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6. 在函数$y=\dfrac{x}{x-4}$中，自变量$x$的取值范围是________.
答案
6.$x≠4$
解析
【分析】
首先观察给定的函数表达式为分式形式，要使函数有意义，需保证分式有意义，根据分式的相关性质，分式有意义的核心条件是分母不能为0，因此只需令分母部分不等于0，解对应的不等式即可求出自变量x的取值范围。
【解析】
要使函数$y=\dfrac{x}{x-4}$有意义，需满足分母不为0，即：
$x-4≠0$
解得：$x≠4$
【答案】
$x≠4$
【知识点】
分式有意义的条件；函数自变量取值范围
【点评】
本题是基础类题目，主要考查分式性质在求函数自变量取值范围中的应用，解题关键是牢记分式分母不能为0的要求，整体计算量小，易于解答。
【难度系数】
0.9
首先观察给定的函数表达式为分式形式，要使函数有意义，需保证分式有意义，根据分式的相关性质，分式有意义的核心条件是分母不能为0，因此只需令分母部分不等于0，解对应的不等式即可求出自变量x的取值范围。
【解析】
要使函数$y=\dfrac{x}{x-4}$有意义，需满足分母不为0，即：
$x-4≠0$
解得：$x≠4$
【答案】
$x≠4$
【知识点】
分式有意义的条件；函数自变量取值范围
【点评】
本题是基础类题目，主要考查分式性质在求函数自变量取值范围中的应用，解题关键是牢记分式分母不能为0的要求，整体计算量小，易于解答。
【难度系数】
0.9
7. 对于圆的周长公式 $ C = 2π R $，其中自变量是 ______，函数是 ______。
答案
7. 圆的半径R 圆的周长C
解析
【分析】
解题时首先回忆函数与自变量的相关定义：在一个变化过程中，数值发生变化的量为变量，其中主动变化、可以自主取值的变量是自变量，随着自变量的变化而变化，且当自变量取确定值时，有唯一确定值与之对应的量是函数。首先分析圆的周长公式中的量：π是固定不变的常量，剩下R和C是变量，判断哪个是主动变化的，哪个是随之变化的即可得到答案。
【解析】
在公式$C=2π R$中，$π$是固定不变的常量，圆的半径$R$可以主动取不同的数值，属于主动变化的变量；当半径$R$取一个确定的值时，周长$C$就有唯一确定的值和它对应，$C$随$R$的变化而变化。根据自变量和函数的定义，可得自变量是圆的半径$R$，函数是圆的周长$C$。
【答案】
圆的半径R 圆的周长C
【知识点】
自变量与函数的定义、常量与变量
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点是理解函数中自变量和函数的区别，能够准确识别变化过程中的常量和变量即可正确作答。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆函数与自变量的相关定义：在一个变化过程中，数值发生变化的量为变量，其中主动变化、可以自主取值的变量是自变量，随着自变量的变化而变化，且当自变量取确定值时，有唯一确定值与之对应的量是函数。首先分析圆的周长公式中的量：π是固定不变的常量，剩下R和C是变量，判断哪个是主动变化的，哪个是随之变化的即可得到答案。
【解析】
在公式$C=2π R$中，$π$是固定不变的常量，圆的半径$R$可以主动取不同的数值，属于主动变化的变量；当半径$R$取一个确定的值时，周长$C$就有唯一确定的值和它对应，$C$随$R$的变化而变化。根据自变量和函数的定义，可得自变量是圆的半径$R$，函数是圆的周长$C$。
【答案】
圆的半径R 圆的周长C
【知识点】
自变量与函数的定义、常量与变量
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点是理解函数中自变量和函数的区别，能够准确识别变化过程中的常量和变量即可正确作答。
【难度系数】
0.9
8. 下列各式①$y=0.5x-2$；②$y=|2x|$；③$3y+5=x$；④$y^2=2x+8$中，$y$是$x$的函数的有________（填序号）。
答案
8. ①②③
解析
【分析】
判断y是否为x的函数的核心依据是函数的定义：在一个变化过程中，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数。解题时我们只需逐个验证4个式子是否满足“一个x对应唯一的y”这一条件，排除不符合的即可得到正确答案。
【解析】
我们逐个分析各个式子：
① 对于$y=0.5x-2$：任意给定一个确定的x值，代入式子都能计算出唯一的y值，符合函数定义，因此y是x的函数；
② 对于$y=|2x|$：任意给定一个确定的x值，取绝对值后得到的y值唯一，符合函数定义，因此y是x的函数；
③ 对于$3y+5=x$：将式子变形为$y=\frac{x-5}{3}$，任意给定一个确定的x值，都能算出唯一的y值，符合函数定义，因此y是x的函数；
④ 对于$y^2=2x+8$：例如当x=0时，$y^2=8$，此时$y=2\sqrt{2}$或$y=-2\sqrt{2}$，存在一个x对应两个y值的情况，不符合函数定义，因此y不是x的函数。
综上，y是x的函数的有①②③。
【答案】
①②③
【知识点】
函数的定义
【点评】
本题是函数概念的基础考查题，解题的关键是抓住函数定义中“x的每一个确定值对应唯一y值”的核心要求，解题时要注意平方类运算会产生正负两个结果，容易不符合唯一性要求导致判断错误。
【难度系数】
0.8
判断y是否为x的函数的核心依据是函数的定义：在一个变化过程中，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数。解题时我们只需逐个验证4个式子是否满足“一个x对应唯一的y”这一条件，排除不符合的即可得到正确答案。
【解析】
我们逐个分析各个式子：
① 对于$y=0.5x-2$：任意给定一个确定的x值，代入式子都能计算出唯一的y值，符合函数定义，因此y是x的函数；
② 对于$y=|2x|$：任意给定一个确定的x值，取绝对值后得到的y值唯一，符合函数定义，因此y是x的函数；
③ 对于$3y+5=x$：将式子变形为$y=\frac{x-5}{3}$，任意给定一个确定的x值，都能算出唯一的y值，符合函数定义，因此y是x的函数；
④ 对于$y^2=2x+8$：例如当x=0时，$y^2=8$，此时$y=2\sqrt{2}$或$y=-2\sqrt{2}$，存在一个x对应两个y值的情况，不符合函数定义，因此y不是x的函数。
综上，y是x的函数的有①②③。
【答案】
①②③
【知识点】
函数的定义
【点评】
本题是函数概念的基础考查题，解题的关键是抓住函数定义中“x的每一个确定值对应唯一y值”的核心要求，解题时要注意平方类运算会产生正负两个结果，容易不符合唯一性要求导致判断错误。
【难度系数】
0.8
9. y与x之间的函数解析式是$y=\frac{1}{2}x^2 -1$，则当$x=-2$时的函数值为________.
答案
9. 1
解析
【分析】
本题要求给定自变量x的值时对应的函数值，解题思路是直接将x=-2代入给出的函数解析式，按照有理数混合运算的顺序（先算乘方，再算乘法，最后算减法）计算即可，计算时要注意负数的平方为正数，避免出现符号错误。
【解析】
将$x=-2$代入函数解析式$y=\frac{1}{2}x^2 -1$中：
1. 先计算乘方项：$(-2)^2=4$
2. 再计算乘法项：$\frac{1}{2} × 4=2$
3. 最后计算减法：$2-1=1$
即可得到x=-2时对应的函数值。
【答案】
1
【知识点】
函数值的求解；有理数混合运算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查代入法求函数值的方法，只要掌握函数值的求解逻辑，注意负数乘方的符号规则，认真运算即可得分。
【难度系数】
0.9
本题要求给定自变量x的值时对应的函数值，解题思路是直接将x=-2代入给出的函数解析式，按照有理数混合运算的顺序（先算乘方，再算乘法，最后算减法）计算即可，计算时要注意负数的平方为正数，避免出现符号错误。
【解析】
将$x=-2$代入函数解析式$y=\frac{1}{2}x^2 -1$中：
1. 先计算乘方项：$(-2)^2=4$
2. 再计算乘法项：$\frac{1}{2} × 4=2$
3. 最后计算减法：$2-1=1$
即可得到x=-2时对应的函数值。
【答案】
1
【知识点】
函数值的求解；有理数混合运算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查代入法求函数值的方法，只要掌握函数值的求解逻辑，注意负数乘方的符号规则，认真运算即可得分。
【难度系数】
0.9
10. BMI 是身体质量指数,健康的身体质量指数应该保持在 18.5~23.9 之间,计算公式为 $\mathrm{BMI}=\dfrac{w}{h^2}$ [ $w$ 表示体重(单位: kg),$h$ 表示身高(单位: m)]. 航航的身高是 160 cm,体重是 48 kg,那么他的身体质量指数________(填“在”或“不在”)健康范围内.
答案
10. 在
解析
【分析】
解题时首先要注意单位统一，BMI计算公式中身高的单位是m，题目给出的身高是160cm，需要先换算成以m为单位的数值；再将体重和换算后的身高代入BMI计算公式，算出航航的BMI数值；最后将计算结果和健康BMI范围18.5~23.9对比，判断是否在范围内即可。
【解析】
第一步：统一单位，将身高换算为m：
$160\mathrm{cm}=1.6\mathrm{m}$
第二步：代入BMI公式计算：
已知$w=48\mathrm{kg}$，$h=1.6\mathrm{m}$，则
$\mathrm{BMI}=\dfrac{w}{h^2}=\dfrac{48}{1.6^2}=\dfrac{48}{2.56}=18.75$
第三步：对比健康范围判断：
因为$18.5＜18.75＜23.9$，所以航航的身体质量指数在健康范围内。
【答案】
在
【知识点】
代数式求值，单位换算，有理数大小比较
【点评】
本题结合生活中的健康指数计算场景，考查公式代入求值的能力，解题的关键是注意单位的统一，避免因单位不符导致计算错误，整体计算量小，属于基础题。
【难度系数】
0.9
解题时首先要注意单位统一，BMI计算公式中身高的单位是m，题目给出的身高是160cm，需要先换算成以m为单位的数值；再将体重和换算后的身高代入BMI计算公式，算出航航的BMI数值；最后将计算结果和健康BMI范围18.5~23.9对比，判断是否在范围内即可。
【解析】
第一步：统一单位，将身高换算为m：
$160\mathrm{cm}=1.6\mathrm{m}$
第二步：代入BMI公式计算：
已知$w=48\mathrm{kg}$，$h=1.6\mathrm{m}$，则
$\mathrm{BMI}=\dfrac{w}{h^2}=\dfrac{48}{1.6^2}=\dfrac{48}{2.56}=18.75$
第三步：对比健康范围判断：
因为$18.5＜18.75＜23.9$，所以航航的身体质量指数在健康范围内。
【答案】
在
【知识点】
代数式求值，单位换算，有理数大小比较
【点评】
本题结合生活中的健康指数计算场景，考查公式代入求值的能力，解题的关键是注意单位的统一，避免因单位不符导致计算错误，整体计算量小，属于基础题。
【难度系数】
0.9
三、解答题
11. 将若干张40 cm长的长方形纸,按如图22-11所示的方法黏合成纸条,黏合部分的宽为2 cm.
图22-11
(1)将表格补充完整:
| 纸的张数 | 1 | 2 | 3 | 4 | … | 10 | … |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 纸条的长度 | 40 |
(2)设x张纸黏合后的纸条长为y cm.
①其中,自变量是
②小明需要黏合长为2 050 cm的纸条,通过计算说明至少需要多少张这样的长方形纸.
11. 将若干张40 cm长的长方形纸,按如图22-11所示的方法黏合成纸条,黏合部分的宽为2 cm.
图22-11
(1)将表格补充完整:
| 纸的张数 | 1 | 2 | 3 | 4 | … | 10 | … |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 纸条的长度 | 40 |
78
| 116 | 154 | … | 382
| … |(2)设x张纸黏合后的纸条长为y cm.
①其中,自变量是
纸的张数x
,函数是纸条的长度y
;直接写出y与x之间的解析式:$y=38x+2$
;将50张纸黏合后的纸条长为1902
cm.②小明需要黏合长为2 050 cm的纸条,通过计算说明至少需要多少张这样的长方形纸.
答案
11.(1)78 382
(2)①纸的张数x 纸条的长度y $y=38x+2$ 1902
②由$y=2\ 050$,得$38x+2=2\ 050$.解得$x≈53.9$.答:至少需要54张这样的纸.
(2)①纸的张数x 纸条的长度y $y=38x+2$ 1902
②由$y=2\ 050$,得$38x+2=2\ 050$.解得$x≈53.9$.答:至少需要54张这样的纸.
解析
【分析】
解题时先明确多张纸黏合的重叠规律：每2张纸黏合有1处宽2cm的重叠，x张纸黏合就有(x-1)处重叠，总长度=所有纸的总长度减去重叠部分的总长度。
(1) 根据规律计算对应纸张数的纸条长度：2张纸重叠1处，用总长度减去重叠长度即可得结果；10张纸重叠9处，代入规律计算即可。
(2) ①根据自变量和函数的定义判断对应量，再把重叠规律整理为y与x的解析式，代入x=50即可算出对应长度；②把y=2050代入解析式解方程，注意纸张数必须为正整数，结果需向上取整。
【解析】
(1) 2张纸黏合时，重叠部分共1处，纸条长度为：$40×2 - 2×1=78\ \mathrm{cm}$；
10张纸黏合时，重叠部分共$10-1=9$处，纸条长度为：$40×10 - 2×9=382\ \mathrm{cm}$。
(2) ①主动变化的量是纸的张数x，纸条的长度y随x的变化而变化，因此自变量是纸的张数x，函数是纸条的长度y；
总长度$y=40x - 2(x-1)$，化简得解析式：$y=38x+2$；
当$x=50$时，代入解析式得$y=38×50+2=1902\ \mathrm{cm}$。
②当纸条长为2050cm时，将$y=2050$代入解析式得：
$\begin{aligned}38x+2&=2050\\38x&=2048\\x&\approx53.9\end{aligned}$
因为纸张张数必须为正整数，因此x取最小正整数54。
答：至少需要54张这样的长方形纸。
【答案】
(1) $\boxed{78}$；$\boxed{382}$
(2) ① $\boxed{纸的张数x}$；$\boxed{纸条的长度y}$；$\boxed{y=38x+2}$；$\boxed{1902}$
② 至少需要$\boxed{54}$张这样的长方形纸。
【知识点】
一次函数的应用，函数的相关概念，一元一次方程的应用
【点评】
本题结合纸张黏合的生活情景，考查找规律列函数关系式的能力，以及利用函数和方程解决实际问题的能力，解题时要注意实际问题中自变量的取值需要符合现实要求，本题中纸张数必须为正整数，因此计算结果要向上取整。
【难度系数】
0.7
解题时先明确多张纸黏合的重叠规律：每2张纸黏合有1处宽2cm的重叠，x张纸黏合就有(x-1)处重叠，总长度=所有纸的总长度减去重叠部分的总长度。
(1) 根据规律计算对应纸张数的纸条长度：2张纸重叠1处，用总长度减去重叠长度即可得结果；10张纸重叠9处，代入规律计算即可。
(2) ①根据自变量和函数的定义判断对应量，再把重叠规律整理为y与x的解析式，代入x=50即可算出对应长度；②把y=2050代入解析式解方程，注意纸张数必须为正整数，结果需向上取整。
【解析】
(1) 2张纸黏合时，重叠部分共1处，纸条长度为：$40×2 - 2×1=78\ \mathrm{cm}$；
10张纸黏合时，重叠部分共$10-1=9$处，纸条长度为：$40×10 - 2×9=382\ \mathrm{cm}$。
(2) ①主动变化的量是纸的张数x，纸条的长度y随x的变化而变化，因此自变量是纸的张数x，函数是纸条的长度y；
总长度$y=40x - 2(x-1)$，化简得解析式：$y=38x+2$；
当$x=50$时，代入解析式得$y=38×50+2=1902\ \mathrm{cm}$。
②当纸条长为2050cm时，将$y=2050$代入解析式得：
$\begin{aligned}38x+2&=2050\\38x&=2048\\x&\approx53.9\end{aligned}$
因为纸张张数必须为正整数，因此x取最小正整数54。
答：至少需要54张这样的长方形纸。
【答案】
(1) $\boxed{78}$；$\boxed{382}$
(2) ① $\boxed{纸的张数x}$；$\boxed{纸条的长度y}$；$\boxed{y=38x+2}$；$\boxed{1902}$
② 至少需要$\boxed{54}$张这样的长方形纸。
【知识点】
一次函数的应用，函数的相关概念，一元一次方程的应用
【点评】
本题结合纸张黏合的生活情景，考查找规律列函数关系式的能力，以及利用函数和方程解决实际问题的能力，解题时要注意实际问题中自变量的取值需要符合现实要求，本题中纸张数必须为正整数，因此计算结果要向上取整。
【难度系数】
0.7
12. 已知一个长方形的周长为 12, 设这个长方形的长和宽分别为 $ x, y $.
(1) 写出 $ y $ 关于 $ x $ 的函数解析式, 并指出自变量 $ x $ 的取值范围;
(2) 在如图 22-12 的平面直角坐标系中, 画出(1)中函数的图象.
图22-12
(1) 写出 $ y $ 关于 $ x $ 的函数解析式, 并指出自变量 $ x $ 的取值范围;
(2) 在如图 22-12 的平面直角坐标系中, 画出(1)中函数的图象.
图22-12
答案
12.(1)由题意,得$2(x+y)=12$. $\therefore\ \ y=-x+6$. $\therefore\ \ 6-x＞0$. $\therefore\ \ x＜6$. $\therefore\ \ 0＜x＜6$. $\therefore\ \ y$关于$x$的函数解析式是$y=-x+6$,$x$的取值范围是$0＜x＜6$.
(2)当$x=1$时,$y=5$;当$x=4$时,$y=2$. $y=-x+6(0＜x＜6)$的图象如图所示:
解析
【分析】
解决第一问首先利用长方形周长公式建立长x和宽y的等量关系，整理得到y关于x的函数解析式；再结合长方形长、宽均为正数的实际意义，列不等式求出自变量x的取值范围。第二问画函数图象时，首先明确该一次函数的图象本是直线，但受x取值范围限制，图象为不含端点的线段，选取2个在x取值范围内的点，计算对应y值，描点连线后，在两端端点处画空心圆表示不包含端点即可。
【解析】
(1) 根据长方形周长公式：$\mathrm{周长}=2×(\mathrm{长}+\mathrm{宽})$，已知周长为12，代入长x、宽y得：
$2(x+y)=12$
整理得$y=-x+6$。
由于长方形的长和宽都为正数，因此$x＞0$，且$y=-x+6＞0$，解得$x＜6$，即自变量x的取值范围是$0＜x＜6$。
(2) 在$0＜x＜6$的范围内取两个点计算坐标：
当$x=1$时，$y=-1+6=5$，得点$(1,5)$；
当$x=4$时，$y=-4+6=2$，得点$(4,2)$。
在坐标系中描出上述两点，连接两点，再分别在$(0,6)$和$(6,0)$处画空心圆（表示这两个点不在图象上），即可得到所求函数图象。
【答案】
(1) $y$关于$x$的函数解析式是$y=-x+6$，$x$的取值范围是$0＜x＜6$；
(2) 图象如下：
【知识点】
长方形周长计算，一次函数解析式，函数图象绘制
【点评】
本题结合几何周长问题与函数知识，既考查了根据实际等量关系列函数解析式的能力，也考查了结合实际意义确定自变量取值范围、绘制函数图象的能力，解题时要注意实际问题的函数图象通常不是完整直线，需根据取值范围对图象做取舍，明确标注端点是否包含。
【难度系数】
0.8
解决第一问首先利用长方形周长公式建立长x和宽y的等量关系，整理得到y关于x的函数解析式；再结合长方形长、宽均为正数的实际意义，列不等式求出自变量x的取值范围。第二问画函数图象时，首先明确该一次函数的图象本是直线，但受x取值范围限制，图象为不含端点的线段，选取2个在x取值范围内的点，计算对应y值，描点连线后，在两端端点处画空心圆表示不包含端点即可。
【解析】
(1) 根据长方形周长公式：$\mathrm{周长}=2×(\mathrm{长}+\mathrm{宽})$，已知周长为12，代入长x、宽y得：
$2(x+y)=12$
整理得$y=-x+6$。
由于长方形的长和宽都为正数，因此$x＞0$，且$y=-x+6＞0$，解得$x＜6$，即自变量x的取值范围是$0＜x＜6$。
(2) 在$0＜x＜6$的范围内取两个点计算坐标：
当$x=1$时，$y=-1+6=5$，得点$(1,5)$；
当$x=4$时，$y=-4+6=2$，得点$(4,2)$。
在坐标系中描出上述两点，连接两点，再分别在$(0,6)$和$(6,0)$处画空心圆（表示这两个点不在图象上），即可得到所求函数图象。
【答案】
(1) $y$关于$x$的函数解析式是$y=-x+6$，$x$的取值范围是$0＜x＜6$；
(2) 图象如下：
【知识点】
长方形周长计算，一次函数解析式，函数图象绘制
【点评】
本题结合几何周长问题与函数知识，既考查了根据实际等量关系列函数解析式的能力，也考查了结合实际意义确定自变量取值范围、绘制函数图象的能力，解题时要注意实际问题的函数图象通常不是完整直线，需根据取值范围对图象做取舍，明确标注端点是否包含。
【难度系数】
0.8
