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19. 如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，将△CDE沿着CE折叠，使点D落在对角线AC上的点F处。若$\frac{AF}{FC}=\frac{2}{3}$，DE=3，则AE的长为
5
。答案
19.5
解析
【分析】
解题思路如下：第一步利用折叠的性质，得到全等三角形的对应边、对应角相等，明确DE=EF、CD=CF、∠CFE为直角；第二步结合已知的线段比例设参数，用参数表示出AC、CD的长度，再在矩形的直角△ADC中用勾股定理求出AD和参数的关系；第三步通过公共角和两个直角判定△AEF和△ACD相似，利用相似三角形对应边成比例建立等式，约去参数即可求出AE的长度。
【解析】
设$AF=2k$，$FC=3k$（$k＞0$），则对角线$AC=AF+FC=5k$。
由折叠的性质可得：$△ CDE ≌ △ CFE$，
$\therefore DE=EF=3$，$CD=CF=3k$，$∠ CFE=∠ D=90°$，
$\therefore ∠ AFE=180°-∠ CFE=90°$。
$\because$ 四边形$ABCD$是矩形，$\therefore ∠ D=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ ADC$中，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AC^2-CD^2}=\sqrt{(5k)^2-(3k)^2}=4k$。
在$△ AEF$和$△ ACD$中：
$\begin{cases}∠ A=∠ A \quad (\mathrm{公共角}) \\∠ AFE=∠ D=90°\end{cases}$
$\therefore △ AEF ∽ △ ACD$（两角对应相等，三角形相似），
$\therefore \frac{AE}{AC}=\frac{EF}{CD}$，代入$AC=5k$，$EF=3$，$CD=3k$得：
$\frac{AE}{5k}=\frac{3}{3k}$，约去非零参数$k$，解得$AE=5$。
【答案】
$\boxed{5}$
【知识点】
折叠的性质；矩形的性质；相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是典型的几何折叠类综合题，将折叠变换、矩形性质和相似三角形的应用结合，核心是通过折叠找到相等的边角关系，再利用相似三角形的比例关系消去参数得到所求线段长度，对几何综合应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
解题思路如下：第一步利用折叠的性质，得到全等三角形的对应边、对应角相等，明确DE=EF、CD=CF、∠CFE为直角；第二步结合已知的线段比例设参数，用参数表示出AC、CD的长度，再在矩形的直角△ADC中用勾股定理求出AD和参数的关系；第三步通过公共角和两个直角判定△AEF和△ACD相似，利用相似三角形对应边成比例建立等式，约去参数即可求出AE的长度。
【解析】
设$AF=2k$，$FC=3k$（$k＞0$），则对角线$AC=AF+FC=5k$。
由折叠的性质可得：$△ CDE ≌ △ CFE$，
$\therefore DE=EF=3$，$CD=CF=3k$，$∠ CFE=∠ D=90°$，
$\therefore ∠ AFE=180°-∠ CFE=90°$。
$\because$ 四边形$ABCD$是矩形，$\therefore ∠ D=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ ADC$中，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AC^2-CD^2}=\sqrt{(5k)^2-(3k)^2}=4k$。
在$△ AEF$和$△ ACD$中：
$\begin{cases}∠ A=∠ A \quad (\mathrm{公共角}) \\∠ AFE=∠ D=90°\end{cases}$
$\therefore △ AEF ∽ △ ACD$（两角对应相等，三角形相似），
$\therefore \frac{AE}{AC}=\frac{EF}{CD}$，代入$AC=5k$，$EF=3$，$CD=3k$得：
$\frac{AE}{5k}=\frac{3}{3k}$，约去非零参数$k$，解得$AE=5$。
【答案】
$\boxed{5}$
【知识点】
折叠的性质；矩形的性质；相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是典型的几何折叠类综合题，将折叠变换、矩形性质和相似三角形的应用结合，核心是通过折叠找到相等的边角关系，再利用相似三角形的比例关系消去参数得到所求线段长度，对几何综合应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
20.如图，四边形ABCD是平行四边形，AC，BD相交于点O，E是AB的中点，连接OE，过点E作EF⊥BC于点F，过点O作OG⊥BC于点G.
(1)求证：四边形EFGO是矩形.
(2)若四边形ABCD是菱形，AB=10，且$\frac{EO}{AO}=\frac{4}{5}$，求△AEO的面积.
(1)求证：四边形EFGO是矩形.
(2)若四边形ABCD是菱形，AB=10，且$\frac{EO}{AO}=\frac{4}{5}$，求△AEO的面积.
答案
20.(1)证明:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA=OC.
∵E是AB的中点,
∴OE是△ABC的中位线,
∴OE//BC.
∵EF⊥BC,OG⊥BC,
∴EF//OG,∠EFG=90°,
∴四边形EFGO是矩形.
(2)解:如图,过点E作EH⊥OA于点H.
∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=BC=10,OA=OC.
∵E是AB的中点,
∴OE是△ABC的中位线,
∴OE//BC,
∴AE=OE=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}×10=5$,
∴△AEO是等腰三角形,
∴AH=OH=$\frac{1}{2}$AO.
∵$\frac{EO}{AO}=\frac{4}{5}$,
∴$\frac{EO}{2HO}=\frac{4}{5}$,
即$\frac{5}{HO}=\frac{8}{5}$,
∴$HO=\frac{25}{8}$,$AO=\frac{25}{4}$.
∴$EH = \sqrt{EO^2-HO^2} = \sqrt{5^2-(\frac{25}{8})^2}=\frac{5\sqrt{39}}{8}$,
∴$S_{△ AEO}=\frac{1}{2}AO·EH=\frac{1}{2}×\frac{25}{4}×\frac{5\sqrt{39}}{8}=\frac{125\sqrt{39}}{64}$.
解析
【分析】
(1) 要证明四边形EFGO为矩形，可先证其为平行四边形，再证明存在直角。首先根据平行四边形对角线互相平分的性质，结合E是AB中点，可得OE是△ABC的中位线，推出OE//BC；再由EF⊥BC、OG⊥BC可得EF//OG，且∠EFG=90°，即可完成证明。
(2) 已知四边形ABCD是菱形，先利用三角形中位线定理求出OE的长度，结合$\frac{EO}{AO}=\frac{4}{5}$的比例关系求出AO的长；过E作EH⊥AO，利用等腰三角形三线合一得到OH的长度，再通过勾股定理求出高EH的长度，最后代入三角形面积公式即可求得△AEO的面积。
【解析】
(1) 证明:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA=OC.
∵E是AB的中点,
∴OE是△ABC的中位线,
∴OE//BC.
∵EF⊥BC,OG⊥BC,
∴EF//OG,∠EFG=90°,
∴四边形EFGO是矩形.
(2) 解:如图,过点E作EH⊥OA于点H.
∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=BC=10,OA=OC.
∵E是AB的中点,
∴OE是△ABC的中位线,
∴OE//BC,
∴AE=OE=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}×10=5$,
∴△AEO是等腰三角形,
∴AH=OH=$\frac{1}{2}$AO.
∵$\frac{EO}{AO}=\frac{4}{5}$,
∴$\frac{EO}{2HO}=\frac{4}{5}$,
即$\frac{5}{HO}=\frac{8}{5}$,
∴$HO=\frac{25}{8}$,$AO=\frac{25}{4}$.
∴$EH = \sqrt{EO^2-HO^2} = \sqrt{5^2-(\frac{25}{8})^2}=\frac{5\sqrt{39}}{8}$,
∴$S_{△ AEO}=\frac{1}{2}AO·EH=\frac{1}{2}×\frac{25}{4}×\frac{5\sqrt{39}}{8}=\frac{125\sqrt{39}}{64}$.
【答案】
(1) 四边形EFGO是矩形，证明成立；
(2) $\frac{125\sqrt{39}}{64}$
【知识点】
三角形中位线定理，矩形的判定，菱形的性质
【点评】
本题综合考查了特殊四边形的性质与判定，第一问较为基础，侧重对基础定理的应用考查；第二问需要结合等腰三角形性质、勾股定理进行几何计算，能较好地检验学生的几何综合应用能力。
【难度系数】
0.6
(1) 要证明四边形EFGO为矩形，可先证其为平行四边形，再证明存在直角。首先根据平行四边形对角线互相平分的性质，结合E是AB中点，可得OE是△ABC的中位线，推出OE//BC；再由EF⊥BC、OG⊥BC可得EF//OG，且∠EFG=90°，即可完成证明。
(2) 已知四边形ABCD是菱形，先利用三角形中位线定理求出OE的长度，结合$\frac{EO}{AO}=\frac{4}{5}$的比例关系求出AO的长；过E作EH⊥AO，利用等腰三角形三线合一得到OH的长度，再通过勾股定理求出高EH的长度，最后代入三角形面积公式即可求得△AEO的面积。
【解析】
(1) 证明:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA=OC.
∵E是AB的中点,
∴OE是△ABC的中位线,
∴OE//BC.
∵EF⊥BC,OG⊥BC,
∴EF//OG,∠EFG=90°,
∴四边形EFGO是矩形.
(2) 解:如图,过点E作EH⊥OA于点H.
∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=BC=10,OA=OC.
∵E是AB的中点,
∴OE是△ABC的中位线,
∴OE//BC,
∴AE=OE=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}×10=5$,
∴△AEO是等腰三角形,
∴AH=OH=$\frac{1}{2}$AO.
∵$\frac{EO}{AO}=\frac{4}{5}$,
∴$\frac{EO}{2HO}=\frac{4}{5}$,
即$\frac{5}{HO}=\frac{8}{5}$,
∴$HO=\frac{25}{8}$,$AO=\frac{25}{4}$.
∴$EH = \sqrt{EO^2-HO^2} = \sqrt{5^2-(\frac{25}{8})^2}=\frac{5\sqrt{39}}{8}$,
∴$S_{△ AEO}=\frac{1}{2}AO·EH=\frac{1}{2}×\frac{25}{4}×\frac{5\sqrt{39}}{8}=\frac{125\sqrt{39}}{64}$.
【答案】
(1) 四边形EFGO是矩形，证明成立；
(2) $\frac{125\sqrt{39}}{64}$
【知识点】
三角形中位线定理，矩形的判定，菱形的性质
【点评】
本题综合考查了特殊四边形的性质与判定，第一问较为基础，侧重对基础定理的应用考查；第二问需要结合等腰三角形性质、勾股定理进行几何计算，能较好地检验学生的几何综合应用能力。
【难度系数】
0.6
21. 在$Rt△ ABC$中，$∠ BAC=90°$，$D$是$BC$的中点，$E$是$AD$的中点，过点$A$作$AF// BC$交$CE$的延长线于点$F$.
(1)求证:四边形$ADBF$是菱形.
(2)若$AB=10$，菱形$ADBF$的面积为$80$，求$BC$的长.
(1)求证:四边形$ADBF$是菱形.
(2)若$AB=10$，菱形$ADBF$的面积为$80$，求$BC$的长.
答案
21.(1)证明:
∵AF//BC,
∴∠AFC=∠FCD,∠FAE=∠CDE.
∵E是AD的中点,
∴AE=DE,
在△FAE和△CDE中,
$\begin{cases}∠AFE=∠DCE,\\∠FAE=∠CDE,\\AE=DE,\end{cases}$
∴△FAE≌△CDE(AAS),
∴AF=CD.
∵D是BC的中点,
∴BD=CD,
∴AF=BD,
∴四边形ADBF是平行四边形.
∵∠BAC=90°,D是BC的中点,
∴AD=BD=$\frac{1}{2}$BC,
∴四边形ADBF是菱形.
(2)解:
∵四边形ADBF是菱形,
∴$S_{菱形ADBF}=2S_{△ ABD}$.
∵D是BC的中点,
∴$S_{△ ABC}=2S_{△ ABD}$,
∴$S_{菱形ADBF}=S_{△ ABC}=80$.
∵∠BAC=90°,
∴$\frac{1}{2}AB·AC=80$,
∴AC=16,
∴$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=2\sqrt{89}$.
∵AF//BC,
∴∠AFC=∠FCD,∠FAE=∠CDE.
∵E是AD的中点,
∴AE=DE,
在△FAE和△CDE中,
$\begin{cases}∠AFE=∠DCE,\\∠FAE=∠CDE,\\AE=DE,\end{cases}$
∴△FAE≌△CDE(AAS),
∴AF=CD.
∵D是BC的中点,
∴BD=CD,
∴AF=BD,
∴四边形ADBF是平行四边形.
∵∠BAC=90°,D是BC的中点,
∴AD=BD=$\frac{1}{2}$BC,
∴四边形ADBF是菱形.
(2)解:
∵四边形ADBF是菱形,
∴$S_{菱形ADBF}=2S_{△ ABD}$.
∵D是BC的中点,
∴$S_{△ ABC}=2S_{△ ABD}$,
∴$S_{菱形ADBF}=S_{△ ABC}=80$.
∵∠BAC=90°,
∴$\frac{1}{2}AB·AC=80$,
∴AC=16,
∴$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=2\sqrt{89}$.
解析
【分析】
(1)要证明四边形ADBF是菱形，需先证其为平行四边形，再证一组邻边相等。首先利用AF//BC得到内错角相等，结合E是AD中点的条件，证明△FAE与△CDE全等，得到AF=CD；再由D是BC中点得BD=CD，等量代换得AF=BD，结合AF//BD即可判定四边形ADBF是平行四边形；最后利用直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，得到AD=BD，即可证得平行四边形ADBF是菱形。
(2)求BC的长，已知AB长度，在Rt△ABC中只需先求出AC的长，即可用勾股定理计算BC。首先分析面积关系：菱形ADBF的面积等于2倍△ABD的面积，而D是BC中点，△ABC的面积也等于2倍△ABD的面积，因此△ABC的面积与菱形面积相等为80；再利用直角三角形面积公式求出AC的长度，最后代入勾股定理计算BC即可。
【解析】
(1)证明:
∵AF//BC,
∴∠AFC=∠FCD,∠FAE=∠CDE.
∵E是AD的中点,
∴AE=DE,
在△FAE和△CDE中,
$\begin{cases}∠AFE=∠DCE,\\∠FAE=∠CDE,\\AE=DE,\end{cases}$
∴△FAE≌△CDE(AAS),
∴AF=CD.
∵D是BC的中点,
∴BD=CD,
∴AF=BD,
又
∵AF//BD,
∴四边形ADBF是平行四边形.
∵∠BAC=90°,D是BC的中点,
∴AD=BD=$\frac{1}{2}$BC,
∴四边形ADBF是菱形.
(2)解:
∵四边形ADBF是菱形,
∴$S_{菱形ADBF}=2S_{△ ABD}$.
∵D是BC的中点,
∴$S_{△ ABC}=2S_{△ ABD}$,
∴$S_{菱形ADBF}=S_{△ ABC}=80$.
∵∠BAC=90°,
∴$\frac{1}{2}AB·AC=80$,
将AB=10代入得$\frac{1}{2}×10×AC=80$，解得AC=16,
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{10^2+16^2}=2\sqrt{89}$.
【答案】
(1)证明成立，四边形ADBF是菱形；
(2)$BC=2\sqrt{89}$
【知识点】
菱形的判定，全等三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题综合考查了特殊四边形的判定、全等三角形的性质以及直角三角形的相关计算，解题的关键是熟练掌握菱形的判定定理，理清图形之间的面积关系，灵活运用勾股定理进行边长计算。
【难度系数】
0.65
(1)要证明四边形ADBF是菱形，需先证其为平行四边形，再证一组邻边相等。首先利用AF//BC得到内错角相等，结合E是AD中点的条件，证明△FAE与△CDE全等，得到AF=CD；再由D是BC中点得BD=CD，等量代换得AF=BD，结合AF//BD即可判定四边形ADBF是平行四边形；最后利用直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，得到AD=BD，即可证得平行四边形ADBF是菱形。
(2)求BC的长，已知AB长度，在Rt△ABC中只需先求出AC的长，即可用勾股定理计算BC。首先分析面积关系：菱形ADBF的面积等于2倍△ABD的面积，而D是BC中点，△ABC的面积也等于2倍△ABD的面积，因此△ABC的面积与菱形面积相等为80；再利用直角三角形面积公式求出AC的长度，最后代入勾股定理计算BC即可。
【解析】
(1)证明:
∵AF//BC,
∴∠AFC=∠FCD,∠FAE=∠CDE.
∵E是AD的中点,
∴AE=DE,
在△FAE和△CDE中,
$\begin{cases}∠AFE=∠DCE,\\∠FAE=∠CDE,\\AE=DE,\end{cases}$
∴△FAE≌△CDE(AAS),
∴AF=CD.
∵D是BC的中点,
∴BD=CD,
∴AF=BD,
又
∵AF//BD,
∴四边形ADBF是平行四边形.
∵∠BAC=90°,D是BC的中点,
∴AD=BD=$\frac{1}{2}$BC,
∴四边形ADBF是菱形.
(2)解:
∵四边形ADBF是菱形,
∴$S_{菱形ADBF}=2S_{△ ABD}$.
∵D是BC的中点,
∴$S_{△ ABC}=2S_{△ ABD}$,
∴$S_{菱形ADBF}=S_{△ ABC}=80$.
∵∠BAC=90°,
∴$\frac{1}{2}AB·AC=80$,
将AB=10代入得$\frac{1}{2}×10×AC=80$，解得AC=16,
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{10^2+16^2}=2\sqrt{89}$.
【答案】
(1)证明成立，四边形ADBF是菱形；
(2)$BC=2\sqrt{89}$
【知识点】
菱形的判定，全等三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题综合考查了特殊四边形的判定、全等三角形的性质以及直角三角形的相关计算，解题的关键是熟练掌握菱形的判定定理，理清图形之间的面积关系，灵活运用勾股定理进行边长计算。
【难度系数】
0.65
