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13. 在$\sqrt{27},\sqrt{\dfrac{1}{12}},\sqrt{1\dfrac{1}{2}}$中，与$\sqrt{3}$可以合并的有 （
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
C
）A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
答案
13.C
解析
【分析】
要判断哪些二次根式能与$\sqrt{3}$合并，首先要明确：只有化简后被开方数相同的二次根式（同类二次根式）才可以合并。解题思路为：先将题目给出的三个二次根式全部化为最简二次根式，再对比化简后的被开方数是否为3，是则可以和$\sqrt{3}$合并，反之则不能。
【解析】
逐个对三个二次根式进行化简：
1. 化简$\sqrt{27}$：
$\sqrt{27}=\sqrt{9×3}=\sqrt{9}×\sqrt{3}=3\sqrt{3}$，化简后被开方数为3，可与$\sqrt{3}$合并。
2. 化简$\sqrt{\dfrac{1}{12}}$：
$\sqrt{\dfrac{1}{12}}=\sqrt{\dfrac{3}{12×3}}=\sqrt{\dfrac{3}{36}}=\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{36}}=\dfrac{\sqrt{3}}{6}$，化简后被开方数为3，可与$\sqrt{3}$合并。
3. 化简$\sqrt{1\dfrac{1}{2}}$：
先将带分数转化为假分数：$1\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{2}$，则$\sqrt{\dfrac{3}{2}}=\sqrt{\dfrac{6}{4}}=\dfrac{\sqrt{6}}{\sqrt{4}}=\dfrac{\sqrt{6}}{2}$，化简后被开方数为6，不可与$\sqrt{3}$合并。
综上，能与$\sqrt{3}$合并的共有2个。
【答案】
C
【知识点】
最简二次根式化简、同类二次根式
【点评】
本题考察同类二次根式的判断，易错点是直接根据原式根号内的数字判断是否为同类二次根式，解题时必须先将所有二次根式化为最简形式，再对比被开方数是否一致。
【难度系数】
0.7
要判断哪些二次根式能与$\sqrt{3}$合并，首先要明确：只有化简后被开方数相同的二次根式（同类二次根式）才可以合并。解题思路为：先将题目给出的三个二次根式全部化为最简二次根式，再对比化简后的被开方数是否为3，是则可以和$\sqrt{3}$合并，反之则不能。
【解析】
逐个对三个二次根式进行化简：
1. 化简$\sqrt{27}$：
$\sqrt{27}=\sqrt{9×3}=\sqrt{9}×\sqrt{3}=3\sqrt{3}$，化简后被开方数为3，可与$\sqrt{3}$合并。
2. 化简$\sqrt{\dfrac{1}{12}}$：
$\sqrt{\dfrac{1}{12}}=\sqrt{\dfrac{3}{12×3}}=\sqrt{\dfrac{3}{36}}=\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{36}}=\dfrac{\sqrt{3}}{6}$，化简后被开方数为3，可与$\sqrt{3}$合并。
3. 化简$\sqrt{1\dfrac{1}{2}}$：
先将带分数转化为假分数：$1\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{2}$，则$\sqrt{\dfrac{3}{2}}=\sqrt{\dfrac{6}{4}}=\dfrac{\sqrt{6}}{\sqrt{4}}=\dfrac{\sqrt{6}}{2}$，化简后被开方数为6，不可与$\sqrt{3}$合并。
综上，能与$\sqrt{3}$合并的共有2个。
【答案】
C
【知识点】
最简二次根式化简、同类二次根式
【点评】
本题考察同类二次根式的判断，易错点是直接根据原式根号内的数字判断是否为同类二次根式，解题时必须先将所有二次根式化为最简形式，再对比被开方数是否一致。
【难度系数】
0.7
14.如图所示,将一个半径为$3\sqrt{2}$的铁丝圆环展开,重新围成一个矩形.若矩形的长为$\sqrt{8}π$,则矩形的宽是 （
A.$\sqrt{3}π$
B.$\sqrt{2}π$
C.$2\sqrt{3}π$
D.$3\sqrt{2}π$
B
）A.$\sqrt{3}π$
B.$\sqrt{2}π$
C.$2\sqrt{3}π$
D.$3\sqrt{2}π$
答案
14.B
解析
【分析】
解决这道题的核心是抓住“铁丝变形前后总长度不变”这一关键点，即铁丝圆环的周长等于后续围成矩形的周长。解题时第一步先根据圆的周长公式计算出铁丝的总长度，第二步再结合矩形周长公式，代入已知的长，就可以求出矩形的宽。
【解析】
首先计算铁丝的总长度，也就是圆的周长：
圆的周长公式为$C=2π r$，已知圆的半径$r=3\sqrt{2}$，代入得：
$C=2π×3\sqrt{2}=6\sqrt{2}π$
该长度等于矩形的周长，矩形周长公式为$C=2×(长+宽)$，已知矩形的长为$\sqrt{8}π$，先化简长：$\sqrt{8}π=2\sqrt{2}π$
将周长和长代入矩形周长公式：
$6\sqrt{2}π=2×(2\sqrt{2}π + 宽)$
等式两边同时除以2得：$3\sqrt{2}π=2\sqrt{2}π + 宽$
解得宽$=3\sqrt{2}π - 2\sqrt{2}π=\sqrt{2}π$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
圆的周长计算、矩形周长计算、二次根式运算
【点评】
本题属于等长变形类基础题，解题关键是明确变形前后铁丝总长度不变，结合常见几何图形周长公式和简单的二次根式运算即可求解，考查了对基础公式的应用能力。
【难度系数】
0.8
解决这道题的核心是抓住“铁丝变形前后总长度不变”这一关键点，即铁丝圆环的周长等于后续围成矩形的周长。解题时第一步先根据圆的周长公式计算出铁丝的总长度，第二步再结合矩形周长公式，代入已知的长，就可以求出矩形的宽。
【解析】
首先计算铁丝的总长度，也就是圆的周长：
圆的周长公式为$C=2π r$，已知圆的半径$r=3\sqrt{2}$，代入得：
$C=2π×3\sqrt{2}=6\sqrt{2}π$
该长度等于矩形的周长，矩形周长公式为$C=2×(长+宽)$，已知矩形的长为$\sqrt{8}π$，先化简长：$\sqrt{8}π=2\sqrt{2}π$
将周长和长代入矩形周长公式：
$6\sqrt{2}π=2×(2\sqrt{2}π + 宽)$
等式两边同时除以2得：$3\sqrt{2}π=2\sqrt{2}π + 宽$
解得宽$=3\sqrt{2}π - 2\sqrt{2}π=\sqrt{2}π$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
圆的周长计算、矩形周长计算、二次根式运算
【点评】
本题属于等长变形类基础题，解题关键是明确变形前后铁丝总长度不变，结合常见几何图形周长公式和简单的二次根式运算即可求解，考查了对基础公式的应用能力。
【难度系数】
0.8
15.(数学文化)我国南宋著名数学家秦九韶和古希腊几何学家海伦都曾提出利用三角形的三边求面积的公式.如果一个三角形的三边长分别为$a,b,c$,记$p=\frac{a+b+c}{2}$,那么三角形的面积为$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$.若一个三角形的三边长分别为$3,3,4$,其面积$S$介于两个连续整数$n$和$n+1$之间,则$n$的值为$\underline{\hspace{3em}}$.
答案
15.4
解析
【分析】
解题时首先要读懂题目给出的海伦-秦九韶面积公式，明确公式中各字母的含义。第一步先根据三角形的三边长计算半周长$p$，第二步将$p$和三边长代入面积公式求出面积$S$的表达式，第三步对得到的二次根式进行大小估算，确定其介于哪两个连续整数之间，较小的整数即为所求的$n$。
【解析】
1. 计算半周长$p$：
已知三角形三边长分别为$3,3,4$，代入半周长公式得：
$p=\frac{3+3+4}{2}=5$
2. 代入面积公式计算$S$：
将$p=5$和三边长代入$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$得：
$S=\sqrt{5×(5-3)×(5-3)×(5-4)}=\sqrt{5×2×2×1}=\sqrt{20}$
3. 估算$\sqrt{20}$的范围：
因为$\sqrt{16}＜\sqrt{20}＜\sqrt{25}$，即$4＜\sqrt{20}＜5$，所以面积$S$介于4和5之间，因此$n=4$。
【答案】
4
【知识点】
1. 二次根式估值 2. 代数式求值 3. 新公式应用
【点评】
本题结合数学文化背景设计，考查对新定义公式的理解应用能力和无理数大小估算的方法，解题核心是准确代入公式计算，再结合常见平方数估算二次根式的范围，整体思路清晰，计算量小。
【难度系数】
0.7
解题时首先要读懂题目给出的海伦-秦九韶面积公式，明确公式中各字母的含义。第一步先根据三角形的三边长计算半周长$p$，第二步将$p$和三边长代入面积公式求出面积$S$的表达式，第三步对得到的二次根式进行大小估算，确定其介于哪两个连续整数之间，较小的整数即为所求的$n$。
【解析】
1. 计算半周长$p$：
已知三角形三边长分别为$3,3,4$，代入半周长公式得：
$p=\frac{3+3+4}{2}=5$
2. 代入面积公式计算$S$：
将$p=5$和三边长代入$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$得：
$S=\sqrt{5×(5-3)×(5-3)×(5-4)}=\sqrt{5×2×2×1}=\sqrt{20}$
3. 估算$\sqrt{20}$的范围：
因为$\sqrt{16}＜\sqrt{20}＜\sqrt{25}$，即$4＜\sqrt{20}＜5$，所以面积$S$介于4和5之间，因此$n=4$。
【答案】
4
【知识点】
1. 二次根式估值 2. 代数式求值 3. 新公式应用
【点评】
本题结合数学文化背景设计，考查对新定义公式的理解应用能力和无理数大小估算的方法，解题核心是准确代入公式计算，再结合常见平方数估算二次根式的范围，整体思路清晰，计算量小。
【难度系数】
0.7
16. 若$\sqrt{48} · \sqrt{2a}$的值是一个整数,则正整数$a$的最小值是________.
答案
16.6
解析
【分析】
解题时首先利用二次根式的乘法法则，将两个二次根式的乘积合并为一个二次根式，再对其进行化简，把能开得尽方的因数移到根号外。要使最终结果为整数，需保证化简后根号内的部分是完全平方数，再结合根号内剩余的因数，找到满足条件的最小正整数a即可。
【解析】
根据二次根式的乘法法则计算：
$\sqrt{48} · \sqrt{2a} = \sqrt{48 × 2a} = \sqrt{96a}$
对96分解因数可得$96 = 16 × 6 = 4^2 × 6$，代入化简：
$\sqrt{96a} = \sqrt{4^2 × 6a} = 4\sqrt{6a}$
因为原式的值是整数，且4是整数，所以$\sqrt{6a}$必须为整数，即$6a$是完全平方数。
将6分解质因数得$6=2×3$，要使$6a$为完全平方数，正整数a的质因数至少需要包含1个2和1个3，因此a的最小值为$2×3=6$。
【答案】
6
【知识点】
二次根式乘法运算；二次根式的化简；完全平方数特征
【点评】
本题是二次根式运算的常规题型，解题关键是先将原式化简为最简形式，再结合结果为整数的条件推导根号内代数式的要求，解题时需注意a为正整数的限制条件。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用二次根式的乘法法则，将两个二次根式的乘积合并为一个二次根式，再对其进行化简，把能开得尽方的因数移到根号外。要使最终结果为整数，需保证化简后根号内的部分是完全平方数，再结合根号内剩余的因数，找到满足条件的最小正整数a即可。
【解析】
根据二次根式的乘法法则计算：
$\sqrt{48} · \sqrt{2a} = \sqrt{48 × 2a} = \sqrt{96a}$
对96分解因数可得$96 = 16 × 6 = 4^2 × 6$，代入化简：
$\sqrt{96a} = \sqrt{4^2 × 6a} = 4\sqrt{6a}$
因为原式的值是整数，且4是整数，所以$\sqrt{6a}$必须为整数，即$6a$是完全平方数。
将6分解质因数得$6=2×3$，要使$6a$为完全平方数，正整数a的质因数至少需要包含1个2和1个3，因此a的最小值为$2×3=6$。
【答案】
6
【知识点】
二次根式乘法运算；二次根式的化简；完全平方数特征
【点评】
本题是二次根式运算的常规题型，解题关键是先将原式化简为最简形式，再结合结果为整数的条件推导根号内代数式的要求，解题时需注意a为正整数的限制条件。
【难度系数】
0.7
17. (跨学科融合)物体在做自由落体运动时，下落时间$ t $(单位:s)和下落高度$ h $(单位:m)之间满足关系式$ t=\sqrt{\dfrac{2h}{g}} $，其中$ g $取$ 10 \ \mathrm{m/s}^2 $(不考虑空气阻力).
(1)小球从$ 90 \ \mathrm{m} $高空自由下落，需要多长时间到达地面？
(2)小明认为，小球从$ 180 \ \mathrm{m} $高空自由下落需要的时间是从$ 90 \ \mathrm{m} $高空自由下落需要时间的2倍.你认同小明的想法吗？请说明理由.
(1)小球从$ 90 \ \mathrm{m} $高空自由下落，需要多长时间到达地面？
(2)小明认为，小球从$ 180 \ \mathrm{m} $高空自由下落需要的时间是从$ 90 \ \mathrm{m} $高空自由下落需要时间的2倍.你认同小明的想法吗？请说明理由.
答案
解:(1)由题意,得 $t=\sqrt{\frac{2 h}{g}}=\sqrt{\frac{2 × 90}{10}}=\sqrt{18}=3 \sqrt{2}(\mathrm{~s}).$
$\therefore$ 小球从 90 m 高空自由下落,需要 $3 \sqrt{2} \mathrm{~s}$ 到达地面.
(2)不认同小明的想法.理由如下:
由题意,得 $t=\sqrt{\frac{2 h}{g}}=\sqrt{\frac{2 × 180}{10}}=\sqrt{36}=6(\mathrm{~s}), \frac{6}{3 \sqrt{2}}=\sqrt{2} ≠ 2,$
即小球从 180 m 高空自由下落需要的时间是从 90 m 高空自由下落所需时间的 $\sqrt{2}$ 倍,不是 2 倍,
$\therefore$ 不认同小明的想法.
$\therefore$ 小球从 90 m 高空自由下落,需要 $3 \sqrt{2} \mathrm{~s}$ 到达地面.
(2)不认同小明的想法.理由如下:
由题意,得 $t=\sqrt{\frac{2 h}{g}}=\sqrt{\frac{2 × 180}{10}}=\sqrt{36}=6(\mathrm{~s}), \frac{6}{3 \sqrt{2}}=\sqrt{2} ≠ 2,$
即小球从 180 m 高空自由下落需要的时间是从 90 m 高空自由下落所需时间的 $\sqrt{2}$ 倍,不是 2 倍,
$\therefore$ 不认同小明的想法.
解析
【分析】
（1）题目已明确给出下落时间$t$和下落高度$h$的关系式，要求90m高空下落的时间，只需将$h=90$、$g=10$直接代入公式，再化简二次根式即可得到结果。
（2）要判断小明的想法是否正确，首先用同样的方法计算出$h=180$时的下落时间，再将该时间与第（1）问的结果作比，判断比值是否等于2，即可得出结论。
【解析】
(1) 由题意知$t=\sqrt{\dfrac{2h}{g}}$，其中$g=10 \ \mathrm{m/s}^2$，将$h=90 \ \mathrm{m}$代入公式得：
$t=\sqrt{\dfrac{2 × 90}{10}}=\sqrt{18}=3\sqrt{2} \ (\mathrm{s})$
(2) 不认同小明的想法，理由如下：
将$h=180 \ \mathrm{m}$代入公式得：
$t'=\sqrt{\dfrac{2 × 180}{10}}=\sqrt{36}=6 \ (\mathrm{s})$
计算两次时间的比值：$\dfrac{t'}{t}=\dfrac{6}{3\sqrt{2}}=\sqrt{2} ≠ 2$，即小球从180m高空自由下落需要的时间是从90m高空下落时间的$\sqrt{2}$倍，不是2倍，因此小明的想法错误。
【答案】
(1) $3\sqrt{2} \ \mathrm{s}$；
(2) 不认同小明的想法，小球从180m高空下落的时间是90m下落时间的$\sqrt{2}$倍，不是2倍。
【知识点】
代数式求值；二次根式化简；二次根式的实际应用
【点评】
本题结合物理自由落体的情景考查二次根式的相关计算，解题时严格按照给定公式代入计算即可，要注意不要仅凭直觉判断变量间的比例关系，需通过计算验证结论。
【难度系数】
0.8
（1）题目已明确给出下落时间$t$和下落高度$h$的关系式，要求90m高空下落的时间，只需将$h=90$、$g=10$直接代入公式，再化简二次根式即可得到结果。
（2）要判断小明的想法是否正确，首先用同样的方法计算出$h=180$时的下落时间，再将该时间与第（1）问的结果作比，判断比值是否等于2，即可得出结论。
【解析】
(1) 由题意知$t=\sqrt{\dfrac{2h}{g}}$，其中$g=10 \ \mathrm{m/s}^2$，将$h=90 \ \mathrm{m}$代入公式得：
$t=\sqrt{\dfrac{2 × 90}{10}}=\sqrt{18}=3\sqrt{2} \ (\mathrm{s})$
(2) 不认同小明的想法，理由如下：
将$h=180 \ \mathrm{m}$代入公式得：
$t'=\sqrt{\dfrac{2 × 180}{10}}=\sqrt{36}=6 \ (\mathrm{s})$
计算两次时间的比值：$\dfrac{t'}{t}=\dfrac{6}{3\sqrt{2}}=\sqrt{2} ≠ 2$，即小球从180m高空自由下落需要的时间是从90m高空下落时间的$\sqrt{2}$倍，不是2倍，因此小明的想法错误。
【答案】
(1) $3\sqrt{2} \ \mathrm{s}$；
(2) 不认同小明的想法，小球从180m高空下落的时间是90m下落时间的$\sqrt{2}$倍，不是2倍。
【知识点】
代数式求值；二次根式化简；二次根式的实际应用
【点评】
本题结合物理自由落体的情景考查二次根式的相关计算，解题时严格按照给定公式代入计算即可，要注意不要仅凭直觉判断变量间的比例关系，需通过计算验证结论。
【难度系数】
0.8
