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10.计算：$(\sqrt{3}-\sqrt{2})^{2024}(\sqrt{3}+\sqrt{2})^{2025}=$
√3+√2
.答案
10.√3+√2
解析
【分析】
观察算式可知，两个幂的底数$\sqrt{3}-\sqrt{2}$与$\sqrt{3}+\sqrt{2}$符合平方差公式的结构，二者乘积为1，且两个幂的指数仅相差1。解题时先将指数为2025的幂拆分为$(\sqrt{3}+\sqrt{2})^{2024} × (\sqrt{3}+\sqrt{2})$，再逆用积的乘方运算性质，将指数相同的两个幂合并计算，即可快速简化得到结果，无需计算高次幂。
【解析】
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(\sqrt{3}-\sqrt{2})^{2024} × (\sqrt{3}+\sqrt{2})^{2024} × (\sqrt{3}+\sqrt{2})\\&=[(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2})]^{2024} × (\sqrt{3}+\sqrt{2})\\&=[(\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2]^{2024} × (\sqrt{3}+\sqrt{2})\\&=(3-2)^{2024} × (\sqrt{3}+\sqrt{2})\\&=1^{2024} × (\sqrt{3}+\sqrt{2})\\&=\sqrt{3}+\sqrt{2}\end{aligned}$
【答案】
$\sqrt{3}+\sqrt{2}$
【知识点】
积的乘方逆运算、平方差公式、二次根式运算
【点评】
本题属于二次根式简便运算的常见题型，解题核心是观察底数的运算特征，通过拆分指数、逆用幂的运算性质简化计算，规避了直接计算高次幂的复杂过程，考察了对运算公式的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
观察算式可知，两个幂的底数$\sqrt{3}-\sqrt{2}$与$\sqrt{3}+\sqrt{2}$符合平方差公式的结构，二者乘积为1，且两个幂的指数仅相差1。解题时先将指数为2025的幂拆分为$(\sqrt{3}+\sqrt{2})^{2024} × (\sqrt{3}+\sqrt{2})$，再逆用积的乘方运算性质，将指数相同的两个幂合并计算，即可快速简化得到结果，无需计算高次幂。
【解析】
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(\sqrt{3}-\sqrt{2})^{2024} × (\sqrt{3}+\sqrt{2})^{2024} × (\sqrt{3}+\sqrt{2})\\&=[(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2})]^{2024} × (\sqrt{3}+\sqrt{2})\\&=[(\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2]^{2024} × (\sqrt{3}+\sqrt{2})\\&=(3-2)^{2024} × (\sqrt{3}+\sqrt{2})\\&=1^{2024} × (\sqrt{3}+\sqrt{2})\\&=\sqrt{3}+\sqrt{2}\end{aligned}$
【答案】
$\sqrt{3}+\sqrt{2}$
【知识点】
积的乘方逆运算、平方差公式、二次根式运算
【点评】
本题属于二次根式简便运算的常见题型，解题核心是观察底数的运算特征，通过拆分指数、逆用幂的运算性质简化计算，规避了直接计算高次幂的复杂过程，考察了对运算公式的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
11. 计算：
(1)$\sqrt{48} ÷ \sqrt{3} + \sqrt{\dfrac{1}{2}} × \sqrt{12} - |2 - \sqrt{6}|$；
(2)$(\sqrt{24} + \sqrt{50}) ÷ \sqrt{2} - 6\sqrt{\dfrac{1}{3}}$。
(1)$\sqrt{48} ÷ \sqrt{3} + \sqrt{\dfrac{1}{2}} × \sqrt{12} - |2 - \sqrt{6}|$；
(2)$(\sqrt{24} + \sqrt{50}) ÷ \sqrt{2} - 6\sqrt{\dfrac{1}{3}}$。
答案
解:(1)$\sqrt{48} ÷ \sqrt{3}+\sqrt{\frac{1}{2}} × \sqrt{12}-|2-\sqrt{6}|=\sqrt{\frac{48}{3}}+\sqrt{\frac{1}{2} × 12}-(\sqrt{6}-2)=\sqrt{16}+\sqrt{6}-\sqrt{6}+2=4+2=6.$
(2)$(\sqrt{24}+\sqrt{50}) ÷ \sqrt{2}-6 \sqrt{\frac{1}{3}}=(2 \sqrt{6}+5 \sqrt{2}) ÷ \sqrt{2}-2 \sqrt{3}=2 \sqrt{3}+5-2 \sqrt{3}=5.$
(2)$(\sqrt{24}+\sqrt{50}) ÷ \sqrt{2}-6 \sqrt{\frac{1}{3}}=(2 \sqrt{6}+5 \sqrt{2}) ÷ \sqrt{2}-2 \sqrt{3}=2 \sqrt{3}+5-2 \sqrt{3}=5.$
解析
【分析】
这两道题属于二次根式的混合运算，解题遵循先乘除后加减的运算顺序，有绝对值优先化简绝对值。具体思路：①二次根式乘除运算可直接利用法则：$\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{\frac{a}{b}}$（$a≥0，b＞0$）、$\sqrt{a}×\sqrt{b}=\sqrt{ab}$（$a≥0，b≥0$）计算，也可先化简为最简二次根式再计算；②化简绝对值时，先判断绝对值内式子的正负，因为$\sqrt{6}≈2.45＞2$，所以$|2-\sqrt{6}|=\sqrt{6}-2$；③最后合并同类二次根式得到最终结果。
【解析】
(1) 按运算顺序先算乘除、再化简绝对值，最后合并：
$\begin{aligned}&\sqrt{48} ÷ \sqrt{3} + \sqrt{\dfrac{1}{2}} × \sqrt{12} - |2 - \sqrt{6}|\\=&\sqrt{\dfrac{48}{3}} + \sqrt{\dfrac{1}{2} × 12} - (\sqrt{6} - 2)\\=&\sqrt{16} + \sqrt{6} - \sqrt{6} + 2\\=&4 + 2\\=&6\end{aligned}$
(2) 先化简括号内的二次根式，再计算除法，最后合并同类二次根式：
$\begin{aligned}&(\sqrt{24} + \sqrt{50}) ÷ \sqrt{2} - 6\sqrt{\dfrac{1}{3}}\\=&(2\sqrt{6} + 5\sqrt{2}) ÷ \sqrt{2} - 2\sqrt{3}\\=&2\sqrt{6}÷\sqrt{2} + 5\sqrt{2}÷\sqrt{2} - 2\sqrt{3}\\=&2\sqrt{3} + 5 - 2\sqrt{3}\\=&5\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boxed{6}$；(2) $\boxed{5}$
【知识点】
二次根式乘除运算；二次根式加减运算；绝对值化简
【点评】
本题重点考查二次根式的混合运算，解题时要牢记二次根式的运算法则，注意运算顺序，去绝对值时要先判断符号，合并同类二次根式时要区分是否为同类二次根式，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.8
这两道题属于二次根式的混合运算，解题遵循先乘除后加减的运算顺序，有绝对值优先化简绝对值。具体思路：①二次根式乘除运算可直接利用法则：$\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{\frac{a}{b}}$（$a≥0，b＞0$）、$\sqrt{a}×\sqrt{b}=\sqrt{ab}$（$a≥0，b≥0$）计算，也可先化简为最简二次根式再计算；②化简绝对值时，先判断绝对值内式子的正负，因为$\sqrt{6}≈2.45＞2$，所以$|2-\sqrt{6}|=\sqrt{6}-2$；③最后合并同类二次根式得到最终结果。
【解析】
(1) 按运算顺序先算乘除、再化简绝对值，最后合并：
$\begin{aligned}&\sqrt{48} ÷ \sqrt{3} + \sqrt{\dfrac{1}{2}} × \sqrt{12} - |2 - \sqrt{6}|\\=&\sqrt{\dfrac{48}{3}} + \sqrt{\dfrac{1}{2} × 12} - (\sqrt{6} - 2)\\=&\sqrt{16} + \sqrt{6} - \sqrt{6} + 2\\=&4 + 2\\=&6\end{aligned}$
(2) 先化简括号内的二次根式，再计算除法，最后合并同类二次根式：
$\begin{aligned}&(\sqrt{24} + \sqrt{50}) ÷ \sqrt{2} - 6\sqrt{\dfrac{1}{3}}\\=&(2\sqrt{6} + 5\sqrt{2}) ÷ \sqrt{2} - 2\sqrt{3}\\=&2\sqrt{6}÷\sqrt{2} + 5\sqrt{2}÷\sqrt{2} - 2\sqrt{3}\\=&2\sqrt{3} + 5 - 2\sqrt{3}\\=&5\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boxed{6}$；(2) $\boxed{5}$
【知识点】
二次根式乘除运算；二次根式加减运算；绝对值化简
【点评】
本题重点考查二次根式的混合运算，解题时要牢记二次根式的运算法则，注意运算顺序，去绝对值时要先判断符号，合并同类二次根式时要区分是否为同类二次根式，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.8
12. 已知 $ x = \frac{1}{3 - 2\sqrt{2}}, y = \frac{1}{3 + 2\sqrt{2}} $，求下列各式的值：
(1) $ x^2y - xy^2 $；
(2) $ x^2 - xy + y^2 $。
(1) $ x^2y - xy^2 $；
(2) $ x^2 - xy + y^2 $。
答案
解:$\because x=\frac{1}{3-2 \sqrt{2}}=\frac{3+2 \sqrt{2}}{(3-2 \sqrt{2})(3+2 \sqrt{2})}=3+2 \sqrt{2},$
$y=\frac{1}{3+2 \sqrt{2}}=\frac{3-2 \sqrt{2}}{(3+2 \sqrt{2})(3-2 \sqrt{2})}=3-2 \sqrt{2},$
$\therefore xy=\frac{1}{3-2 \sqrt{2}} · \frac{1}{3+2 \sqrt{2}}=1, x+y=3+2 \sqrt{2}+3-2 \sqrt{2}=6.$
(1)$x^2 y-x y^2=x y(x-y)=1 ×[(3+2 \sqrt{2})-(3-2 \sqrt{2})]=4 \sqrt{2}.$
(2)$x^2-x y+y^2=(x+y)^2-3 x y=6^2-3 × 1=36-3=33.$
$y=\frac{1}{3+2 \sqrt{2}}=\frac{3-2 \sqrt{2}}{(3+2 \sqrt{2})(3-2 \sqrt{2})}=3-2 \sqrt{2},$
$\therefore xy=\frac{1}{3-2 \sqrt{2}} · \frac{1}{3+2 \sqrt{2}}=1, x+y=3+2 \sqrt{2}+3-2 \sqrt{2}=6.$
(1)$x^2 y-x y^2=x y(x-y)=1 ×[(3+2 \sqrt{2})-(3-2 \sqrt{2})]=4 \sqrt{2}.$
(2)$x^2-x y+y^2=(x+y)^2-3 x y=6^2-3 × 1=36-3=33.$
解析
【分析】
观察到x、y的分母均含有二次根式，首先需要通过分母有理化简化x、y的取值；再看待求的两个代数式，均可通过因式分解、完全平方公式变形为含x+y、xy、x-y的形式，因此先计算x+y、xy、x-y的值，再整体代入变形后的式子计算即可，能避免直接计算高次幂的复杂运算。
【解析】
首先对x、y进行分母有理化：
$x=\frac{1}{3-2\sqrt{2}}=\frac{3+2\sqrt{2}}{(3-2\sqrt{2})(3+2\sqrt{2})}=3+2\sqrt{2}$
$y=\frac{1}{3+2\sqrt{2}}=\frac{3-2\sqrt{2}}{(3+2\sqrt{2})(3-2\sqrt{2})}=3-2\sqrt{2}$
计算x+y、xy的值：
$xy=\frac{1}{3-2\sqrt{2}} × \frac{1}{3+2\sqrt{2}}=1$
$x+y=3+2\sqrt{2}+3-2\sqrt{2}=6$
(1) 对$x^2y - xy^2$提取公因式变形：
$x^2y - xy^2 = xy(x-y)$
代入数值计算：$1 ×[(3+2\sqrt{2})-(3-2\sqrt{2})]=4\sqrt{2}$
(2) 对$x^2 - xy + y^2$用完全平方公式变形：
$x^2 - xy + y^2=(x+y)^2 - 3xy$
代入数值计算：$6^2 - 3×1=36-3=33$
【答案】
(1) $4\sqrt{2}$；(2) $33$
【知识点】
分母有理化，因式分解的应用，完全平方公式
【点评】
本题属于二次根式化简求值的常见题型，解题核心是先对含根式的分式进行化简，再通过代数式变形将待求式转化为可整体代入的形式，既降低了计算量，也减少了运算出错的概率，重点考查整体代入的数学思想。
【难度系数】
0.7
观察到x、y的分母均含有二次根式，首先需要通过分母有理化简化x、y的取值；再看待求的两个代数式，均可通过因式分解、完全平方公式变形为含x+y、xy、x-y的形式，因此先计算x+y、xy、x-y的值，再整体代入变形后的式子计算即可，能避免直接计算高次幂的复杂运算。
【解析】
首先对x、y进行分母有理化：
$x=\frac{1}{3-2\sqrt{2}}=\frac{3+2\sqrt{2}}{(3-2\sqrt{2})(3+2\sqrt{2})}=3+2\sqrt{2}$
$y=\frac{1}{3+2\sqrt{2}}=\frac{3-2\sqrt{2}}{(3+2\sqrt{2})(3-2\sqrt{2})}=3-2\sqrt{2}$
计算x+y、xy的值：
$xy=\frac{1}{3-2\sqrt{2}} × \frac{1}{3+2\sqrt{2}}=1$
$x+y=3+2\sqrt{2}+3-2\sqrt{2}=6$
(1) 对$x^2y - xy^2$提取公因式变形：
$x^2y - xy^2 = xy(x-y)$
代入数值计算：$1 ×[(3+2\sqrt{2})-(3-2\sqrt{2})]=4\sqrt{2}$
(2) 对$x^2 - xy + y^2$用完全平方公式变形：
$x^2 - xy + y^2=(x+y)^2 - 3xy$
代入数值计算：$6^2 - 3×1=36-3=33$
【答案】
(1) $4\sqrt{2}$；(2) $33$
【知识点】
分母有理化，因式分解的应用，完全平方公式
【点评】
本题属于二次根式化简求值的常见题型，解题核心是先对含根式的分式进行化简，再通过代数式变形将待求式转化为可整体代入的形式，既降低了计算量，也减少了运算出错的概率，重点考查整体代入的数学思想。
【难度系数】
0.7
