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18. 如图所示，把两张相同的小正方形纸片分别沿对角线剪开，拼成一张面积为$16\ \mathrm{cm}^2$的大正方形纸片.
(1)小正方形纸片的边长为$\_\_\_\_\_\_\ \mathrm{cm}$.
(2)设小正方形纸片的边长的值的整数部分为$a$，小数部分为$b$，求$a+2b-4\sqrt{2}$的值.
(3)若沿此大正方形纸片边的方向剪出一张长方形纸片，能否使剪出的长方形纸片的长、宽之比为$2:1$，且面积为$12\ \mathrm{cm}^2$？若能，试求出剪出的长方形纸片的长和宽；若不能，请说明理由.
(1)小正方形纸片的边长为$\_\_\_\_\_\_\ \mathrm{cm}$.
(2)设小正方形纸片的边长的值的整数部分为$a$，小数部分为$b$，求$a+2b-4\sqrt{2}$的值.
(3)若沿此大正方形纸片边的方向剪出一张长方形纸片，能否使剪出的长方形纸片的长、宽之比为$2:1$，且面积为$12\ \mathrm{cm}^2$？若能，试求出剪出的长方形纸片的长和宽；若不能，请说明理由.
答案
(1)$2\sqrt{2}$
(2)解:由题意,得 $a=2, b=2 \sqrt{2}-2, \therefore a+2 b-4 \sqrt{2}=2+2(2 \sqrt{2}-2)-4 \sqrt{2}=2+4 \sqrt{2}-4-4 \sqrt{2}=-2.$
(3)解:不能.理由如下:
$\because$ 长方形纸片的长、宽之比为 2:1,$\therefore$ 设长方形纸片的长和宽分别为 $2 x \mathrm{~cm}, x \mathrm{~cm}.$
$\therefore 2 x · x=12. \therefore x^2=6.$
$\because x＞0, \therefore x=\sqrt{6}. \therefore 2 x=2 \sqrt{6}.$
$\because 2＜\sqrt{6}＜3, \therefore 2 \sqrt{6}＞4.$
$\therefore$ 沿此大正方形纸片边的方向不能剪出符合要求的长方形纸片.
(2)解:由题意,得 $a=2, b=2 \sqrt{2}-2, \therefore a+2 b-4 \sqrt{2}=2+2(2 \sqrt{2}-2)-4 \sqrt{2}=2+4 \sqrt{2}-4-4 \sqrt{2}=-2.$
(3)解:不能.理由如下:
$\because$ 长方形纸片的长、宽之比为 2:1,$\therefore$ 设长方形纸片的长和宽分别为 $2 x \mathrm{~cm}, x \mathrm{~cm}.$
$\therefore 2 x · x=12. \therefore x^2=6.$
$\because x＞0, \therefore x=\sqrt{6}. \therefore 2 x=2 \sqrt{6}.$
$\because 2＜\sqrt{6}＜3, \therefore 2 \sqrt{6}＞4.$
$\therefore$ 沿此大正方形纸片边的方向不能剪出符合要求的长方形纸片.
解析
【分析】
(1) 先利用拼接前后总面积不变，得出两个小正方形的面积和等于大正方形的面积，算出单个小正方形的面积后，求其算术平方根即可得到小正方形的边长。
(2) 先估算$2\sqrt{2}$的取值范围，确定其整数部分$a$，再用原数减去整数部分得到小数部分$b$，最后将$a$、$b$代入代数式，化简二次根式计算即可。
(3) 采用假设法，先假设能剪出符合要求的长方形，根据长宽比设未知数，结合面积公式列方程求出长的长度，再与大正方形的边长比较，若长大于大正方形边长则无法剪出，反之则可以。
【解析】
(1) 已知大正方形面积为$16\ \mathrm{cm}^2$，拼接前后总面积不变，因此2个小正方形的面积和为$16\ \mathrm{cm}^2$，单个小正方形面积为$16÷2=8\ \mathrm{cm}^2$。
设小正方形边长为$x\ \mathrm{cm}$，则$x^2=8$，结合$x＞0$可得$x=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$。
(2) 由$1＜\sqrt{2}＜2$，可得$2＜2\sqrt{2}＜3$，因此$2\sqrt{2}$的整数部分$a=2$，小数部分$b=2\sqrt{2}-2$。
代入代数式计算：
$\begin{aligned}a+2b-4\sqrt{2}&=2+2×(2\sqrt{2}-2)-4\sqrt{2}\\&=2+4\sqrt{2}-4-4\sqrt{2}\\&=-2\end{aligned}$
(3) 不能，理由如下：
设长方形纸片的宽为$x\ \mathrm{cm}$，长为$2x\ \mathrm{cm}$，根据面积为$12\ \mathrm{cm}^2$列方程：
$2x· x=12$，整理得$x^2=6$。
$\because x＞0$，$\therefore x=\sqrt{6}$，长方形的长为$2\sqrt{6}\ \mathrm{cm}$。
大正方形的边长为$\sqrt{16}=4\ \mathrm{cm}$，$\because 2＜\sqrt{6}＜3$，$\therefore 2\sqrt{6}＞4$，即长方形的长大于大正方形的边长，因此无法沿大正方形边的方向剪出符合要求的长方形。
【答案】
(1) $2\sqrt{2}$
(2) $-2$
(3) 不能，理由见解析
【知识点】
正方形面积计算，无理数估算，二次根式应用
【点评】
本题结合图形拼接场景考查二次根式的相关应用，侧重基础，既考查了算术平方根计算、代数式化简等核心知识，也考查了结合实际情况验证计算结果的应用意识，解题时要注意无理数的大小估算要准确。
【难度系数】
0.7
(1) 先利用拼接前后总面积不变，得出两个小正方形的面积和等于大正方形的面积，算出单个小正方形的面积后，求其算术平方根即可得到小正方形的边长。
(2) 先估算$2\sqrt{2}$的取值范围，确定其整数部分$a$，再用原数减去整数部分得到小数部分$b$，最后将$a$、$b$代入代数式，化简二次根式计算即可。
(3) 采用假设法，先假设能剪出符合要求的长方形，根据长宽比设未知数，结合面积公式列方程求出长的长度，再与大正方形的边长比较，若长大于大正方形边长则无法剪出，反之则可以。
【解析】
(1) 已知大正方形面积为$16\ \mathrm{cm}^2$，拼接前后总面积不变，因此2个小正方形的面积和为$16\ \mathrm{cm}^2$，单个小正方形面积为$16÷2=8\ \mathrm{cm}^2$。
设小正方形边长为$x\ \mathrm{cm}$，则$x^2=8$，结合$x＞0$可得$x=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$。
(2) 由$1＜\sqrt{2}＜2$，可得$2＜2\sqrt{2}＜3$，因此$2\sqrt{2}$的整数部分$a=2$，小数部分$b=2\sqrt{2}-2$。
代入代数式计算：
$\begin{aligned}a+2b-4\sqrt{2}&=2+2×(2\sqrt{2}-2)-4\sqrt{2}\\&=2+4\sqrt{2}-4-4\sqrt{2}\\&=-2\end{aligned}$
(3) 不能，理由如下：
设长方形纸片的宽为$x\ \mathrm{cm}$，长为$2x\ \mathrm{cm}$，根据面积为$12\ \mathrm{cm}^2$列方程：
$2x· x=12$，整理得$x^2=6$。
$\because x＞0$，$\therefore x=\sqrt{6}$，长方形的长为$2\sqrt{6}\ \mathrm{cm}$。
大正方形的边长为$\sqrt{16}=4\ \mathrm{cm}$，$\because 2＜\sqrt{6}＜3$，$\therefore 2\sqrt{6}＞4$，即长方形的长大于大正方形的边长，因此无法沿大正方形边的方向剪出符合要求的长方形。
【答案】
(1) $2\sqrt{2}$
(2) $-2$
(3) 不能，理由见解析
【知识点】
正方形面积计算，无理数估算，二次根式应用
【点评】
本题结合图形拼接场景考查二次根式的相关应用，侧重基础，既考查了算术平方根计算、代数式化简等核心知识，也考查了结合实际情况验证计算结果的应用意识，解题时要注意无理数的大小估算要准确。
【难度系数】
0.7
