg/m^2}$。
求倍数关系，列除法算式计算：
$\begin{aligned}\frac{500}{(a-1)^2} ÷ \frac{500}{a^2 - 1} &= \frac{500}{(a-1)^2} × \frac{a^2 - 1}{500} \\&= \frac{(a+1)(a-1)}{(a-1)^2} \\&= \frac{a+1}{a-1}\end{aligned}$
【答案】
$\frac{a+1}{a-1}$倍
【知识点】
分式乘除运算，平方差公式，列代数式
【点评】
本题结合实际生产情境考查分式的应用，解题的核心是正确理解单位面积产量的计算方法，熟练运用分式乘除法则和因式分解进行约分计算，能够提升用代数知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，我们可以分三步思考：第一步，先分别求出两块试验田的面积，“优选1号”的面积是边长为a的正方形面积减去边长为1的正方形面积，“优选2号”的面积是边长为(a-1)的正方形面积；第二步，根据“单位面积产量=总产量÷种植面积”，分别写出两种水稻的单位面积产量；第三步，求“优选2号”单位面积产量是“优选1号”的几倍，就用2号的单位产量除以1号的单位产量，再根据分式乘除的运算法则计算、约分得到最终结果。
【解析】
首先计算两块试验田的面积：
“优选1号”试验田面积：$a^2 - 1\ \mathrm{m^2}$，
“优选2号”试验田面积：$(a-1)^2\ \mathrm{m^2}$。
再分别计算单位面积产量：
“优选1号”单位面积产量：$\frac{500}{a^2 - 1}\ \mathrm{kg/m^2}$，
“优选2号”单位面积产量：$\frac{500}{(a-1)^2}\ \mathrm{kg/m^2}$。
求倍数关系，列除法算式计算：
$\begin{aligned}\frac{500}{(a-1)^2} ÷ \frac{500}{a^2 - 1} &= \frac{500}{(a-1)^2} × \frac{a^2 - 1}{500} \\&= \frac{(a+1)(a-1)}{(a-1)^2} \\&= \frac{a+1}{a-1}\end{aligned}$
【答案】
$\frac{a+1}{a-1}$倍
【知识点】
分式乘除运算，平方差公式，列代数式
【点评】
本题结合实际生产情境考查分式的应用，解题的核心是正确理解单位面积产量的计算方法，熟练运用分式乘除法则和因式分解进行约分计算，能够提升用代数知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
1. 计算$\frac{6ab}{5c^2} · \frac{10c}{3b}$的结果是（
A.$\frac{4a}{c^2}$
B.$4a$
C.$\frac{4a}{c}$
D.$\frac{1}{c}$
C
）A.$\frac{4a}{c^2}$
B.$4a$
C.$\frac{4a}{c}$
D.$\frac{1}{c}$
答案
1.C
解析
【分析】
这是分式乘法的基础运算题，解题思路分为两步：第一步，依据分式乘法法则，把两个分式的分子相乘的积作为积的分子，分母相乘的积作为积的分母；第二步，对得到的分式约分，分别约去分子、分母中常数项的公因式和相同字母的公因式，化简为最简分式后对照选项选出答案即可，约分过程中要注意相同字母的次数计算，避免出错。
【解析】
根据分式乘法法则，可将原式变形为：
$\mathrm{原式}=\frac{6ab · 10c}{5c^2 · 3b}$
1. 先约分常数项：分子常数乘积为$6×10=60$，分母常数乘积为$5×3=15$，约去公因式15后，常数项得$\frac{60}{15}=4$；
2. 再约分字母因式：分子的字母因式为$a· b· c$，分母的字母因式为$b· c^2$，约去公因式$b$和$c$后，剩余分子为$a$，分母为$c$；
3. 合并常数项和字母因式，最终结果为$\frac{4a}{c}$。
【答案】
C
【知识点】
分式的乘法运算，分式约分
【点评】
本题属于分式运算的基础题，核心考查分式乘法法则和约分方法的掌握，计算时细心处理系数和字母的约分即可得到正确结果，是分式乘除模块必须掌握的基础题型。
【难度系数】
0.85
这是分式乘法的基础运算题，解题思路分为两步：第一步，依据分式乘法法则，把两个分式的分子相乘的积作为积的分子，分母相乘的积作为积的分母；第二步，对得到的分式约分，分别约去分子、分母中常数项的公因式和相同字母的公因式，化简为最简分式后对照选项选出答案即可，约分过程中要注意相同字母的次数计算，避免出错。
【解析】
根据分式乘法法则，可将原式变形为：
$\mathrm{原式}=\frac{6ab · 10c}{5c^2 · 3b}$
1. 先约分常数项：分子常数乘积为$6×10=60$，分母常数乘积为$5×3=15$，约去公因式15后，常数项得$\frac{60}{15}=4$；
2. 再约分字母因式：分子的字母因式为$a· b· c$，分母的字母因式为$b· c^2$，约去公因式$b$和$c$后，剩余分子为$a$，分母为$c$；
3. 合并常数项和字母因式，最终结果为$\frac{4a}{c}$。
【答案】
C
【知识点】
分式的乘法运算，分式约分
【点评】
本题属于分式运算的基础题，核心考查分式乘法法则和约分方法的掌握，计算时细心处理系数和字母的约分即可得到正确结果，是分式乘除模块必须掌握的基础题型。
【难度系数】
0.85
2. 计算$\frac{8x}{x-y} · \frac{y-x}{8y}$的结果是（
A.$\frac{y}{x}$
B.$-\frac{x}{y}$
C.$\frac{x}{y}$
D.$-\frac{y}{x}$
B
）A.$\frac{y}{x}$
B.$-\frac{x}{y}$
C.$\frac{x}{y}$
D.$-\frac{y}{x}$
答案
2.B
解析
【分析】
本题考查分式的乘法运算，解题思路如下：首先观察两个分式的因式，发现分子中的$y-x$和分母中的$x-y$互为相反数，先将$y-x$变形为$-(x-y)$，再根据分式乘法的运算法则，将分子相乘的积作为新的分子、分母相乘的积作为新的分母，最后约掉分子分母的公因式即可得到结果，运算过程中要注意符号变化。
【解析】
首先对因式进行符号变形：$y-x=-(x-y)$，代入原式得：
$\begin{aligned}\frac{8x}{x-y} · \frac{y-x}{8y}&=\frac{8x}{x-y} · \frac{-(x-y)}{8y}\\&=\frac{8x × [-(x-y)]}{(x-y) × 8y}\\&=\frac{-8x(x-y)}{8y(x-y)}\end{aligned}$
约掉分子分母的公因式$8$和$x-y$（注意$x≠ y$，否则分式无意义），可得结果为$-\frac{x}{y}$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
分式乘法运算，约分，代数式符号变形
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，易错点是忽略$y-x$和$x-y$的相反数关系，导致符号出错，运算时要先观察因式的特征，处理好符号再进行约分计算，能有效提升正确率。
【难度系数】
0.7
本题考查分式的乘法运算，解题思路如下：首先观察两个分式的因式，发现分子中的$y-x$和分母中的$x-y$互为相反数，先将$y-x$变形为$-(x-y)$，再根据分式乘法的运算法则，将分子相乘的积作为新的分子、分母相乘的积作为新的分母，最后约掉分子分母的公因式即可得到结果，运算过程中要注意符号变化。
【解析】
首先对因式进行符号变形：$y-x=-(x-y)$，代入原式得：
$\begin{aligned}\frac{8x}{x-y} · \frac{y-x}{8y}&=\frac{8x}{x-y} · \frac{-(x-y)}{8y}\\&=\frac{8x × [-(x-y)]}{(x-y) × 8y}\\&=\frac{-8x(x-y)}{8y(x-y)}\end{aligned}$
约掉分子分母的公因式$8$和$x-y$（注意$x≠ y$，否则分式无意义），可得结果为$-\frac{x}{y}$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
分式乘法运算，约分，代数式符号变形
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，易错点是忽略$y-x$和$x-y$的相反数关系，导致符号出错，运算时要先观察因式的特征，处理好符号再进行约分计算，能有效提升正确率。
【难度系数】
0.7
