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3. 计算 $a^2 · ( \frac{1}{a} )^3$ 的结果是（
A.$a$
B.$a^5$
C.$\frac{1}{a}$
D.$\frac{1}{a^5}$
C
）A.$a$
B.$a^5$
C.$\frac{1}{a}$
D.$\frac{1}{a^5}$
答案
3.C
解析
【分析】
解题时先回忆分式运算的顺序：先算乘方，再算乘除。第一步先计算$(\frac{1}{a})^3$的结果，第二步再计算$a^2$和这个结果的乘积，最后约分化简就能得到最终结果，再对应选项选择即可。
【解析】
解：按照运算顺序，先计算乘方：
$(\frac{1}{a})^3=\frac{1^3}{a^3}=\frac{1}{a^3}$
再计算乘法运算：
$a^2 · \frac{1}{a^3} = \frac{a^2}{a^3}$
对分子分母约分，同时除以$a^2$，可得：
$\frac{a^2}{a^3}=\frac{1}{a}$
因此结果为$\frac{1}{a}$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
分式乘方法则、分式乘法法则、约分
【点评】
本题属于基础运算类题目，考查分式的乘除相关运算，解题的核心是遵循先乘方后乘除的运算顺序，运算过程中注意正确约分即可。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆分式运算的顺序：先算乘方，再算乘除。第一步先计算$(\frac{1}{a})^3$的结果，第二步再计算$a^2$和这个结果的乘积，最后约分化简就能得到最终结果，再对应选项选择即可。
【解析】
解：按照运算顺序，先计算乘方：
$(\frac{1}{a})^3=\frac{1^3}{a^3}=\frac{1}{a^3}$
再计算乘法运算：
$a^2 · \frac{1}{a^3} = \frac{a^2}{a^3}$
对分子分母约分，同时除以$a^2$，可得：
$\frac{a^2}{a^3}=\frac{1}{a}$
因此结果为$\frac{1}{a}$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
分式乘方法则、分式乘法法则、约分
【点评】
本题属于基础运算类题目，考查分式的乘除相关运算，解题的核心是遵循先乘方后乘除的运算顺序，运算过程中注意正确约分即可。
【难度系数】
0.8
4. 老师设计了接力游戏，甲、乙、丙、丁四位同学用合作的方式完成分式化简，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简过程如图所示（$x≠0,1$）. 接力中，自己负责的一步出现错误的同学是（
A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
B
）A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
答案
4.B
解析
【分析】
要判断哪位同学的步骤出错，需按照分式运算的规则，从初始式子开始依次核对每一步的计算是否正确：首先回忆分式除法法则，除以一个分式等于乘以这个分式的倒数，其次要注意形如$1-x$和$x-1$的互为相反数的因式变形时，需要添加负号，最后核对因式分解、约分的步骤是否正确即可。
【解析】
我们依次检查每位同学的计算：
1. 检查甲的步骤：
原始式子为$\frac{x^2-2x}{x-1} ÷ \frac{x^2}{1-x}$，根据分式除法法则，除以一个分式等于乘以它的倒数，所以变形为$\frac{x^2-2x}{x-1} · \frac{1-x}{x^2}$，甲的计算正确。
2. 检查乙的步骤：
甲给的式子是$\frac{x^2-2x}{x-1} · \frac{1-x}{x^2}$，其中$1-x=-(x-1)$，正确变形应为$\frac{x^2-2x}{x-1} · \frac{-(x-1)}{x^2}=-\frac{x^2-2x}{x-1} · \frac{x-1}{x^2}$，但乙直接将$1-x$替换为$x-1$，遗漏了负号，所以乙的计算错误。
3. 后续丙是基于乙的错误式子进行因式分解，将$x^2-2x$分解为$x(x-2)$，因式分解本身正确；丁基于丙的式子约分，约掉$x-1$和一个$x$得到$\frac{x-2}{x}$，约分步骤本身也正确。
因此接力中出现错误的是乙。
【答案】
B
【知识点】
分式的乘除运算；因式分解；分式约分
【点评】
本题考查分式乘除的运算规范，解题的关键是注意互为相反数的因式变形时的符号变化，同时要熟练掌握分式除法法则、因式分解及约分的方法，避免符号类失误。
【难度系数】
0.7
要判断哪位同学的步骤出错，需按照分式运算的规则，从初始式子开始依次核对每一步的计算是否正确：首先回忆分式除法法则，除以一个分式等于乘以这个分式的倒数，其次要注意形如$1-x$和$x-1$的互为相反数的因式变形时，需要添加负号，最后核对因式分解、约分的步骤是否正确即可。
【解析】
我们依次检查每位同学的计算：
1. 检查甲的步骤：
原始式子为$\frac{x^2-2x}{x-1} ÷ \frac{x^2}{1-x}$，根据分式除法法则，除以一个分式等于乘以它的倒数，所以变形为$\frac{x^2-2x}{x-1} · \frac{1-x}{x^2}$，甲的计算正确。
2. 检查乙的步骤：
甲给的式子是$\frac{x^2-2x}{x-1} · \frac{1-x}{x^2}$，其中$1-x=-(x-1)$，正确变形应为$\frac{x^2-2x}{x-1} · \frac{-(x-1)}{x^2}=-\frac{x^2-2x}{x-1} · \frac{x-1}{x^2}$，但乙直接将$1-x$替换为$x-1$，遗漏了负号，所以乙的计算错误。
3. 后续丙是基于乙的错误式子进行因式分解，将$x^2-2x$分解为$x(x-2)$，因式分解本身正确；丁基于丙的式子约分，约掉$x-1$和一个$x$得到$\frac{x-2}{x}$，约分步骤本身也正确。
因此接力中出现错误的是乙。
【答案】
B
【知识点】
分式的乘除运算；因式分解；分式约分
【点评】
本题考查分式乘除的运算规范，解题的关键是注意互为相反数的因式变形时的符号变化，同时要熟练掌握分式除法法则、因式分解及约分的方法，避免符号类失误。
【难度系数】
0.7
5. 化简：$\frac{m-1}{m} ÷ \frac{m-1}{m^2} =$
m
。答案
5.m
解析
【分析】
这是一道分式除法化简题，解题思路如下：第一步，回忆分式除法的运算规则：除以一个分式等于乘以这个分式的倒数，先将除法运算转化为乘法运算；第二步，观察转化后的乘法式子中分子、分母的公因式，将公因式约去，就能得到最简结果，运算过程中要注意分式有意义的前提（m≠0且m≠1）。
【解析】
根据分式除法运算法则，除以一个分式等于乘该分式的倒数，可得：
原式$=\frac{m-1}{m} × \frac{m^2}{m-1}$
观察分子分母，公因式为$m$和$m-1$（其中$m≠0$，$m≠1$，保证原分式有意义），约分后可得：
$\frac{m-1}{m} × \frac{m^2}{m-1} = m$
【答案】
$m$
【知识点】
分式的除法法则，分式的约分
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，核心是熟练掌握分式除法转乘法的规则，约分过程中要准确识别公因式，同时不要忽略分式有意义的隐含限制条件。
【难度系数】
0.9
这是一道分式除法化简题，解题思路如下：第一步，回忆分式除法的运算规则：除以一个分式等于乘以这个分式的倒数，先将除法运算转化为乘法运算；第二步，观察转化后的乘法式子中分子、分母的公因式，将公因式约去，就能得到最简结果，运算过程中要注意分式有意义的前提（m≠0且m≠1）。
【解析】
根据分式除法运算法则，除以一个分式等于乘该分式的倒数，可得：
原式$=\frac{m-1}{m} × \frac{m^2}{m-1}$
观察分子分母，公因式为$m$和$m-1$（其中$m≠0$，$m≠1$，保证原分式有意义），约分后可得：
$\frac{m-1}{m} × \frac{m^2}{m-1} = m$
【答案】
$m$
【知识点】
分式的除法法则，分式的约分
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，核心是熟练掌握分式除法转乘法的规则，约分过程中要准确识别公因式，同时不要忽略分式有意义的隐含限制条件。
【难度系数】
0.9
6. 若$x=2021$，计算$\dfrac{x^2 - 2x + 1}{x^3 - x} ÷ \dfrac{x - 1}{x^2 + x}$的值. 若把$x=2021$换成$x=20945$，你还能迅速得出结果吗？为什么？
答案
能. 理由：$\frac{x^2-2x+1}{x^3-x} ÷ \frac{x-1}{x^2+x} = \frac{(x-1)^2}{x(x+1)(x-1)} · \frac{x(x+1)}{x-1} =1$.
∴当x=2021时，原式=1.
∵计算的结果与x的值无关，
∴x的取值只要能使原式有意义，原式都等于1.
∴x=20945时，原式=1.
∴当x=2021时，原式=1.
∵计算的结果与x的值无关，
∴x的取值只要能使原式有意义，原式都等于1.
∴x=20945时，原式=1.
解析
【分析】
本题是分式化简求值类问题，解题时无需直接代入数值计算，可先根据分式除法法则将除法运算转化为乘法运算，再对分子分母的多项式分别因式分解，之后约去公因式，观察化简后的结果是否与x的取值有关，即可快速得出不同x值下的计算结果。
【解析】
解：先对原式进行化简：
$\begin{aligned}&\frac{x^2 - 2x + 1}{x^3 - x} ÷ \frac{x - 1}{x^2 + x}\\=&\frac{(x-1)^2}{x(x+1)(x-1)} · \frac{x(x+1)}{x-1}\\=&1\end{aligned}$
化简后结果为常数1，与x的取值无关，只要x的取值能使原式有意义（即$x≠0$且$x≠1$且$x≠-1$），原式的值均为1。
当$x=2021$时，原式=1；$x=20945$满足原式有意义的条件，因此也能迅速得出结果为1。
【答案】
能，两次计算结果均为1。理由：原式化简后结果为1，与x的取值无关，只要x的取值使原式有意义，结果恒为1，因此$x=2021$和$x=20945$时原式的值均为1。
【知识点】
分式的乘除运算；因式分解；分式约分
【点评】
本题考查分式的化简求值，解题核心是先化简再判断结果与自变量的关联，可避免直接代入大数值计算的繁琐，熟练掌握因式分解方法和分式运算法则是解决此类问题的基础。
【难度系数】
0.8
本题是分式化简求值类问题，解题时无需直接代入数值计算，可先根据分式除法法则将除法运算转化为乘法运算，再对分子分母的多项式分别因式分解，之后约去公因式，观察化简后的结果是否与x的取值有关，即可快速得出不同x值下的计算结果。
【解析】
解：先对原式进行化简：
$\begin{aligned}&\frac{x^2 - 2x + 1}{x^3 - x} ÷ \frac{x - 1}{x^2 + x}\\=&\frac{(x-1)^2}{x(x+1)(x-1)} · \frac{x(x+1)}{x-1}\\=&1\end{aligned}$
化简后结果为常数1，与x的取值无关，只要x的取值能使原式有意义（即$x≠0$且$x≠1$且$x≠-1$），原式的值均为1。
当$x=2021$时，原式=1；$x=20945$满足原式有意义的条件，因此也能迅速得出结果为1。
【答案】
能，两次计算结果均为1。理由：原式化简后结果为1，与x的取值无关，只要x的取值使原式有意义，结果恒为1，因此$x=2021$和$x=20945$时原式的值均为1。
【知识点】
分式的乘除运算；因式分解；分式约分
【点评】
本题考查分式的化简求值，解题核心是先化简再判断结果与自变量的关联，可避免直接代入大数值计算的繁琐，熟练掌握因式分解方法和分式运算法则是解决此类问题的基础。
【难度系数】
0.8
7. 若$a^2 - ab = 0$（$b≠0$），则$\frac{a}{a + b} = (\quad)$
A.0
B.$\frac{1}{2}$
C.0或$\frac{1}{2}$
D.1或2
A.0
B.$\frac{1}{2}$
C.0或$\frac{1}{2}$
D.1或2
答案
7.C
解析
【分析】
解题时先从已知等式入手，利用提公因式法对等式左边因式分解，得到a的两种可能取值情况；再结合分式有意义的条件（分母不为0），排除无效情况，最后分两种情况代入分式计算即可得到结果。
【解析】
首先对已知等式变形：
由$a^2 - ab = 0$，提公因式得$a(a - b) = 0$，
因此可得$a = 0$或$a = b$。
由于所求式子是分式，需满足分母不为0，即$a + b ≠ 0$，结合题设$b≠0$分情况讨论：
1. 当$a = 0$时，分母$a + b = b ≠ 0$，此时$\frac{a}{a + b} = \frac{0}{0 + b} = 0$；
2. 当$a = b$时，分母$a + b = b + b = 2b ≠ 0$，此时$\frac{a}{a + b} = \frac{b}{b + b} = \frac{b}{2b} = \frac{1}{2}$。
综上，$\frac{a}{a + b}$的值为0或$\frac{1}{2}$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
提公因式法因式分解，分式有意义的条件，分式化简求值
【点评】
本题考查分类讨论思想在代数式求值中的应用，易错点是忽略$a=0$的情况，或者未验证分式分母是否有意义，解题时要注意对所有可能的情况逐一验证，避免漏解或错解。
【难度系数】
0.6
解题时先从已知等式入手，利用提公因式法对等式左边因式分解，得到a的两种可能取值情况；再结合分式有意义的条件（分母不为0），排除无效情况，最后分两种情况代入分式计算即可得到结果。
【解析】
首先对已知等式变形：
由$a^2 - ab = 0$，提公因式得$a(a - b) = 0$，
因此可得$a = 0$或$a = b$。
由于所求式子是分式，需满足分母不为0，即$a + b ≠ 0$，结合题设$b≠0$分情况讨论：
1. 当$a = 0$时，分母$a + b = b ≠ 0$，此时$\frac{a}{a + b} = \frac{0}{0 + b} = 0$；
2. 当$a = b$时，分母$a + b = b + b = 2b ≠ 0$，此时$\frac{a}{a + b} = \frac{b}{b + b} = \frac{b}{2b} = \frac{1}{2}$。
综上，$\frac{a}{a + b}$的值为0或$\frac{1}{2}$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
提公因式法因式分解，分式有意义的条件，分式化简求值
【点评】
本题考查分类讨论思想在代数式求值中的应用，易错点是忽略$a=0$的情况，或者未验证分式分母是否有意义，解题时要注意对所有可能的情况逐一验证，避免漏解或错解。
【难度系数】
0.6
