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18.有一块长方形木板$ABCD$，木工甲采用如图所示的方式，将木板的长$AD$增加$2\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$（即$DE=2\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$），宽$AB$增加$7\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$（即$BG=7\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$），得到一个面积为$192\ \mathrm{cm}^2$的正方形$AGFE$。
(1)求长方形木板$ABCD$的面积；
(2)木工乙想从长方形木板$ABCD$中裁出一个面积为$12\ \mathrm{cm}^2$，宽为$\frac{\sqrt{6}}{2}\ \mathrm{cm}$的长方形木料，请通过计算说明木工乙的想法是否可行。
(1)求长方形木板$ABCD$的面积；
(2)木工乙想从长方形木板$ABCD$中裁出一个面积为$12\ \mathrm{cm}^2$，宽为$\frac{\sqrt{6}}{2}\ \mathrm{cm}$的长方形木料，请通过计算说明木工乙的想法是否可行。
答案
18.解:(1)由题意可得正方形的边长为$\sqrt{192}=8\sqrt{3}\ (\mathrm{cm})$,
$\therefore AD=8\sqrt{3}-2\sqrt{3}=6\sqrt{3}\ (\mathrm{cm})$,$AB=8\sqrt{3}-7\sqrt{3}=\sqrt{3}\ (\mathrm{cm})$.
$\therefore$长方形木板$ABCD$的面积为$6\sqrt{3}×\sqrt{3}=18(\mathrm{cm}^2)$.
(2)木工乙的想法可行.理由如下:
从长方形木板$ABCD$中裁出一个面积为$12\ \mathrm{cm}^2$,宽为$\dfrac{\sqrt{6}}{2}\ \mathrm{cm}$的长方形木板,$\therefore$裁出的长方形木板长为$12÷\dfrac{\sqrt{6}}{2}=12×\dfrac{2}{\sqrt{6}}=4\sqrt{6}\ (\mathrm{cm})$.
由(1)得长方形木板$ABCD$的长为$6\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$,宽为$\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$,$\because 4\sqrt{6}=\sqrt{96}$,$6\sqrt{3}=\sqrt{108}$,$\sqrt{3}=\dfrac{\sqrt{12}}{2}$,$\therefore 4\sqrt{6}＜6\sqrt{3}$,$\dfrac{\sqrt{6}}{2}＜\sqrt{3}$.$\therefore$可以裁出所求的长方形木料.$\therefore$木工乙的想法可行.
$\therefore AD=8\sqrt{3}-2\sqrt{3}=6\sqrt{3}\ (\mathrm{cm})$,$AB=8\sqrt{3}-7\sqrt{3}=\sqrt{3}\ (\mathrm{cm})$.
$\therefore$长方形木板$ABCD$的面积为$6\sqrt{3}×\sqrt{3}=18(\mathrm{cm}^2)$.
(2)木工乙的想法可行.理由如下:
从长方形木板$ABCD$中裁出一个面积为$12\ \mathrm{cm}^2$,宽为$\dfrac{\sqrt{6}}{2}\ \mathrm{cm}$的长方形木板,$\therefore$裁出的长方形木板长为$12÷\dfrac{\sqrt{6}}{2}=12×\dfrac{2}{\sqrt{6}}=4\sqrt{6}\ (\mathrm{cm})$.
由(1)得长方形木板$ABCD$的长为$6\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$,宽为$\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$,$\because 4\sqrt{6}=\sqrt{96}$,$6\sqrt{3}=\sqrt{108}$,$\sqrt{3}=\dfrac{\sqrt{12}}{2}$,$\therefore 4\sqrt{6}＜6\sqrt{3}$,$\dfrac{\sqrt{6}}{2}＜\sqrt{3}$.$\therefore$可以裁出所求的长方形木料.$\therefore$木工乙的想法可行.
解析
【分析】
(1) 首先根据正方形的面积求出其边长：正方形面积等于边长的平方，因此边长为面积的算术平方根。再结合题目中长和宽增加的长度，用正方形边长分别减去增加的长度，得到原长方形的长和宽，最后根据长方形面积公式计算即可。
(2) 先根据要裁出的长方形的面积和已知宽，利用“长=面积÷宽”求出裁出长方形的长；再将裁出长方形的长、宽分别与原长方形的长、宽比较大小，若裁出的长小于原长方形的长、裁出的宽小于原长方形的宽，则方案可行，比较二次根式大小时可将根号外的数移入根号内，比较被开方数的大小即可。
【解析】
(1) 由题意可得正方形的边长为$\sqrt{192}=8\sqrt{3}\ (\mathrm{cm})$，
$\therefore AD=8\sqrt{3}-2\sqrt{3}=6\sqrt{3}\ (\mathrm{cm})$，$AB=8\sqrt{3}-7\sqrt{3}=\sqrt{3}\ (\mathrm{cm})$。
$\therefore$长方形木板$ABCD$的面积为$6\sqrt{3}×\sqrt{3}=18(\mathrm{cm}^2)$。
(2) 木工乙的想法可行。理由如下：
从长方形木板$ABCD$中裁出一个面积为$12\ \mathrm{cm}^2$，宽为$\dfrac{\sqrt{6}}{2}\ \mathrm{cm}$的长方形木板，$\therefore$裁出的长方形木板长为$12÷\dfrac{\sqrt{6}}{2}=12×\dfrac{2}{\sqrt{6}}=4\sqrt{6}\ (\mathrm{cm})$。
由(1)得长方形木板$ABCD$的长为$6\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$，宽为$\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$，$\because 4\sqrt{6}=\sqrt{96}$，$6\sqrt{3}=\sqrt{108}$，$\therefore 4\sqrt{6}＜6\sqrt{3}$，且$\dfrac{\sqrt{6}}{2}＜\sqrt{3}$，$\therefore$可以裁出所求的长方形木料，木工乙的想法可行。
【答案】
(1) 长方形木板$ABCD$的面积为$18\ \mathrm{cm}^2$；
(2) 木工乙的想法可行。
【知识点】
二次根式的运算，矩形与正方形面积计算，二次根式大小比较
【点评】
本题结合实际木工场景考查二次根式的应用，解题关键是先从正方形面积入手求出原长方形的尺寸，再通过二次根式的运算和大小比较判断裁剪方案的合理性，能有效锻炼学生解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
(1) 首先根据正方形的面积求出其边长：正方形面积等于边长的平方，因此边长为面积的算术平方根。再结合题目中长和宽增加的长度，用正方形边长分别减去增加的长度，得到原长方形的长和宽，最后根据长方形面积公式计算即可。
(2) 先根据要裁出的长方形的面积和已知宽，利用“长=面积÷宽”求出裁出长方形的长；再将裁出长方形的长、宽分别与原长方形的长、宽比较大小，若裁出的长小于原长方形的长、裁出的宽小于原长方形的宽，则方案可行，比较二次根式大小时可将根号外的数移入根号内，比较被开方数的大小即可。
【解析】
(1) 由题意可得正方形的边长为$\sqrt{192}=8\sqrt{3}\ (\mathrm{cm})$，
$\therefore AD=8\sqrt{3}-2\sqrt{3}=6\sqrt{3}\ (\mathrm{cm})$，$AB=8\sqrt{3}-7\sqrt{3}=\sqrt{3}\ (\mathrm{cm})$。
$\therefore$长方形木板$ABCD$的面积为$6\sqrt{3}×\sqrt{3}=18(\mathrm{cm}^2)$。
(2) 木工乙的想法可行。理由如下：
从长方形木板$ABCD$中裁出一个面积为$12\ \mathrm{cm}^2$，宽为$\dfrac{\sqrt{6}}{2}\ \mathrm{cm}$的长方形木板，$\therefore$裁出的长方形木板长为$12÷\dfrac{\sqrt{6}}{2}=12×\dfrac{2}{\sqrt{6}}=4\sqrt{6}\ (\mathrm{cm})$。
由(1)得长方形木板$ABCD$的长为$6\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$，宽为$\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$，$\because 4\sqrt{6}=\sqrt{96}$，$6\sqrt{3}=\sqrt{108}$，$\therefore 4\sqrt{6}＜6\sqrt{3}$，且$\dfrac{\sqrt{6}}{2}＜\sqrt{3}$，$\therefore$可以裁出所求的长方形木料，木工乙的想法可行。
【答案】
(1) 长方形木板$ABCD$的面积为$18\ \mathrm{cm}^2$；
(2) 木工乙的想法可行。
【知识点】
二次根式的运算，矩形与正方形面积计算，二次根式大小比较
【点评】
本题结合实际木工场景考查二次根式的应用，解题关键是先从正方形面积入手求出原长方形的尺寸，再通过二次根式的运算和大小比较判断裁剪方案的合理性，能有效锻炼学生解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
19. (代数推理)观察下列等式：
$a_{1}=\dfrac{1}{1+\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3}-1}{2}$；$a_{2}=\dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{5}}=\dfrac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2}$；$a_{3}=\dfrac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{7}}=\dfrac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{2}$；$a_{4}=\dfrac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{9}}=\dfrac{\sqrt{9}-\sqrt{7}}{2}$；$···$.
按照上述规律，回答以下问题：
(1)请写出第6个等式：$\underline{\hspace{6cm}}$；
(2)请写出第$n$个等式：$\underline{\hspace{7cm}}$；
(3)求$a_{1}+a_{2}+a_{3}+··· +a_{20}$的值.
$a_{1}=\dfrac{1}{1+\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3}-1}{2}$；$a_{2}=\dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{5}}=\dfrac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2}$；$a_{3}=\dfrac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{7}}=\dfrac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{2}$；$a_{4}=\dfrac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{9}}=\dfrac{\sqrt{9}-\sqrt{7}}{2}$；$···$.
按照上述规律，回答以下问题：
(1)请写出第6个等式：$\underline{\hspace{6cm}}$；
(2)请写出第$n$个等式：$\underline{\hspace{7cm}}$；
(3)求$a_{1}+a_{2}+a_{3}+··· +a_{20}$的值.
答案
19.(1)$a_6=\dfrac{1}{\sqrt{11}+\sqrt{13}}=\dfrac{\sqrt{13}-\sqrt{11}}{2}$
(2)$a_n=\dfrac{1}{\sqrt{2n-1}+\sqrt{2n+1}}=\dfrac{\sqrt{2n+1}-\sqrt{2n-1}}{2}$
(3)解:$a_1+a_2+a_3+\dots+a_{20}$
$=\dfrac{\sqrt{3}-1}{2}+\dfrac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2}+\dfrac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{2}+\dots+\dfrac{\sqrt{41}-\sqrt{39}}{2}=\dfrac{-1+\sqrt{41}}{2}$.
(2)$a_n=\dfrac{1}{\sqrt{2n-1}+\sqrt{2n+1}}=\dfrac{\sqrt{2n+1}-\sqrt{2n-1}}{2}$
(3)解:$a_1+a_2+a_3+\dots+a_{20}$
$=\dfrac{\sqrt{3}-1}{2}+\dfrac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2}+\dfrac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{2}+\dots+\dfrac{\sqrt{41}-\sqrt{39}}{2}=\dfrac{-1+\sqrt{41}}{2}$.
解析
【分析】
这是一道结合二次根式运算的规律探究题，解题思路如下：1. 先观察已知等式的结构特征：每个等式左边的分母是两个连续正奇数的算术平方根之和，分子都是1；右边是这两个算术平方根的差除以2，本质是对左边的式子进行分母有理化得到的结果。2. 解决第(1)问时，根据前4个等式的序号和分母中根号下奇数的对应关系，推出第6个等式的分母，再进行分母有理化即可。3. 解决第(2)问时，把序号n和根号下的奇数建立对应关系，总结出通用表达式，再验证合理性。4. 解决第(3)问时，利用前面得到的每个$a_n$的拆分结果，代入求和后会发现中间项可以相互抵消（裂项相消），仅保留首尾两项即可快速算出结果。
【解析】
(1) 观察已知等式可得：第$k$个等式分母的根号下两个数为$2k-1$、$2k+1$。当$k=6$时，$2×6-1=11$，$2×6+1=13$，因此第6个等式左边为$a_6=\dfrac{1}{\sqrt{11}+\sqrt{13}}$，对其分母有理化，分子分母同乘$\sqrt{13}-\sqrt{11}$，得：
$a_6=\dfrac{\sqrt{13}-\sqrt{11}}{(\sqrt{13}+\sqrt{11})(\sqrt{13}-\sqrt{11})}=\dfrac{\sqrt{13}-\sqrt{11}}{2}$。
(2) 结合上述规律，第$n$个等式左边的分母为$\sqrt{2n-1}+\sqrt{2n+1}$，因此$a_n=\dfrac{1}{\sqrt{2n-1}+\sqrt{2n+1}}$，分母有理化后得：
$a_n=\dfrac{\sqrt{2n+1}-\sqrt{2n-1}}{(\sqrt{2n+1}+\sqrt{2n-1})(\sqrt{2n+1}-\sqrt{2n-1})}=\dfrac{\sqrt{2n+1}-\sqrt{2n-1}}{2}$。
(3) 将每个$a_n$的拆分结果代入求和式：
$a_1+a_2+a_3+\dots+a_{20}$
$=\dfrac{\sqrt{3}-1}{2}+\dfrac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2}+\dfrac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{2}+\dots+\dfrac{\sqrt{41}-\sqrt{39}}{2}$
$=\dfrac{\sqrt{3}-1+\sqrt{5}-\sqrt{3}+\sqrt{7}-\sqrt{5}+\dots+\sqrt{41}-\sqrt{39}}{2}$
分子中相邻两项的正负部分相互抵消，最终剩下$-1+\sqrt{41}$，因此结果为$\dfrac{\sqrt{41}-1}{2}$。
【答案】
(1)$a_6=\dfrac{1}{\sqrt{11}+\sqrt{13}}=\dfrac{\sqrt{13}-\sqrt{11}}{2}$
(2)$a_n=\dfrac{1}{\sqrt{2n-1}+\sqrt{2n+1}}=\dfrac{\sqrt{2n+1}-\sqrt{2n-1}}{2}$
(3)$\dfrac{\sqrt{41}-1}{2}$
【知识点】
分母有理化，规律探究，二次根式加减运算
【点评】
本题是二次根式与规律探究结合的典型题型，核心是掌握分母有理化的运算方法，能从已知等式中归纳出通用规律，求和时利用裂项相消的技巧可大幅简化计算，避免逐项运算的繁琐。
【难度系数】
0.7
这是一道结合二次根式运算的规律探究题，解题思路如下：1. 先观察已知等式的结构特征：每个等式左边的分母是两个连续正奇数的算术平方根之和，分子都是1；右边是这两个算术平方根的差除以2，本质是对左边的式子进行分母有理化得到的结果。2. 解决第(1)问时，根据前4个等式的序号和分母中根号下奇数的对应关系，推出第6个等式的分母，再进行分母有理化即可。3. 解决第(2)问时，把序号n和根号下的奇数建立对应关系，总结出通用表达式，再验证合理性。4. 解决第(3)问时，利用前面得到的每个$a_n$的拆分结果，代入求和后会发现中间项可以相互抵消（裂项相消），仅保留首尾两项即可快速算出结果。
【解析】
(1) 观察已知等式可得：第$k$个等式分母的根号下两个数为$2k-1$、$2k+1$。当$k=6$时，$2×6-1=11$，$2×6+1=13$，因此第6个等式左边为$a_6=\dfrac{1}{\sqrt{11}+\sqrt{13}}$，对其分母有理化，分子分母同乘$\sqrt{13}-\sqrt{11}$，得：
$a_6=\dfrac{\sqrt{13}-\sqrt{11}}{(\sqrt{13}+\sqrt{11})(\sqrt{13}-\sqrt{11})}=\dfrac{\sqrt{13}-\sqrt{11}}{2}$。
(2) 结合上述规律，第$n$个等式左边的分母为$\sqrt{2n-1}+\sqrt{2n+1}$，因此$a_n=\dfrac{1}{\sqrt{2n-1}+\sqrt{2n+1}}$，分母有理化后得：
$a_n=\dfrac{\sqrt{2n+1}-\sqrt{2n-1}}{(\sqrt{2n+1}+\sqrt{2n-1})(\sqrt{2n+1}-\sqrt{2n-1})}=\dfrac{\sqrt{2n+1}-\sqrt{2n-1}}{2}$。
(3) 将每个$a_n$的拆分结果代入求和式：
$a_1+a_2+a_3+\dots+a_{20}$
$=\dfrac{\sqrt{3}-1}{2}+\dfrac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2}+\dfrac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{2}+\dots+\dfrac{\sqrt{41}-\sqrt{39}}{2}$
$=\dfrac{\sqrt{3}-1+\sqrt{5}-\sqrt{3}+\sqrt{7}-\sqrt{5}+\dots+\sqrt{41}-\sqrt{39}}{2}$
分子中相邻两项的正负部分相互抵消，最终剩下$-1+\sqrt{41}$，因此结果为$\dfrac{\sqrt{41}-1}{2}$。
【答案】
(1)$a_6=\dfrac{1}{\sqrt{11}+\sqrt{13}}=\dfrac{\sqrt{13}-\sqrt{11}}{2}$
(2)$a_n=\dfrac{1}{\sqrt{2n-1}+\sqrt{2n+1}}=\dfrac{\sqrt{2n+1}-\sqrt{2n-1}}{2}$
(3)$\dfrac{\sqrt{41}-1}{2}$
【知识点】
分母有理化，规律探究，二次根式加减运算
【点评】
本题是二次根式与规律探究结合的典型题型，核心是掌握分母有理化的运算方法，能从已知等式中归纳出通用规律，求和时利用裂项相消的技巧可大幅简化计算，避免逐项运算的繁琐。
【难度系数】
0.7
