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12. 如图,在正方形ABCD中,F为DC上一点,E在CB的延长线上,连接AE,AF,EF,G为EF的中点,连接DG.若$AE=AF$,$EB=\dfrac{1}{4}BC$,则$\dfrac{DF}{DG}$的值为（
A.$\dfrac{\sqrt{2}}{3}$
B.$\dfrac{\sqrt{2}}{4}$
C.$\dfrac{\sqrt{2}}{5}$
D.$\dfrac{\sqrt{2}}{6}$
C
）A.$\dfrac{\sqrt{2}}{3}$
B.$\dfrac{\sqrt{2}}{4}$
C.$\dfrac{\sqrt{2}}{5}$
D.$\dfrac{\sqrt{2}}{6}$
答案
12.C
解析
【分析】
解题时先从正方形的性质入手，结合已知AE=AF，可通过HL判定Rt△ABE和Rt△ADF全等，推出EB=DF；再用设参数法简化计算，设BC=4，得到各线段的长度；之后通过建立平面直角坐标系，利用中点坐标公式求出G点坐标，最后用勾股定理计算DG的长度，即可求出对应比值。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=BC=CD，∠ABE=∠ADF=∠C=90°。
在$\mathrm{Rt}△ ABE$和$\mathrm{Rt}△ ADF$中：
$\begin{cases} AE=AF \\ AB=AD \end{cases}$
∴$\mathrm{Rt}△ ABE≌\mathrm{Rt}△ ADF(\mathrm{HL})$，
∴$EB=DF$。
设$BC=4$，则$EB=\dfrac{1}{4}BC=1$，
∴$DF=1$，$EC=EB+BC=5$，$FC=CD-DF=4-1=3$。
建立平面直角坐标系：设B为原点$(0,0)$，则$A(0,4)$，$C(4,0)$，$D(4,4)$，$E(-1,0)$，$F(4,3)$。
∵G是EF的中点，
∴G点坐标为$(\dfrac{-1+4}{2},\dfrac{0+3}{2})$，即$G(\dfrac{3}{2},\dfrac{3}{2})$。
由勾股定理得：
$DG=\sqrt{(4-\dfrac{3}{2})^2+(4-\dfrac{3}{2})^2}=\sqrt{(\dfrac{5}{2})^2+(\dfrac{5}{2})^2}=\dfrac{5\sqrt{2}}{2}$
∴$\dfrac{DF}{DG}=\dfrac{1}{\dfrac{5\sqrt{2}}{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{5}$。
【答案】
C
【知识点】
正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题是几何综合题，解题的关键是先通过全等得到线段等量关系，再用设参数、建坐标系的方法简化计算，降低解题难度，这类方法是解决几何比值类问题的常用技巧。
【难度系数】
0.6
解题时先从正方形的性质入手，结合已知AE=AF，可通过HL判定Rt△ABE和Rt△ADF全等，推出EB=DF；再用设参数法简化计算，设BC=4，得到各线段的长度；之后通过建立平面直角坐标系，利用中点坐标公式求出G点坐标，最后用勾股定理计算DG的长度，即可求出对应比值。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=BC=CD，∠ABE=∠ADF=∠C=90°。
在$\mathrm{Rt}△ ABE$和$\mathrm{Rt}△ ADF$中：
$\begin{cases} AE=AF \\ AB=AD \end{cases}$
∴$\mathrm{Rt}△ ABE≌\mathrm{Rt}△ ADF(\mathrm{HL})$，
∴$EB=DF$。
设$BC=4$，则$EB=\dfrac{1}{4}BC=1$，
∴$DF=1$，$EC=EB+BC=5$，$FC=CD-DF=4-1=3$。
建立平面直角坐标系：设B为原点$(0,0)$，则$A(0,4)$，$C(4,0)$，$D(4,4)$，$E(-1,0)$，$F(4,3)$。
∵G是EF的中点，
∴G点坐标为$(\dfrac{-1+4}{2},\dfrac{0+3}{2})$，即$G(\dfrac{3}{2},\dfrac{3}{2})$。
由勾股定理得：
$DG=\sqrt{(4-\dfrac{3}{2})^2+(4-\dfrac{3}{2})^2}=\sqrt{(\dfrac{5}{2})^2+(\dfrac{5}{2})^2}=\dfrac{5\sqrt{2}}{2}$
∴$\dfrac{DF}{DG}=\dfrac{1}{\dfrac{5\sqrt{2}}{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{5}$。
【答案】
C
【知识点】
正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题是几何综合题，解题的关键是先通过全等得到线段等量关系，再用设参数、建坐标系的方法简化计算，降低解题难度，这类方法是解决几何比值类问题的常用技巧。
【难度系数】
0.6
13. 如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，EF过点O且与边AB，CD分别相交于点E，F。若OA＝2，OD＝1，则△AOE与△DOF的面积之和为
（第13题图）
（第14题图）
（第15题图）
1
。（第13题图）（第14题图）
（第15题图）
答案
13.1
解析
【分析】
解题思路：首先根据菱形的性质得到对边平行、对角线互相垂直且平分，所求的△AOE与△DOF的面积和直接计算缺少边长条件，因此考虑通过全等三角形进行面积转化：利用AB//CD得到内错角相等，结合对顶角相等、OA=OC证明△AOE≌△COF，将$S_{△ AOE}$替换为$S_{△ COF}$，此时两个三角形面积和就转化为△DOC的面积，最后结合对角线垂直的性质用三角形面积公式计算即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA=OC=2，AB//CD，
∴∠OAE=∠OCF。
在△AOE和△COF中：
$\{\begin{array}{l}∠OAE=∠OCF \\OA=OC \\∠AOE=∠COF\end{array} $
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴$S_{△ AOE}=S_{△ COF}$，
∴$S_{△ AOE}+S_{△ DOF}=S_{△ COF}+S_{△ DOF}=S_{△ DOC}$。
又
∵AC⊥BD，
∴$S_{△ DOC}=\frac{1}{2}×OC×OD=\frac{1}{2}×2×1=1$。
【答案】
1
【知识点】
菱形的性质；全等三角形的判定与性质；三角形面积计算
【点评】
本题解题核心是通过全等三角形将分散的阴影面积转化为可直接计算的规则三角形面积，很好地结合了菱形性质与全等的知识点，是几何面积计算的典型题型。
【难度系数】
0.6
解题思路：首先根据菱形的性质得到对边平行、对角线互相垂直且平分，所求的△AOE与△DOF的面积和直接计算缺少边长条件，因此考虑通过全等三角形进行面积转化：利用AB//CD得到内错角相等，结合对顶角相等、OA=OC证明△AOE≌△COF，将$S_{△ AOE}$替换为$S_{△ COF}$，此时两个三角形面积和就转化为△DOC的面积，最后结合对角线垂直的性质用三角形面积公式计算即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA=OC=2，AB//CD，
∴∠OAE=∠OCF。
在△AOE和△COF中：
$\{\begin{array}{l}∠OAE=∠OCF \\OA=OC \\∠AOE=∠COF\end{array} $
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴$S_{△ AOE}=S_{△ COF}$，
∴$S_{△ AOE}+S_{△ DOF}=S_{△ COF}+S_{△ DOF}=S_{△ DOC}$。
又
∵AC⊥BD，
∴$S_{△ DOC}=\frac{1}{2}×OC×OD=\frac{1}{2}×2×1=1$。
【答案】
1
【知识点】
菱形的性质；全等三角形的判定与性质；三角形面积计算
【点评】
本题解题核心是通过全等三角形将分散的阴影面积转化为可直接计算的规则三角形面积，很好地结合了菱形性质与全等的知识点，是几何面积计算的典型题型。
【难度系数】
0.6
14.如图,在矩形ABCD中,AB=8,BC=4,将矩形沿AC折叠,点D落在点D'处,则重叠部分△AFC的面积为
10
.答案
14.10
解析
【分析】
要求重叠部分△AFC的面积，首先我们可以利用折叠的性质和矩形对边平行的性质，推导出△AFC是等腰三角形，即AF=CF；接下来设AF的长度为未知数，结合BF=AB-AF，在Rt△BCF中利用勾股定理列方程求出AF的长度，最后以AF为底、BC为高即可计算出△AFC的面积。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形
∴AB//CD，∠B=90°，
由折叠的性质可得：∠D'AC=∠DAC，
∵AB//CD，
∴∠DAC=∠ACF，
∴∠D'AC=∠ACF，
∴AF=CF。
设AF=CF=x，则BF=AB - AF = 8 - x，
在Rt△BCF中，根据勾股定理得：
$CF^2 = BF^2 + BC^2$
代入数据得：$x^2 = (8 - x)^2 + 4^2$
展开计算：$x^2 = 64 - 16x + x^2 + 16$
整理得：$16x = 80$
解得：$x=5$，即AF=5。
∴$S_{△ AFC} = \frac{1}{2} × AF × BC = \frac{1}{2} × 5 × 4 = 10$
【答案】
10
【知识点】
折叠的性质，勾股定理，矩形的性质
【点评】
本题是折叠类的常考题型，解题核心是通过折叠性质和平行线性质得到等腰三角形，再结合勾股定理建立方程求解，将几何计算转化为方程问题，是数形结合思想的典型应用。
【难度系数】
0.7
要求重叠部分△AFC的面积，首先我们可以利用折叠的性质和矩形对边平行的性质，推导出△AFC是等腰三角形，即AF=CF；接下来设AF的长度为未知数，结合BF=AB-AF，在Rt△BCF中利用勾股定理列方程求出AF的长度，最后以AF为底、BC为高即可计算出△AFC的面积。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形
∴AB//CD，∠B=90°，
由折叠的性质可得：∠D'AC=∠DAC，
∵AB//CD，
∴∠DAC=∠ACF，
∴∠D'AC=∠ACF，
∴AF=CF。
设AF=CF=x，则BF=AB - AF = 8 - x，
在Rt△BCF中，根据勾股定理得：
$CF^2 = BF^2 + BC^2$
代入数据得：$x^2 = (8 - x)^2 + 4^2$
展开计算：$x^2 = 64 - 16x + x^2 + 16$
整理得：$16x = 80$
解得：$x=5$，即AF=5。
∴$S_{△ AFC} = \frac{1}{2} × AF × BC = \frac{1}{2} × 5 × 4 = 10$
【答案】
10
【知识点】
折叠的性质，勾股定理，矩形的性质
【点评】
本题是折叠类的常考题型，解题核心是通过折叠性质和平行线性质得到等腰三角形，再结合勾股定理建立方程求解，将几何计算转化为方程问题，是数形结合思想的典型应用。
【难度系数】
0.7
15. 菱形ABCD的边长为2，∠ABC=45°，P，Q分别是BC，BD上的动点，CQ+PQ的最小值为
$\sqrt{2}$
。答案
15.$\sqrt{2}$
解析
【分析】
本题属于最短路径类问题，需结合菱形的轴对称性求解。首先根据菱形的性质可知对角线BD是菱形的对称轴，点C关于BD的对称点为点A，因此可得CQ=AQ，即可将CQ+PQ转化为AQ+PQ。根据“点到直线的距离，垂线段最短”，当A、Q、P三点共线且AP垂直BC时，AQ+PQ的长度最小，最小值即为点A到BC的垂线段长度，最后结合已知边长和角度，用勾股定理计算即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是菱形，
∴对角线BD所在直线是菱形的对称轴，点A与点C关于BD对称，
∴对BD上任意一点Q，都有CQ=AQ，
∴CQ+PQ = AQ+PQ。
∵点P在BC上，根据点到直线的距离垂线段最短，
∴当AP⊥BC，且Q为AP与BD的交点时，CQ+PQ取得最小值，最小值为AP的长度。
在Rt△ABP中，∠APB=90°，∠ABC=45°，
∴△ABP是等腰直角三角形，AP=BP，
由勾股定理得：$AP^2 + BP^2 = AB^2$，
代入AB=2，得$2AP^2 = 4$，
解得$AP=\sqrt{2}$（长度为正，舍去负根）。
【答案】
$\sqrt{2}$
【知识点】
菱形的性质，最短路径问题，勾股定理
【点评】
本题是将军饮马模型在四边形中的典型应用，解题的核心是利用菱形的轴对称性将两条线段的和转化为点到直线的距离，再结合勾股定理计算，考查了学生对几何模型的迁移应用能力。
【难度系数】
0.6
本题属于最短路径类问题，需结合菱形的轴对称性求解。首先根据菱形的性质可知对角线BD是菱形的对称轴，点C关于BD的对称点为点A，因此可得CQ=AQ，即可将CQ+PQ转化为AQ+PQ。根据“点到直线的距离，垂线段最短”，当A、Q、P三点共线且AP垂直BC时，AQ+PQ的长度最小，最小值即为点A到BC的垂线段长度，最后结合已知边长和角度，用勾股定理计算即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是菱形，
∴对角线BD所在直线是菱形的对称轴，点A与点C关于BD对称，
∴对BD上任意一点Q，都有CQ=AQ，
∴CQ+PQ = AQ+PQ。
∵点P在BC上，根据点到直线的距离垂线段最短，
∴当AP⊥BC，且Q为AP与BD的交点时，CQ+PQ取得最小值，最小值为AP的长度。
在Rt△ABP中，∠APB=90°，∠ABC=45°，
∴△ABP是等腰直角三角形，AP=BP，
由勾股定理得：$AP^2 + BP^2 = AB^2$，
代入AB=2，得$2AP^2 = 4$，
解得$AP=\sqrt{2}$（长度为正，舍去负根）。
【答案】
$\sqrt{2}$
【知识点】
菱形的性质，最短路径问题，勾股定理
【点评】
本题是将军饮马模型在四边形中的典型应用，解题的核心是利用菱形的轴对称性将两条线段的和转化为点到直线的距离，再结合勾股定理计算，考查了学生对几何模型的迁移应用能力。
【难度系数】
0.6
16. 将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF（折叠后点B，D都落在AC的中点O处）.若AB＝3，则BC的长为
（第16题图）
（第17题图）
（第18题图）
$\sqrt{3}$
.（第16题图）（第17题图）
（第18题图）
答案
16.$\sqrt{3}$
解析
【分析】
解题时先结合已知条件提取对应性质：首先根据折叠前后对应边相等，可得BC=OC；再由O是AC中点，可推导出AC=2BC；最后利用矩形的直角特性，在Rt△ABC中用勾股定理列方程，即可求出BC的长度。
【解析】
解：由折叠的性质可知，折叠后对应边相等，因此$\boldsymbol{BC=OC}$。
∵ O是AC的中点，
∴ $AC=2OC=2BC$。
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ $∠ B=90°$，$△ ABC$为直角三角形。
在$Rt△ ABC$中，根据勾股定理得：$AB^2 + BC^2 = AC^2$。
将$AB=3$，$AC=2BC$代入上式：
$3^2 + BC^2 = (2BC)^2$
$9 + BC^2 = 4BC^2$
整理得$3BC^2=9$，即$BC^2=3$。
∵ BC为线段长度，是正数，
∴ $BC=\sqrt{3}$。
【答案】
$\sqrt{3}$
【知识点】
折叠的性质，矩形的性质，勾股定理
【点评】
本题是几何综合类基础题，将折叠变换、特殊四边形性质与勾股定理结合考察，解题的核心是通过折叠性质和中点条件推出AC与BC的数量关系，再利用勾股定理建立方程求解。
【难度系数】
0.7
解题时先结合已知条件提取对应性质：首先根据折叠前后对应边相等，可得BC=OC；再由O是AC中点，可推导出AC=2BC；最后利用矩形的直角特性，在Rt△ABC中用勾股定理列方程，即可求出BC的长度。
【解析】
解：由折叠的性质可知，折叠后对应边相等，因此$\boldsymbol{BC=OC}$。
∵ O是AC的中点，
∴ $AC=2OC=2BC$。
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ $∠ B=90°$，$△ ABC$为直角三角形。
在$Rt△ ABC$中，根据勾股定理得：$AB^2 + BC^2 = AC^2$。
将$AB=3$，$AC=2BC$代入上式：
$3^2 + BC^2 = (2BC)^2$
$9 + BC^2 = 4BC^2$
整理得$3BC^2=9$，即$BC^2=3$。
∵ BC为线段长度，是正数，
∴ $BC=\sqrt{3}$。
【答案】
$\sqrt{3}$
【知识点】
折叠的性质，矩形的性质，勾股定理
【点评】
本题是几何综合类基础题，将折叠变换、特殊四边形性质与勾股定理结合考察，解题的核心是通过折叠性质和中点条件推出AC与BC的数量关系，再利用勾股定理建立方程求解。
【难度系数】
0.7
17.如图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形较短直角边长为$a$，较长直角边长为$b$，斜边长为$c$，若$ab=8$，$c=5$，则小正方形的面积是
9
.答案
17.9
解析
【分析】
首先观察图形可知，小正方形的边长为直角三角形较长直角边与较短直角边的差，即$b-a$，因此小正方形的面积可表示为$(b-a)^2$。结合已知条件，我们需要得到$a^2+b^2$和$ab$的值：其中$ab$题目已给出，$a^2+b^2$可通过直角三角形的勾股定理，结合斜边$c$的长度求出，最后代入完全平方公式展开式即可计算出小正方形的面积。也可以通过“大正方形面积减去4个全等直角三角形的面积和”的思路求解，两种方法本质一致。
【解析】
方法一：
1. 由图形可得，小正方形的边长为$b-a$，因此小正方形面积$S=(b-a)^2$。
2. 根据勾股定理，直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方，即$a^2+b^2=c^2$，已知$c=5$，代入得$a^2+b^2=5^2=25$。
3. 将$(b-a)^2$展开得：$(b-a)^2=a^2-2ab+b^2=(a^2+b^2)-2ab$。
4. 把$a^2+b^2=25$，$ab=8$代入上式：$S=25-2×8=25-16=9$。
方法二：
1. 大正方形的边长为$c=5$，因此大正方形面积为$c^2=5^2=25$。
2. 每个直角三角形的面积为$\frac{1}{2}ab$，4个全等直角三角形的总面积为$4×\frac{1}{2}ab=2ab$，代入$ab=8$得总面积为$2×8=16$。
3. 小正方形面积 = 大正方形面积 - 4个直角三角形面积和，即$S=25-16=9$。
【答案】
9
【知识点】
勾股定理；完全平方公式；面积和差计算
【点评】
本题依托经典的赵爽弦图模型，考查数形结合思想的应用，解题核心是梳理清楚图形各部分面积的数量关系，结合勾股定理和代数运算即可快速求解，是几何与代数结合的典型基础题。
【难度系数】
0.7
首先观察图形可知，小正方形的边长为直角三角形较长直角边与较短直角边的差，即$b-a$，因此小正方形的面积可表示为$(b-a)^2$。结合已知条件，我们需要得到$a^2+b^2$和$ab$的值：其中$ab$题目已给出，$a^2+b^2$可通过直角三角形的勾股定理，结合斜边$c$的长度求出，最后代入完全平方公式展开式即可计算出小正方形的面积。也可以通过“大正方形面积减去4个全等直角三角形的面积和”的思路求解，两种方法本质一致。
【解析】
方法一：
1. 由图形可得，小正方形的边长为$b-a$，因此小正方形面积$S=(b-a)^2$。
2. 根据勾股定理，直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方，即$a^2+b^2=c^2$，已知$c=5$，代入得$a^2+b^2=5^2=25$。
3. 将$(b-a)^2$展开得：$(b-a)^2=a^2-2ab+b^2=(a^2+b^2)-2ab$。
4. 把$a^2+b^2=25$，$ab=8$代入上式：$S=25-2×8=25-16=9$。
方法二：
1. 大正方形的边长为$c=5$，因此大正方形面积为$c^2=5^2=25$。
2. 每个直角三角形的面积为$\frac{1}{2}ab$，4个全等直角三角形的总面积为$4×\frac{1}{2}ab=2ab$，代入$ab=8$得总面积为$2×8=16$。
3. 小正方形面积 = 大正方形面积 - 4个直角三角形面积和，即$S=25-16=9$。
【答案】
9
【知识点】
勾股定理；完全平方公式；面积和差计算
【点评】
本题依托经典的赵爽弦图模型，考查数形结合思想的应用，解题核心是梳理清楚图形各部分面积的数量关系，结合勾股定理和代数运算即可快速求解，是几何与代数结合的典型基础题。
【难度系数】
0.7
18.如图,四边形ABCD为正方形,E为对角线AC上一点,连接DE,过点E作EF⊥DE,交边BC于点F,以DE,EF为邻边作矩形DEFG,连接CG.若AB=4,CE:AE=3:1,则CG的长为
$\sqrt{2}$
.答案
18.$\sqrt{2}$
解析
【分析】
解题思路如下：1. 先利用正方形ABCD的性质，结合勾股定理算出对角线AC的长度，再根据CE:AE=3:1求出AE的长度；2. 证明矩形DEFG是正方形，得到DE=DG，且∠EDG=90°；3. 通过角的等量代换得到∠ADE=∠CDG，结合AD=CD、DE=DG证明△ADE≌△CDG，可得CG=AE，即可求出CG的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是正方形，AB=4
∴AD=CD=AB=4，∠ADC=90°
由勾股定理得对角线$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}$
∵$CE:AE=3:1$，
∴$AE=\frac{1}{3+1}× AC=\frac{1}{4}×4\sqrt{2}=\sqrt{2}$
过点E作$EN⊥ CD$于N，$EM⊥ BC$于M，
∵E在正方形对角线AC上，AC平分∠BCD，
∴$EM=EN$，且$∠NEM=90°$
∵$EF⊥ DE$，
∴$∠DEF=90°$
∴$∠DEN+∠NEF=∠MEF+∠NEF=90°$，即$∠DEN=∠FEM$
在$△ DEN$和$△ FEM$中：
$\begin{cases}∠DNE=∠FME=90° \\EN=EM \\∠DEN=∠FEM\end{cases}$
∴$△ DEN≌△ FEM(ASA)$，
∴$DE=EF$
∵四边形DEFG是矩形，且$DE=EF$，
∴矩形DEFG是正方形
∴$DE=DG$，$∠EDG=90°$
∵$∠ADC=∠EDG=90°$
∴$∠ADC-∠EDC=∠EDG-∠EDC$，即$∠ADE=∠CDG$
在$△ ADE$和$△ CDG$中：
$\begin{cases}AD=CD \\∠ADE=∠CDG \\DE=DG\end{cases}$
∴$△ ADE≌△ CDG(SAS)$
∴$CG=AE=\sqrt{2}$
【答案】
$\sqrt{2}$
【知识点】
正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题是特殊四边形与全等三角形的综合题，解题的核心是通过全等三角形将未知的CG转化为可求的AE，需要熟练掌握特殊四边形的性质和全等三角形的判定方法。
【难度系数】
0.6
解题思路如下：1. 先利用正方形ABCD的性质，结合勾股定理算出对角线AC的长度，再根据CE:AE=3:1求出AE的长度；2. 证明矩形DEFG是正方形，得到DE=DG，且∠EDG=90°；3. 通过角的等量代换得到∠ADE=∠CDG，结合AD=CD、DE=DG证明△ADE≌△CDG，可得CG=AE，即可求出CG的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是正方形，AB=4
∴AD=CD=AB=4，∠ADC=90°
由勾股定理得对角线$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}$
∵$CE:AE=3:1$，
∴$AE=\frac{1}{3+1}× AC=\frac{1}{4}×4\sqrt{2}=\sqrt{2}$
过点E作$EN⊥ CD$于N，$EM⊥ BC$于M，
∵E在正方形对角线AC上，AC平分∠BCD，
∴$EM=EN$，且$∠NEM=90°$
∵$EF⊥ DE$，
∴$∠DEF=90°$
∴$∠DEN+∠NEF=∠MEF+∠NEF=90°$，即$∠DEN=∠FEM$
在$△ DEN$和$△ FEM$中：
$\begin{cases}∠DNE=∠FME=90° \\EN=EM \\∠DEN=∠FEM\end{cases}$
∴$△ DEN≌△ FEM(ASA)$，
∴$DE=EF$
∵四边形DEFG是矩形，且$DE=EF$，
∴矩形DEFG是正方形
∴$DE=DG$，$∠EDG=90°$
∵$∠ADC=∠EDG=90°$
∴$∠ADC-∠EDC=∠EDG-∠EDC$，即$∠ADE=∠CDG$
在$△ ADE$和$△ CDG$中：
$\begin{cases}AD=CD \\∠ADE=∠CDG \\DE=DG\end{cases}$
∴$△ ADE≌△ CDG(SAS)$
∴$CG=AE=\sqrt{2}$
【答案】
$\sqrt{2}$
【知识点】
正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题是特殊四边形与全等三角形的综合题，解题的核心是通过全等三角形将未知的CG转化为可求的AE，需要熟练掌握特殊四边形的性质和全等三角形的判定方法。
【难度系数】
0.6
