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10. 已知：$\frac{a}{3}=\frac{b}{4}=\frac{c}{5}$，求分式$\frac{2a+3b-c}{a-b+2c}$的值.
解：设 $\frac{a}{3}=\frac{b}{4}=\frac{c}{5}=k$，则 $a=3k$，$b=4k$，$c=5k$，所以 $\frac{2a+3b-c}{a-b+2c}=\frac{6k+12k-5k}{3k-4k+10k}=\frac{13k}{9k}=\frac{13}{9}$.
参照上述材料解题：
（1）已知$\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{6}$，求分式$\frac{x+2y-z}{x-2y+3z}$的值.
（2）已知$\frac{y+z}{x}=\frac{z+x}{y}=\frac{x+y}{z}$，其中$x+y+z≠0$，求$\frac{x+y-z}{x+y+z}$的值.
解：设 $\frac{a}{3}=\frac{b}{4}=\frac{c}{5}=k$，则 $a=3k$，$b=4k$，$c=5k$，所以 $\frac{2a+3b-c}{a-b+2c}=\frac{6k+12k-5k}{3k-4k+10k}=\frac{13k}{9k}=\frac{13}{9}$.
参照上述材料解题：
（1）已知$\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{6}$，求分式$\frac{x+2y-z}{x-2y+3z}$的值.
（2）已知$\frac{y+z}{x}=\frac{z+x}{y}=\frac{x+y}{z}$，其中$x+y+z≠0$，求$\frac{x+y-z}{x+y+z}$的值.
答案
10.(1) $\frac{1}{7}$
(2) $\frac{1}{3}$
(2) $\frac{1}{3}$
解析
【分析】
本题为比例类分式求值题，均采用设参数（设k）法求解：
（1）参照给出的例题思路，设已知连等式的比值为k，将x、y、z都用含k的式子表示，代入待求分式后约去参数k即可得到结果。
（2）同样设三个相等的比值为k，变形得到三个关于x、y、z的等式，将三个等式左右分别相加，结合x+y+z≠0的条件求出k的值，再将x+y用含z的式子表示，代入待求分式约分即可得到结果。
【解析】
（1）设 $\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{6}=k$，则 $x=2k$，$y=3k$，$z=6k$（$k≠0$，否则分式无意义）。
代入待求分式得：
$\frac{x+2y-z}{x-2y+3z}=\frac{2k + 2×3k -6k}{2k - 2×3k + 3×6k}=\frac{2k}{14k}=\frac{1}{7}$
（2）设 $\frac{y+z}{x}=\frac{z+x}{y}=\frac{x+y}{z}=k$，可得：
$y+z=kx$ ①
$z+x=ky$ ②
$x+y=kz$ ③
将①②③左右两边相加得：$2(x+y+z)=k(x+y+z)$
已知$x+y+z≠0$，两边同时除以$x+y+z$得$k=2$，因此$x+y=2z$。
代入待求分式得：
$\frac{x+y-z}{x+y+z}=\frac{2z - z}{2z + z}=\frac{z}{3z}=\frac{1}{3}$
【答案】
(1) $\frac{1}{7}$；(2) $\frac{1}{3}$
【知识点】
比例的性质，分式化简求值，参数法解题
【点评】
本题是比例类分式求值的典型题型，核心解题方法为设参数法，通过引入参数将多个未知数用同一参数表示，大幅简化计算。第二问要注意题干给出的$x+y+z≠0$的限制条件，是求出参数值的关键，解题时要注意挖掘题干给出的限定条件，避免漏用条件出错。
【难度系数】
0.7
本题为比例类分式求值题，均采用设参数（设k）法求解：
（1）参照给出的例题思路，设已知连等式的比值为k，将x、y、z都用含k的式子表示，代入待求分式后约去参数k即可得到结果。
（2）同样设三个相等的比值为k，变形得到三个关于x、y、z的等式，将三个等式左右分别相加，结合x+y+z≠0的条件求出k的值，再将x+y用含z的式子表示，代入待求分式约分即可得到结果。
【解析】
（1）设 $\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{6}=k$，则 $x=2k$，$y=3k$，$z=6k$（$k≠0$，否则分式无意义）。
代入待求分式得：
$\frac{x+2y-z}{x-2y+3z}=\frac{2k + 2×3k -6k}{2k - 2×3k + 3×6k}=\frac{2k}{14k}=\frac{1}{7}$
（2）设 $\frac{y+z}{x}=\frac{z+x}{y}=\frac{x+y}{z}=k$，可得：
$y+z=kx$ ①
$z+x=ky$ ②
$x+y=kz$ ③
将①②③左右两边相加得：$2(x+y+z)=k(x+y+z)$
已知$x+y+z≠0$，两边同时除以$x+y+z$得$k=2$，因此$x+y=2z$。
代入待求分式得：
$\frac{x+y-z}{x+y+z}=\frac{2z - z}{2z + z}=\frac{z}{3z}=\frac{1}{3}$
【答案】
(1) $\frac{1}{7}$；(2) $\frac{1}{3}$
【知识点】
比例的性质，分式化简求值，参数法解题
【点评】
本题是比例类分式求值的典型题型，核心解题方法为设参数法，通过引入参数将多个未知数用同一参数表示，大幅简化计算。第二问要注意题干给出的$x+y+z≠0$的限制条件，是求出参数值的关键，解题时要注意挖掘题干给出的限定条件，避免漏用条件出错。
【难度系数】
0.7
在研究一个分式的值的变化时，我们会将它化成一个整式与
一个分子为常数的分式的和的形式，如：$\frac{x+1}{x-1}=\frac{x-1+2}{x-1}=$
$\frac{x-1}{x-1}+\frac{2}{x-1}=1+\frac{2}{x-1}$，$\frac{a^2-2a+3}{a-1}=\frac{(a-1)^2+2}{a-1}=a-1+\frac{2}{a-1}$.
（1）下列各式中，能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的是________（填序号）.
（2）将分式$\frac{x^2+6x-3}{x-1}$化成一个整式与一个分子为常数的分式的和.
一个分子为常数的分式的和的形式，如：$\frac{x+1}{x-1}=\frac{x-1+2}{x-1}=$
$\frac{x-1}{x-1}+\frac{2}{x-1}=1+\frac{2}{x-1}$，$\frac{a^2-2a+3}{a-1}=\frac{(a-1)^2+2}{a-1}=a-1+\frac{2}{a-1}$.
（1）下列各式中，能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的是________（填序号）.
（2）将分式$\frac{x^2+6x-3}{x-1}$化成一个整式与一个分子为常数的分式的和.
答案
(1) ①③④.
(2) $\frac{x^2+6x-3}{x-1}=\frac{x^2+6x-7+4}{x-1} = \frac{(x-1)(x+7)+4}{x-1} =x+7+\frac{4}{x-1}.$
(2) $\frac{x^2+6x-3}{x-1}=\frac{x^2+6x-7+4}{x-1} = \frac{(x-1)(x+7)+4}{x-1} =x+7+\frac{4}{x-1}.$
解析
【分析】
（1）判断依据：若分式的分子可拆分为“分母的整式倍+常数”的形式，则该分式可化成一个整式与一个分子为常数的分式的和。我们逐个分析四个式子：①分子可直接拆分得到整式加分子为常数的分式；②分母是常数，拆分后两项均为整式，不符合要求；③分子可凑为分母加常数的形式，满足拆分要求；④分子可直接拆分得到符合要求的形式。
（2）解题思路：将分子配凑成含因式$(x-1)$的式子加常数的形式，再拆分分式、约分化简即可得到结果。
【解析】
（1）对四个式子逐一变形：
①$\frac{x+1}{x}=\frac{x}{x}+\frac{1}{x}=1+\frac{1}{x}$，符合要求；
②$\frac{2+x}{2}=\frac{x}{2}+1$，两项均为整式，不符合要求；
③$\frac{x+2}{x+1}=\frac{(x+1)+1}{x+1}=1+\frac{1}{x+1}$，符合要求；
④$\frac{y^2+1}{y^2}=\frac{y^2}{y^2}+\frac{1}{y^2}=1+\frac{1}{y^2}$，符合要求。
（2）对$\frac{x^2+6x-3}{x-1}$进行配凑变形：
$\frac{x^2+6x-3}{x-1}=\frac{x^2+6x-7+4}{x-1} = \frac{(x-1)(x+7)+4}{x-1} =x+7+\frac{4}{x-1}$
【答案】
（1）$\boldsymbol{①③④}$
（2）$\boldsymbol{x+7+\dfrac{4}{x-1}}$
【知识点】
分式的变形；配凑法；因式分解
【点评】
本题是分式变形的典型题型，核心方法是配凑法，即把分子凑成分母的整式倍与常数的和再拆分化简，该方法在分式化简、求分式最值等问题中应用广泛，需熟练掌握。
【难度系数】
0.7
（1）判断依据：若分式的分子可拆分为“分母的整式倍+常数”的形式，则该分式可化成一个整式与一个分子为常数的分式的和。我们逐个分析四个式子：①分子可直接拆分得到整式加分子为常数的分式；②分母是常数，拆分后两项均为整式，不符合要求；③分子可凑为分母加常数的形式，满足拆分要求；④分子可直接拆分得到符合要求的形式。
（2）解题思路：将分子配凑成含因式$(x-1)$的式子加常数的形式，再拆分分式、约分化简即可得到结果。
【解析】
（1）对四个式子逐一变形：
①$\frac{x+1}{x}=\frac{x}{x}+\frac{1}{x}=1+\frac{1}{x}$，符合要求；
②$\frac{2+x}{2}=\frac{x}{2}+1$，两项均为整式，不符合要求；
③$\frac{x+2}{x+1}=\frac{(x+1)+1}{x+1}=1+\frac{1}{x+1}$，符合要求；
④$\frac{y^2+1}{y^2}=\frac{y^2}{y^2}+\frac{1}{y^2}=1+\frac{1}{y^2}$，符合要求。
（2）对$\frac{x^2+6x-3}{x-1}$进行配凑变形：
$\frac{x^2+6x-3}{x-1}=\frac{x^2+6x-7+4}{x-1} = \frac{(x-1)(x+7)+4}{x-1} =x+7+\frac{4}{x-1}$
【答案】
（1）$\boldsymbol{①③④}$
（2）$\boldsymbol{x+7+\dfrac{4}{x-1}}$
【知识点】
分式的变形；配凑法；因式分解
【点评】
本题是分式变形的典型题型，核心方法是配凑法，即把分子凑成分母的整式倍与常数的和再拆分化简，该方法在分式化简、求分式最值等问题中应用广泛，需熟练掌握。
【难度系数】
0.7
