1. 已知$a,b$为任意实数,则下列等式成立的是 ()

A.$\sqrt{a^2}=a$
B.$\sqrt{a^4}=a^2$
C.$\sqrt{(-a)^2}=\pm a$
D.$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}$

1.B

【分析】
本题考查二次根式的相关性质，解题时要抓住两个核心要点：一是算术平方根的结果具有非负性，二是二次根式的运算、变形要满足被开方数非负的前提。我们可以逐个分析选项，结合性质或举反例判断正误。
【解析】
我们逐一验证每个选项：
选项A：$\sqrt{a^2}$表示$a^2$的算术平方根，结果一定是非负数，当$a＜0$时，$\sqrt{a^2}=-a≠ a$，例如$a=-3$时，$\sqrt{(-3)^2}=\sqrt{9}=3≠-3$，因此A错误。
选项B：$a^4=(a^2)^2$，且$a^2$恒为非负数，根据算术平方根的性质，$\sqrt{(a^2)^2}=a^2$，无论$a$取任意实数都成立，因此B正确。
选项C：$\sqrt{(-a)^2}$是算术平方根，结果只能是非负数，不可能等于$\pm a$，正确结果应为$|a|$，因此C错误。
选项D：$\sqrt{a}·\sqrt{b}$成立的前提是$a≥0$且$b≥0$，当$a＜0$、$b＜0$时，$\sqrt{a}$和$\sqrt{b}$无意义，但$\sqrt{ab}$有意义，例如$a=-2$、$b=-3$时，$\sqrt{(-2)×(-3)}=\sqrt{6}$，但$\sqrt{-2}$、$\sqrt{-3}$没有意义，等式不成立，因此D错误。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
二次根式的性质、算术平方根的非负性、二次根式有意义的条件
【点评】
本题是二次根式的基础考查题，易错点在于忽略算术平方根的非负性，以及二次根式乘法法则的适用限制，解题时通过举反例可以快速排除错误选项。
【难度系数】
0.8

2. 下列二次根式中，与$\sqrt{5}$是同类二次根式的是 （）

A.$\sqrt{25}$
B.$\sqrt{0.5}$
C.$\sqrt{10}$
D.$\sqrt{45}$

2.D

【分析】
要判断哪个二次根式与$\sqrt{5}$是同类二次根式，首先明确同类二次根式的判定规则：几个二次根式先化为最简二次根式后，若被开方数相同，则为同类二次根式。因此解题步骤为：先将所有选项的二次根式化为最简形式，再逐一对比最简后的被开方数是否为5，即可得出正确答案。
【解析】
同类二次根式的判定需先化简为最简二次根式，再对比被开方数：
1. 选项A：$\sqrt{25}=5$，化简后为整数，与$\sqrt{5}$不是同类二次根式，排除；
2. 选项B：$\sqrt{0.5}=\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，最简后被开方数为2，与$\sqrt{5}$被开方数不同，排除；
3. 选项C：$\sqrt{10}$已是最简二次根式，被开方数为10，与$\sqrt{5}$被开方数不同，排除；
4. 选项D：$\sqrt{45}=\sqrt{9×5}=3\sqrt{5}$，最简后被开方数为5，与$\sqrt{5}$是同类二次根式。
【答案】
D
【知识点】
1. 同类二次根式判定
2. 二次根式化简
3. 最简二次根式定义
【点评】
本题属于二次根式章节的基础题型，核心考查同类二次根式的判断逻辑，易错点是未将二次根式化为最简就直接对比原被开方数，导致误选错误选项，熟练掌握二次根式的化简是做对这类题的前提。
【难度系数】
0.8

3. 下列各式计算正确的是 （）

A.$5\sqrt{3} - 2\sqrt{3} = 3$
B.$\sqrt{2} + \sqrt{3} = \sqrt{5}$
C.$\sqrt{2} × \sqrt{3} = \sqrt{6}$
D.$\sqrt{10} ÷ \sqrt{2} = 5$

3.C

【分析】
本题考查二次根式的四则运算，解题思路是依次根据二次根式的加减、乘除运算法则对每个选项进行计算判断，即可选出正确选项。首先明确运算法则：1.二次根式加减时，只有同类二次根式（被开方数相同的最简二次根式）可以合并，合并时系数相加减，被开方数和根指数不变；2.二次根式相乘除时，把被开方数相乘除，根指数不变，最后结果化为最简二次根式。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：$5\sqrt{3}$和$2\sqrt{3}$是同类二次根式，合并得$5\sqrt{3}-2\sqrt{3}=(5-2)\sqrt{3}=3\sqrt{3}≠3$，故A错误；
B选项：$\sqrt{2}$和$\sqrt{3}$被开方数不同，不是同类二次根式，不能直接合并相加，故B错误；
C选项：根据二次根式乘法法则，$\sqrt{2}×\sqrt{3}=\sqrt{2×3}=\sqrt{6}$，计算正确，故C正确；
D选项：根据二次根式除法法则，$\sqrt{10}÷\sqrt{2}=\sqrt{10÷2}=\sqrt{5}≠5$，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
二次根式的加减运算；二次根式的乘除运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考查二次根式的四则运算法则，解题时要注意区分只有同类二次根式才能合并，乘除运算仅对被开方数进行运算，避免出现直接将被开方数加减、忽略根式部分直接运算系数的错误。
【难度系数】
0.85

4.若$\sqrt{18}$与最简二次根式$\sqrt{m+1}$能合并，则$m$的值为 （）

A.0
B.1
C.2
D.3

4.B

【分析】
要解决这道题，首先需要明确同类二次根式的概念：几个二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式是同类二次根式，同类二次根式可以合并。解题思路分三步：1.先将非最简二次根式$\sqrt{18}$化简为最简形式；2.根据“$\sqrt{m+1}$是最简二次根式且能与$\sqrt{18}$合并”，可知二者被开方数相等；3.列方程求解$m$的值，对应选项选出答案即可。
【解析】
第一步：化简$\sqrt{18}$：
$\sqrt{18}=\sqrt{9×2}=\sqrt{9}×\sqrt{2}=3\sqrt{2}$
第二步：根据题意，$\sqrt{m+1}$是最简二次根式，且能和化简后的$3\sqrt{2}$合并，说明二者是同类二次根式，因此被开方数相等，可得方程：
$m+1=2$
第三步：解方程得：
$m=2-1=1$
因此$m$的值为1，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
二次根式化简，同类二次根式，一元一次方程求解
【点评】
本题属于基础题型，核心考查同类二次根式的判定，解题的易错点是部分同学未先化简$\sqrt{18}$，直接让被开方数等于18导致出错，只要牢记同类二次根式的判定前提是“先化为最简二次根式”，就能顺利解题。
【难度系数】
0.8

5. 已知一个长方形的面积是$2\sqrt{6}$，宽是$\sqrt{2}$，则它的长是 （）

A.$2\sqrt{3}$
B.$4\sqrt{2}$
C.$3\sqrt{2}$
D.$4\sqrt{3}$

5.A

【分析】
要解决这道题，首先回忆长方形的面积计算公式：面积=长×宽，由此可推导得到长=面积÷宽。接下来把题目给出的面积和宽的数值代入公式，再运用二次根式的除法运算法则计算，最后把结果化简为最简二次根式，对应选项找到答案即可。
【解析】
根据长方形面积公式可得：
$ \mathrm{长} = \frac{\mathrm{长方形面积}}{\mathrm{宽}} $
将面积$ 2\sqrt{6} $、宽$ \sqrt{2} $代入上式：
$\begin{aligned}\mathrm{长}&=\frac{2\sqrt{6}}{\sqrt{2}}\\&=2×\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}}\\&=2×\sqrt{\frac{6}{2}}\\&=2\sqrt{3}\end{aligned}$
【答案】
A
【知识点】
长方形面积公式；二次根式的除法运算
【点评】
本题是基础运算类题目，把几何基础公式和二次根式运算结合考察，难度较低，只要熟练掌握相关公式和二次根式的运算法则就能快速得出答案，计算时注意结果要化为最简二次根式。
【难度系数】
0.9

6. 如图所示,矩形内三个相邻的正方形的面积分别为2,3和4,则图中阴影部分的面积为 ()

A.2
B.$\sqrt{6}$
C.$2\sqrt{3}+\sqrt{6}-2\sqrt{2}-3$
D.$2\sqrt{3}+2\sqrt{2}-5$

6.D

【分析】
解题思路：首先根据正方形面积和边长的关系，求出三个正方形的边长；再观察阴影部分的位置，发现所有阴影都在包含面积为2、3的两个正方形的矩形内，该矩形的高度与面积为4的正方形的边长相等，因此可以用“包含阴影的矩形面积减去两个正方形的面积和”的整体法计算阴影面积，避免分别计算每块阴影的繁琐。
【解析】
解：第一步：计算各正方形的边长
正方形面积=边长²，因此：
面积为2的正方形边长为$\sqrt{2}$，面积为3的正方形边长为$\sqrt{3}$，面积为4的正方形边长为$\sqrt{4}=2$。
第二步：计算包含两个小正方形的矩形面积
由图可知，该矩形的高与面积为4的正方形边长相等，为2，矩形的长为两个小正方形的边长之和：$\sqrt{2}+\sqrt{3}$，因此矩形面积为：
$2×(\sqrt{2}+\sqrt{3})=2\sqrt{2}+2\sqrt{3}$
第三步：计算阴影面积
阴影面积=矩形面积 - 两个小正方形的面积和，即：
$S_{阴影}=2\sqrt{2}+2\sqrt{3} - 2 - 3=2\sqrt{3}+2\sqrt{2}-5$
故选D。
【答案】
D
【知识点】
正方形的面积计算，二次根式的运算，割补法求阴影面积
【点评】
本题巧妙运用整体减部分的割补思想求解不规则阴影面积，避免了拆分计算多块阴影的易错点，同时考查了正方形面积与边长的关系、二次根式的基础运算，解题的关键是观察图形找到各部分边长的关系。
【难度系数】
0.7

7. 定义一种新运算“@”，“@”的运算法则为 $ a@b = \sqrt{ab + 3} $，则$ (2@3)@5 = $ .

7.3√2

【分析】
遇到新定义运算类题目，首先要准确理解给定的运算法则，明确运算顺序。本题含有括号，需先计算括号内的2@3，再将括号内的运算结果作为新运算的第一个数，与5进行第二次@运算，每一步都严格代入给出的运算法则计算，最后将二次根式化简为最简形式即可得到结果。
【解析】
第一步：先计算括号内的2@3
根据运算法则$a@b = \sqrt{ab + 3}$，令$a=2$，$b=3$，代入得：
$2@3=\sqrt{2×3 + 3}=\sqrt{6+3}=\sqrt{9}=3$
第二步：计算$3@5$
将上一步得到的结果3作为新的$a$，$b=5$，代入运算法则得：
$3@5=\sqrt{3×5 + 3}=\sqrt{15+3}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$
【答案】
$3\sqrt{2}$
【知识点】
新定义运算，二次根式化简
【点评】
本题属于基础运算题，解题的核心是正确理解新运算的规则，严格按照运算顺序分步计算，注意二次根式最终要化简为最简二次根式，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.8

8.按如图所示的程序计算,若开始输入的n的值为$\sqrt{2}$,则输出的结果是.

8.8+5√2

【分析】
解题时首先明确程序的运算逻辑：输入n后，先计算n(n+1)的值，再判断该值是否大于12，若大于12则直接输出结果；若不大于12，则将计算得到的结果作为新的n值，返回重新计算n(n+1)，直到结果大于12为止。我们只需按这个流程逐步代入计算即可。
【解析】
第一步，初始输入n=√2：
计算$n(n+1)=\sqrt{2}×(\sqrt{2}+1)= (\sqrt{2})^2 + \sqrt{2} = 2 + \sqrt{2}$
因为$\sqrt{2}≈1.414$，所以$2+\sqrt{2}≈3.414＜12$，不满足输出条件，将$2+\sqrt{2}$作为新的n值代入计算。
第二步，取$n=2+\sqrt{2}$：
计算$n(n+1)=(2+\sqrt{2})×(2+\sqrt{2}+1)=(2+\sqrt{2})(3+\sqrt{2})$
展开计算：
$\begin{aligned}原式&=2×3 + 2×\sqrt{2} + \sqrt{2}×3 + \sqrt{2}×\sqrt{2}\\&=6 + 2\sqrt{2} + 3\sqrt{2} + 2\\&=8 + 5\sqrt{2}\end{aligned}$
计算近似值：$8+5\sqrt{2}≈8+7.07=15.07＞12$，满足输出条件。
【答案】
$8+5\sqrt{2}$
【知识点】
程序框图运算，二次根式混合运算
【点评】
本题重点考查对程序逻辑的理解和二次根式运算能力，解题的核心是严格遵循程序的循环规则，未满足判断条件时要持续代入新值计算，运算过程中要熟练掌握二次根式的乘法法则，避免计算错误。
【难度系数】
0.7

9. 当$x=\sqrt{3}+1$时，式子$x^2 - 2x + 2$的值为$\underline{\hspace{5em}}$.

9.4

【分析】
观察所求代数式的结构，发现$x^2-2x$符合完全平方公式的前两项特征，因此优先考虑对代数式进行配方变形，转化为含$(x-1)$的式子后再代入$x$的值计算，可简化运算，避免直接代入计算的复杂过程。解题步骤为：第一步用完全平方公式对原式配方，第二步计算$x-1$的值，第三步代入配方后的式子求出结果。
【解析】
对代数式先配方再代入计算：
$\begin{aligned}x^2 - 2x + 2&=(x^2-2x+1)+1\\&=(x-1)^2+1\end{aligned}$
已知$x=\sqrt{3}+1$，可得$x-1=\sqrt{3}$，将其代入上式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(\sqrt{3})^2+1\\&=3+1\\&=4\end{aligned}$
也可直接代入展开计算，最终结果一致。
【答案】
4
【知识点】
代数式求值、完全平方公式、二次根式运算
【点评】
本题考查代数式的化简求值，通过配方对原式变形是常用的运算技巧，能有效降低计算量，减少出错概率。
【难度系数】
0.8