22.已知在四边形ABCD中，BC=CD.连接BD，过点C作BD的垂线交AB于点E，连接DE.
(1)如图1，若DE//BC，求证：四边形BCDE是菱形.
(2)如图2，连接AC，设BD，AC相交于点F，DE垂直平分线段AC.
①求∠CED的大小.
②若AF=AE，求证：BE=CF.

22.(1)证明:
∵DC=BC,CE⊥BD,
∴DO=BO.
∵DE//BC,
∴∠ODE=∠OBC,∠OED=∠OCB,
∴△ODE≌△OBC(AAS),
∴DE=BC,
∴四边形BCDE为平行四边形.
∵CE⊥BD,
∴四边形BCDE为菱形.
(2)①解:由(1)可知,BO=DO,
∴CE垂直平分BD,
∴BE=DE,
∵BO=DO,
∴∠BEO=∠DEO,
∵DE垂直平分AC,
∴AE=CE.
∵EG⊥AC,
∴∠AEG=∠DEO,
∴∠AEG=∠DEO=∠BEO,
∵∠AEG+∠DEO+∠BEO=180°,
∴∠CED=$\frac{180°}{3}=60°$.
②证明:如图,连接EF.

∵EG⊥AC,
∴∠EGF=90°,
∴∠EFA=90°−∠GEF,
∠AEF=180°−∠BEF
=180°−∠BEC−∠CEF
=180°−∠BEC−(∠CEG−∠GEF)
=180°−60°−60°+∠GEF
=60°+∠GEF.
∵AE=AF,
∴∠AEF=∠AFE,
∴90°−∠GEF=60°+∠GEF,
∴∠GEF=15°,
∴∠OEF=∠CEG−∠GEF=60°−15°=45°.
∵CE⊥BD,
∴∠EOF=∠EOB=90°,
∴∠OFE=90°−∠OEF=45°,
∴∠OEF=∠OFE,
∴OE=OF,
∵AE=CE,
∴∠EAC=∠ECA.
∵∠EAC+∠ECA=∠CEB=60°,
∴∠ECA=30°,
∵∠EBO=90°−∠OEB=30°,
∴∠OCF=∠OBE=30°,
∵∠BOE=∠COF=90°,
∴△BOE≌△COF(AAS),
∴BE=CF.

【分析】
(1)要证四边形BCDE是菱形，先由BC=CD、CE⊥BD可得CE垂直平分BD，得到DO=BO；再结合DE//BC证明△ODE≌△OBC，推出DE=BC，先判定四边形BCDE为平行四边形，最后根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形完成证明。
(2)①求∠CED的大小：先由CE垂直平分BD得BE=DE，CE平分∠BED，即∠BEO=∠DEO；再根据DE垂直平分AC得AE=CE，DE平分∠AEC，即∠AEG=∠DEO；三个相等的角之和为180°，即可求出∠CED的度数。
②要证BE=CF，先连接EF，利用AE=AF的等腰三角形性质推导角的关系，得到OE=OF；再证明∠OCF=∠OBE，结合直角相等证明△BOE≌△COF，即可得到BE=CF。
【解析】
(1)证明:
∵DC=BC,CE⊥BD,
∴DO=BO.
∵DE//BC,
∴∠ODE=∠OBC,∠OED=∠OCB,
∴△ODE≌△OBC(AAS),
∴DE=BC,
∴四边形BCDE为平行四边形.
∵CE⊥BD,
∴四边形BCDE为菱形.
(2)①解:由(1)可知,BO=DO,
∴CE垂直平分BD,
∴BE=DE,
∵BO=DO,
∴∠BEO=∠DEO,
∵DE垂直平分AC,
∴AE=CE.
∵EG⊥AC,
∴∠AEG=∠DEO,
∴∠AEG=∠DEO=∠BEO,
∵∠AEG+∠DEO+∠BEO=180°,
∴∠CED=$\frac{180°}{3}=60°$.
②证明:如图,连接EF.

∵EG⊥AC,
∴∠EGF=90°,
∴∠EFA=90°−∠GEF,
∠AEF=180°−∠BEF
=180°−∠BEC−∠CEF
=180°−∠BEC−(∠CEG−∠GEF)
=180°−60°−60°+∠GEF
=60°+∠GEF.
∵AE=AF,
∴∠AEF=∠AFE,
∴90°−∠GEF=60°+∠GEF,
∴∠GEF=15°,
∴∠OEF=∠CEG−∠GEF=60°−15°=45°.
∵CE⊥BD,
∴∠EOF=∠EOB=90°,
∴∠OFE=90°−∠OEF=45°,
∴∠OEF=∠OFE,
∴OE=OF,
∵AE=CE,
∴∠EAC=∠ECA.
∵∠EAC+∠ECA=∠CEB=60°,
∴∠ECA=30°,
∵∠EBO=90°−∠OEB=30°,
∴∠OCF=∠OBE=30°,
∵∠BOE=∠COF=90°,
∴△BOE≌△COF(AAS),
∴BE=CF.
【答案】
22.(1)证明:
∵DC=BC,CE⊥BD,
∴DO=BO.
∵DE//BC,
∴∠ODE=∠OBC,∠OED=∠OCB,
∴△ODE≌△OBC(AAS),
∴DE=BC,
∴四边形BCDE为平行四边形.
∵CE⊥BD,
∴四边形BCDE为菱形.
(2)①解:由(1)可知,BO=DO,
∴CE垂直平分BD,
∴BE=DE,
∵BO=DO,
∴∠BEO=∠DEO,
∵DE垂直平分AC,
∴AE=CE.
∵EG⊥AC,
∴∠AEG=∠DEO,
∴∠AEG=∠DEO=∠BEO,
∵∠AEG+∠DEO+∠BEO=180°,
∴∠CED=$\frac{180°}{3}=60°$.
②证明:如图,连接EF.

∵EG⊥AC,
∴∠EGF=90°,
∴∠EFA=90°−∠GEF,
∠AEF=180°−∠BEF
=180°−∠BEC−∠CEF
=180°−∠BEC−(∠CEG−∠GEF)
=180°−60°−60°+∠GEF
=60°+∠GEF.
∵AE=AF,
∴∠AEF=∠AFE,
∴90°−∠GEF=60°+∠GEF,
∴∠GEF=15°,
∴∠OEF=∠CEG−∠GEF=60°−15°=45°.
∵CE⊥BD,
∴∠EOF=∠EOB=90°,
∴∠OFE=90°−∠OEF=45°,
∴∠OEF=∠OFE,
∴OE=OF,
∵AE=CE,
∴∠EAC=∠ECA.
∵∠EAC+∠ECA=∠CEB=60°,
∴∠ECA=30°,
∵∠EBO=90°−∠OEB=30°,
∴∠OCF=∠OBE=30°,
∵∠BOE=∠COF=90°,
∴△BOE≌△COF(AAS),
∴BE=CF.
【知识点】
菱形的判定，垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是几何综合题，梯度设置合理，第一问考查基础的菱形判定，后两问需要结合垂直平分线性质、等腰三角形性质、全等三角形判定进行角与边的推导，能较好地考查逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6