登录
6. 不改变分式的值，使下列分式的分子和分母的最高次项的系数为正数.
(1) $\frac{2}{1-x}$.
(2) $\frac{-x^2+3x}{x-1}$.
(3) $\frac{1-2x}{4-x^2+3x}$.
(1) $\frac{2}{1-x}$.
(2) $\frac{-x^2+3x}{x-1}$.
(3) $\frac{1-2x}{4-x^2+3x}$.
答案
6. (1) $-\frac{2}{x-1}$
(2) $-\frac{x^2-3x}{x-1}$
(3) $\frac{2x-1}{x^2-3x-4}$
(2) $-\frac{x^2-3x}{x-1}$
(3) $\frac{2x-1}{x^2-3x-4}$
解析
【分析】
解题依据是分式的符号法则：分式的分子、分母、分式本身的符号，同时改变其中任意两个，分式的值不变。解题步骤如下：第一步先找出每个分式分子、分母的最高次项，判断其系数的正负；第二步若最高次项系数为负，将分子或分母整体提取负号；第三步根据符号法则调整分式本身的符号，保证分式值不变的同时，让分子、分母的最高次项系数均为正数，注意不能只改变分子或分母中部分项的符号。
【解析】
(1) 原式分母的最高次项为$-x$，系数为负数，将分母整体提取负号：$1-x=-(x-1)$，则
$\frac{2}{1-x}=\frac{2}{-(x-1)}=-\frac{2}{x-1}$
(2) 原式分子的最高次项为$-x^2$，系数为负数，将分子整体提取负号：$-x^2+3x=-(x^2-3x)$，则
$\frac{-x^2+3x}{x-1}=\frac{-(x^2-3x)}{x-1}=-\frac{x^2-3x}{x-1}$
(3) 原式分子最高次项为$-2x$、分母最高次项为$-x^2$，系数均为负数，同时将分子、分母整体提取负号：$1-2x=-(2x-1)$，$4-x^2+3x=-(x^2-3x-4)$，则
$\frac{1-2x}{4-x^2+3x}=\frac{-(2x-1)}{-(x^2-3x-4)}=\frac{2x-1}{x^2-3x-4}$
【答案】
(1) $-\frac{2}{x-1}$
(2) $-\frac{x^2-3x}{x-1}$
(3) $\frac{2x-1}{x^2-3x-4}$
【知识点】
分式的基本性质；分式的符号法则；多项式最高次项识别
【点评】
本题是分式符号变形的基础题型，核心是熟练运用分式的符号法则，解题时要注意必须对分子或分母整体提取负号，不能仅改变最高次项的符号，否则会改变分式的值。
【难度系数】
0.8
解题依据是分式的符号法则：分式的分子、分母、分式本身的符号，同时改变其中任意两个，分式的值不变。解题步骤如下：第一步先找出每个分式分子、分母的最高次项，判断其系数的正负；第二步若最高次项系数为负，将分子或分母整体提取负号；第三步根据符号法则调整分式本身的符号，保证分式值不变的同时，让分子、分母的最高次项系数均为正数，注意不能只改变分子或分母中部分项的符号。
【解析】
(1) 原式分母的最高次项为$-x$，系数为负数，将分母整体提取负号：$1-x=-(x-1)$，则
$\frac{2}{1-x}=\frac{2}{-(x-1)}=-\frac{2}{x-1}$
(2) 原式分子的最高次项为$-x^2$，系数为负数，将分子整体提取负号：$-x^2+3x=-(x^2-3x)$，则
$\frac{-x^2+3x}{x-1}=\frac{-(x^2-3x)}{x-1}=-\frac{x^2-3x}{x-1}$
(3) 原式分子最高次项为$-2x$、分母最高次项为$-x^2$，系数均为负数，同时将分子、分母整体提取负号：$1-2x=-(2x-1)$，$4-x^2+3x=-(x^2-3x-4)$，则
$\frac{1-2x}{4-x^2+3x}=\frac{-(2x-1)}{-(x^2-3x-4)}=\frac{2x-1}{x^2-3x-4}$
【答案】
(1) $-\frac{2}{x-1}$
(2) $-\frac{x^2-3x}{x-1}$
(3) $\frac{2x-1}{x^2-3x-4}$
【知识点】
分式的基本性质；分式的符号法则；多项式最高次项识别
【点评】
本题是分式符号变形的基础题型，核心是熟练运用分式的符号法则，解题时要注意必须对分子或分母整体提取负号，不能仅改变最高次项的符号，否则会改变分式的值。
【难度系数】
0.8
7. 已知分式$\frac{x+1}{2021 - x}$，当$x$取$a$时，分式的值为0，当$x$取$b$时，分式无意义，则$b^a$的值为（
A.$-2021$
B.$\frac{1}{2021}$
C.$1$
D.$-1$
B
）A.$-2021$
B.$\frac{1}{2021}$
C.$1$
D.$-1$
答案
7.B
解析
【分析】
要解决本题，需结合分式的两个核心性质分步求解：首先回忆分式值为0的条件：分子等于0且分母不等于0，据此求出a的值；再回忆分式无意义的条件：分母等于0，据此求出b的值；最后将a、b代入$b^a$计算即可得到结果。
【解析】
① 求a的值：
分式的值为0时，需满足分子为0，且分母不为0：
令分子$x+1=0$，解得$x=-1$，
将$x=-1$代入分母$2021-x$，得$2021-(-1)=2022≠0$，符合要求，因此$a=-1$。
② 求b的值：
分式无意义时，分母为0：
令分母$2021-x=0$，解得$x=2021$，因此$b=2021$。
③ 计算$b^a$：
将$a=-1$，$b=2021$代入得：$b^a=2021^{-1}=\frac{1}{2021}$。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
分式值为0的条件，分式无意义的条件，负整数指数幂运算
【点评】
本题是分式章节的基础常考题，核心考查对分式基本性质的理解，易错点是求解分式值为0的未知数时，容易遗漏分母不为0的限制条件，牢记性质即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
要解决本题，需结合分式的两个核心性质分步求解：首先回忆分式值为0的条件：分子等于0且分母不等于0，据此求出a的值；再回忆分式无意义的条件：分母等于0，据此求出b的值；最后将a、b代入$b^a$计算即可得到结果。
【解析】
① 求a的值：
分式的值为0时，需满足分子为0，且分母不为0：
令分子$x+1=0$，解得$x=-1$，
将$x=-1$代入分母$2021-x$，得$2021-(-1)=2022≠0$，符合要求，因此$a=-1$。
② 求b的值：
分式无意义时，分母为0：
令分母$2021-x=0$，解得$x=2021$，因此$b=2021$。
③ 计算$b^a$：
将$a=-1$，$b=2021$代入得：$b^a=2021^{-1}=\frac{1}{2021}$。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
分式值为0的条件，分式无意义的条件，负整数指数幂运算
【点评】
本题是分式章节的基础常考题，核心考查对分式基本性质的理解，易错点是求解分式值为0的未知数时，容易遗漏分母不为0的限制条件，牢记性质即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
8. 下列关于分式的判断，正确的是（
A.当$x=2$时，$\frac{x+1}{x-2}$的值为零
B.无论$x$为何值，$\frac{3}{x^2+1}$的值总为正数
C.无论$x$为何值，$\frac{3}{x+1}$不可能得整数值
D.当$x≠3$时，$\frac{x-3}{x}$有意义
B
）A.当$x=2$时，$\frac{x+1}{x-2}$的值为零
B.无论$x$为何值，$\frac{3}{x^2+1}$的值总为正数
C.无论$x$为何值，$\frac{3}{x+1}$不可能得整数值
D.当$x≠3$时，$\frac{x-3}{x}$有意义
答案
8.B
解析
【分析】
本题考查分式的相关概念辨析，解题时需结合分式有意义的条件、分式值为零的条件等知识点，对四个选项逐一分析判断，可通过举反例快速排除错误选项。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：分式值为零需满足“分子为0，且分母不为0”两个条件。当x=2时，分母x-2=0，此时分式$\frac{x+1}{x-2}$无意义，不可能值为零，故A错误。
B选项：由平方的非负性可知，$x^2≥0$，因此$x^2+1≥1＞0$，分子3也是正数，正数除以正数的结果为正数，因此无论x取何值，$\frac{3}{x^2+1}$的值总为正数，故B正确。
C选项：举反例：当x=0时，$\frac{3}{x+1}=\frac{3}{0+1}=3$，是整数，故C错误。
D选项：分式有意义的条件是分母不为0，$\frac{x-3}{x}$的分母是x，因此当$x≠0$时分式有意义，而非$x≠3$，故D错误。
【答案】
B
【知识点】
1.分式有意义的条件
2.分式值为零的条件
3.分式的求值
【点评】
本题是分式基础概念的典型考题，重点考查对分式核心性质的理解，易错点是判断分式值相关问题时忽略分母不为0的前提，解题时结合性质辨析或举反例都可高效得出结论。
【难度系数】
0.8
本题考查分式的相关概念辨析，解题时需结合分式有意义的条件、分式值为零的条件等知识点，对四个选项逐一分析判断，可通过举反例快速排除错误选项。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：分式值为零需满足“分子为0，且分母不为0”两个条件。当x=2时，分母x-2=0，此时分式$\frac{x+1}{x-2}$无意义，不可能值为零，故A错误。
B选项：由平方的非负性可知，$x^2≥0$，因此$x^2+1≥1＞0$，分子3也是正数，正数除以正数的结果为正数，因此无论x取何值，$\frac{3}{x^2+1}$的值总为正数，故B正确。
C选项：举反例：当x=0时，$\frac{3}{x+1}=\frac{3}{0+1}=3$，是整数，故C错误。
D选项：分式有意义的条件是分母不为0，$\frac{x-3}{x}$的分母是x，因此当$x≠0$时分式有意义，而非$x≠3$，故D错误。
【答案】
B
【知识点】
1.分式有意义的条件
2.分式值为零的条件
3.分式的求值
【点评】
本题是分式基础概念的典型考题，重点考查对分式核心性质的理解，易错点是判断分式值相关问题时忽略分母不为0的前提，解题时结合性质辨析或举反例都可高效得出结论。
【难度系数】
0.8
9. 若分式$\frac{6}{3a - 1}$的值是整数，则a的整数值有
2
个.答案
9.2
解析
【分析】
要使分式$\frac{6}{3a-1}$的值为整数，首先需保证分式有意义，即分母$3a-1≠0$；其次分母必须是分子6的整数约数（包含正约数和负约数）。我们可以先列出6的所有整数约数，再分别代入分母求解a，筛选出其中的整数a，统计个数即可得到答案。
【解析】
因为分式$\frac{6}{3a-1}$的值是整数，且a为整数，所以$3a-1$是6的整数因数。
6的整数因数有：$\pm1,\pm2,\pm3,\pm6$，分别代入计算：
1. 当$3a-1=1$时，解得$a=\frac{2}{3}$，不是整数，舍去；
2. 当$3a-1=-1$时，解得$a=0$，是整数，符合要求；
3. 当$3a-1=2$时，解得$a=1$，是整数，符合要求；
4. 当$3a-1=-2$时，解得$a=-\frac{1}{3}$，不是整数，舍去；
5. 当$3a-1=3$时，解得$a=\frac{4}{3}$，不是整数，舍去；
6. 当$3a-1=-3$时，解得$a=-\frac{2}{3}$，不是整数，舍去；
7. 当$3a-1=6$时，解得$a=\frac{7}{3}$，不是整数，舍去；
8. 当$3a-1=-6$时，解得$a=-\frac{5}{3}$，不是整数，舍去。
综上，符合条件的整数a为0和1，共2个。
【答案】
2
【知识点】
分式有意义的条件，因数的概念
【点评】
本题属于分式的基础应用，解题时要注意全面考虑分母的所有可能取值（不要遗漏负因数），求解后要验证结果是否符合a为整数的要求，避免多算或漏算。
【难度系数】
0.6
要使分式$\frac{6}{3a-1}$的值为整数，首先需保证分式有意义，即分母$3a-1≠0$；其次分母必须是分子6的整数约数（包含正约数和负约数）。我们可以先列出6的所有整数约数，再分别代入分母求解a，筛选出其中的整数a，统计个数即可得到答案。
【解析】
因为分式$\frac{6}{3a-1}$的值是整数，且a为整数，所以$3a-1$是6的整数因数。
6的整数因数有：$\pm1,\pm2,\pm3,\pm6$，分别代入计算：
1. 当$3a-1=1$时，解得$a=\frac{2}{3}$，不是整数，舍去；
2. 当$3a-1=-1$时，解得$a=0$，是整数，符合要求；
3. 当$3a-1=2$时，解得$a=1$，是整数，符合要求；
4. 当$3a-1=-2$时，解得$a=-\frac{1}{3}$，不是整数，舍去；
5. 当$3a-1=3$时，解得$a=\frac{4}{3}$，不是整数，舍去；
6. 当$3a-1=-3$时，解得$a=-\frac{2}{3}$，不是整数，舍去；
7. 当$3a-1=6$时，解得$a=\frac{7}{3}$，不是整数，舍去；
8. 当$3a-1=-6$时，解得$a=-\frac{5}{3}$，不是整数，舍去。
综上，符合条件的整数a为0和1，共2个。
【答案】
2
【知识点】
分式有意义的条件，因数的概念
【点评】
本题属于分式的基础应用，解题时要注意全面考虑分母的所有可能取值（不要遗漏负因数），求解后要验证结果是否符合a为整数的要求，避免多算或漏算。
【难度系数】
0.6
