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11. 把下列各式化成最简二次根式：
(1)$\sqrt{108}$；
(2)$\sqrt{\frac{45}{4}}$；
(3)$\sqrt{(\frac{7}{2})^2 + (\frac{1}{2})^2}$；
(4)$\sqrt{25 × 4}$。
(1)$\sqrt{108}$；
(2)$\sqrt{\frac{45}{4}}$；
(3)$\sqrt{(\frac{7}{2})^2 + (\frac{1}{2})^2}$；
(4)$\sqrt{25 × 4}$。
答案
11.解:(1)$\sqrt{108}=\sqrt{36×3}=6\sqrt{3}$.
(2)$\sqrt{\dfrac{45}{4}}=\sqrt{\dfrac{9×5}{4}}=\dfrac{3\sqrt{5}}{2}$.
(3)$\sqrt{(\dfrac{7}{2})^2 + (\dfrac{1}{2})^2}=\sqrt{\dfrac{49}{4}+\dfrac{1}{4}}=\sqrt{\dfrac{50}{4}}=\dfrac{5\sqrt{2}}{2}$.
(4)$\sqrt{25×4}=\sqrt{100}=10$.
(2)$\sqrt{\dfrac{45}{4}}=\sqrt{\dfrac{9×5}{4}}=\dfrac{3\sqrt{5}}{2}$.
(3)$\sqrt{(\dfrac{7}{2})^2 + (\dfrac{1}{2})^2}=\sqrt{\dfrac{49}{4}+\dfrac{1}{4}}=\sqrt{\dfrac{50}{4}}=\dfrac{5\sqrt{2}}{2}$.
(4)$\sqrt{25×4}=\sqrt{100}=10$.
解析
【分析】
要将二次根式化为最简二次根式，需满足两个要求：一是被开方数不含分母，二是被开方数不含能开得尽方的因数或因式。解题思路如下：若被开方数是整数，先拆分出最大的完全平方因数，再结合二次根式乘法性质化简；若被开方数是分数，结合二次根式除法性质分别化简分子、分母；若根号内含有运算，先计算出被开方数的结果，再按上述规则化简。
【解析】
解：
(1) $\sqrt{108}=\sqrt{36×3}=\sqrt{36}×\sqrt{3}=6\sqrt{3}$
(2) $\sqrt{\dfrac{45}{4}}=\dfrac{\sqrt{9×5}}{\sqrt{4}}=\dfrac{3\sqrt{5}}{2}$
(3) 先计算被开方数：$(\dfrac{7}{2})^2+(\dfrac{1}{2})^2=\dfrac{49}{4}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{50}{4}$，再化简得$\sqrt{\dfrac{50}{4}}=\dfrac{\sqrt{25×2}}{\sqrt{4}}=\dfrac{5\sqrt{2}}{2}$
(4) $\sqrt{25×4}=\sqrt{100}=10$
【答案】
(1)$6\sqrt{3}$；(2)$\dfrac{3\sqrt{5}}{2}$；(3)$\dfrac{5\sqrt{2}}{2}$；(4)$10$
【知识点】
最简二次根式，二次根式的性质，二次根式化简
【点评】
本题属于二次根式化简的基础题型，核心是熟练运用二次根式的性质，化简前注意优先完成根号内的四则运算，拆分完全平方因数时要准确，避免低级计算错误。
【难度系数】
0.85
要将二次根式化为最简二次根式，需满足两个要求：一是被开方数不含分母，二是被开方数不含能开得尽方的因数或因式。解题思路如下：若被开方数是整数，先拆分出最大的完全平方因数，再结合二次根式乘法性质化简；若被开方数是分数，结合二次根式除法性质分别化简分子、分母；若根号内含有运算，先计算出被开方数的结果，再按上述规则化简。
【解析】
解：
(1) $\sqrt{108}=\sqrt{36×3}=\sqrt{36}×\sqrt{3}=6\sqrt{3}$
(2) $\sqrt{\dfrac{45}{4}}=\dfrac{\sqrt{9×5}}{\sqrt{4}}=\dfrac{3\sqrt{5}}{2}$
(3) 先计算被开方数：$(\dfrac{7}{2})^2+(\dfrac{1}{2})^2=\dfrac{49}{4}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{50}{4}$，再化简得$\sqrt{\dfrac{50}{4}}=\dfrac{\sqrt{25×2}}{\sqrt{4}}=\dfrac{5\sqrt{2}}{2}$
(4) $\sqrt{25×4}=\sqrt{100}=10$
【答案】
(1)$6\sqrt{3}$；(2)$\dfrac{3\sqrt{5}}{2}$；(3)$\dfrac{5\sqrt{2}}{2}$；(4)$10$
【知识点】
最简二次根式，二次根式的性质，二次根式化简
【点评】
本题属于二次根式化简的基础题型，核心是熟练运用二次根式的性质，化简前注意优先完成根号内的四则运算，拆分完全平方因数时要准确，避免低级计算错误。
【难度系数】
0.85
12. 计算：
(1)$\sqrt{14} ÷ \sqrt{6} × \sqrt{\dfrac{27}{2}}$；
(2)$\sqrt{27} × \sqrt{50} ÷ 2\sqrt{6}$。
(1)$\sqrt{14} ÷ \sqrt{6} × \sqrt{\dfrac{27}{2}}$；
(2)$\sqrt{27} × \sqrt{50} ÷ 2\sqrt{6}$。
答案
12.解:(1)$\sqrt{14} ÷ \sqrt{6} × \sqrt{\dfrac{27}{2}}=\sqrt{\dfrac{14}{6}×\dfrac{27}{2}}=\sqrt{\dfrac{63}{2}}=\sqrt{\dfrac{7×2×3^2}{2^2}}=\dfrac{3\sqrt{14}}{2}$.
(2)$\sqrt{27}×\sqrt{50}÷2\sqrt{6}=3\sqrt{3}×5\sqrt{2}÷2\sqrt{6}=15\sqrt{6}÷2\sqrt{6}=\dfrac{15}{2}$.
(2)$\sqrt{27}×\sqrt{50}÷2\sqrt{6}=3\sqrt{3}×5\sqrt{2}÷2\sqrt{6}=15\sqrt{6}÷2\sqrt{6}=\dfrac{15}{2}$.
解析
【分析】
这两道题都是二次根式的乘除混合运算，解题可依据二次根式的乘除法则：$\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{\frac{a}{b}}$（$a≥0,b＞0$）、$\sqrt{a}×\sqrt{b}=\sqrt{ab}$（$a≥0,b≥0$）。第(1)题可先将所有乘除运算统一到同一个根号下，先计算被开方数的乘除结果，再化简得到最简二次根式；第(2)题可先把每个二次根式化为最简二次根式，再按从左到右的顺序运算，同类二次根式可直接约分化简，降低计算难度。
【解析】
(1) 根据二次根式乘除法则，将运算统一到根号内计算：
$\sqrt{14} ÷ \sqrt{6} × \sqrt{\dfrac{27}{2}}=\sqrt{\dfrac{14}{6}×\dfrac{27}{2}}$
计算被开方数的乘积得$\dfrac{14}{6}×\dfrac{27}{2}=\dfrac{63}{2}$，即原式$=\sqrt{\dfrac{63}{2}}$
化简二次根式：$\sqrt{\dfrac{63}{2}}=\sqrt{\dfrac{7×3^2×2}{2^2}}=\dfrac{3\sqrt{14}}{2}$
(2) 先将各二次根式化为最简二次根式：
$\sqrt{27}=3\sqrt{3}$，$\sqrt{50}=5\sqrt{2}$，代入原式得：
$\sqrt{27} × \sqrt{50} ÷ 2\sqrt{6}=3\sqrt{3}×5\sqrt{2}÷2\sqrt{6}$
先计算乘法：$3\sqrt{3}×5\sqrt{2}=15\sqrt{6}$，即原式$=15\sqrt{6}÷2\sqrt{6}$
约分化简后得$\dfrac{15}{2}$
【答案】
(1)$\dfrac{3\sqrt{14}}{2}$；(2)$\dfrac{15}{2}$
【知识点】
二次根式乘除运算、最简二次根式化简
【点评】
本题属于二次根式乘除的基础运算题，解题时可灵活选择运算方法，既可以先统一运算到根号内计算被开方数的乘除再化简，也可以先化简各根式再运算，注意最终结果必须化为最简形式，运算过程要遵循从左到右的运算顺序。
【难度系数】
0.8
这两道题都是二次根式的乘除混合运算，解题可依据二次根式的乘除法则：$\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{\frac{a}{b}}$（$a≥0,b＞0$）、$\sqrt{a}×\sqrt{b}=\sqrt{ab}$（$a≥0,b≥0$）。第(1)题可先将所有乘除运算统一到同一个根号下，先计算被开方数的乘除结果，再化简得到最简二次根式；第(2)题可先把每个二次根式化为最简二次根式，再按从左到右的顺序运算，同类二次根式可直接约分化简，降低计算难度。
【解析】
(1) 根据二次根式乘除法则，将运算统一到根号内计算：
$\sqrt{14} ÷ \sqrt{6} × \sqrt{\dfrac{27}{2}}=\sqrt{\dfrac{14}{6}×\dfrac{27}{2}}$
计算被开方数的乘积得$\dfrac{14}{6}×\dfrac{27}{2}=\dfrac{63}{2}$，即原式$=\sqrt{\dfrac{63}{2}}$
化简二次根式：$\sqrt{\dfrac{63}{2}}=\sqrt{\dfrac{7×3^2×2}{2^2}}=\dfrac{3\sqrt{14}}{2}$
(2) 先将各二次根式化为最简二次根式：
$\sqrt{27}=3\sqrt{3}$，$\sqrt{50}=5\sqrt{2}$，代入原式得：
$\sqrt{27} × \sqrt{50} ÷ 2\sqrt{6}=3\sqrt{3}×5\sqrt{2}÷2\sqrt{6}$
先计算乘法：$3\sqrt{3}×5\sqrt{2}=15\sqrt{6}$，即原式$=15\sqrt{6}÷2\sqrt{6}$
约分化简后得$\dfrac{15}{2}$
【答案】
(1)$\dfrac{3\sqrt{14}}{2}$；(2)$\dfrac{15}{2}$
【知识点】
二次根式乘除运算、最简二次根式化简
【点评】
本题属于二次根式乘除的基础运算题，解题时可灵活选择运算方法，既可以先统一运算到根号内计算被开方数的乘除再化简，也可以先化简各根式再运算，注意最终结果必须化为最简形式，运算过程要遵循从左到右的运算顺序。
【难度系数】
0.8
13.化简:$\frac{2}{3}\sqrt{16a} ÷ (-\frac{2}{3}\sqrt{ab}) × \frac{1}{6}\sqrt{4b}(a＞0,b＞0).$
答案
13.解:$\dfrac{2}{3}\sqrt{16a} ÷ (-\dfrac{2}{3}\sqrt{ab}) × \dfrac{1}{6}\sqrt{4b}=\dfrac{8\sqrt{a}}{3} ÷ (-\dfrac{2}{3}\sqrt{ab}) × \dfrac{\sqrt{b}}{3}=\dfrac{8\sqrt{a}}{3} × (-\dfrac{3}{2\sqrt{ab}}) × \dfrac{\sqrt{b}}{3}=-\dfrac{4}{3}$.
解析
【分析】
本题是二次根式的乘除混合运算，解题思路如下：1. 先明确运算顺序：乘除为同级运算，按从左到右的顺序计算；2. 运算时可先将每个二次根式化为最简二次根式，再将除法转化为乘法计算；3. 计算过程中可将系数和含根号的部分分别约分，最终化简得到结果，题目给出a＞0、b＞0，无需考虑根号下为负或分母为0的情况。
【解析】
解：先将各二次根式化为最简形式：
$\frac{2}{3}\sqrt{16a}=\frac{2}{3}×4\sqrt{a}=\frac{8\sqrt{a}}{3}$，$\frac{1}{6}\sqrt{4b}=\frac{1}{6}×2\sqrt{b}=\frac{\sqrt{b}}{3}$
代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=\frac{8\sqrt{a}}{3} ÷ (-\frac{2}{3}\sqrt{ab}) × \frac{\sqrt{b}}{3}\\&=\frac{8\sqrt{a}}{3} × (-\frac{3}{2\sqrt{ab}}) × \frac{\sqrt{b}}{3}\\&=-\frac{8×3×\sqrt{a}×\sqrt{b}}{3×2×3×\sqrt{ab}}\\&=-\frac{24\sqrt{ab}}{18\sqrt{ab}}\\&=-\frac{4}{3}\end{aligned}$
【答案】
$-\dfrac{4}{3}$
【知识点】
二次根式乘除运算、二次根式化简、约分
【点评】
本题属于二次根式运算的基础题型，核心是掌握二次根式乘除的运算规则，解题时要注意符号的判断，优先确定结果符号可降低出错概率，计算过程中合理约分能简化运算步骤。
【难度系数】
0.7
本题是二次根式的乘除混合运算，解题思路如下：1. 先明确运算顺序：乘除为同级运算，按从左到右的顺序计算；2. 运算时可先将每个二次根式化为最简二次根式，再将除法转化为乘法计算；3. 计算过程中可将系数和含根号的部分分别约分，最终化简得到结果，题目给出a＞0、b＞0，无需考虑根号下为负或分母为0的情况。
【解析】
解：先将各二次根式化为最简形式：
$\frac{2}{3}\sqrt{16a}=\frac{2}{3}×4\sqrt{a}=\frac{8\sqrt{a}}{3}$，$\frac{1}{6}\sqrt{4b}=\frac{1}{6}×2\sqrt{b}=\frac{\sqrt{b}}{3}$
代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=\frac{8\sqrt{a}}{3} ÷ (-\frac{2}{3}\sqrt{ab}) × \frac{\sqrt{b}}{3}\\&=\frac{8\sqrt{a}}{3} × (-\frac{3}{2\sqrt{ab}}) × \frac{\sqrt{b}}{3}\\&=-\frac{8×3×\sqrt{a}×\sqrt{b}}{3×2×3×\sqrt{ab}}\\&=-\frac{24\sqrt{ab}}{18\sqrt{ab}}\\&=-\frac{4}{3}\end{aligned}$
【答案】
$-\dfrac{4}{3}$
【知识点】
二次根式乘除运算、二次根式化简、约分
【点评】
本题属于二次根式运算的基础题型，核心是掌握二次根式乘除的运算规则，解题时要注意符号的判断，优先确定结果符号可降低出错概率，计算过程中合理约分能简化运算步骤。
【难度系数】
0.7
14.若$\sqrt{24n}$是整数,则正整数$n$的最小值是 （
A.4
B.5
C.6
D.7
C
）A.4
B.5
C.6
D.7
答案
14.C
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确核心规律：若二次根式的计算结果是整数，则根号下的被开方数一定是可以开尽方的完全平方数。解题思路如下：第一步先对根号内的24进行因数分解，把能直接开方的部分先提取出来，简化式子；第二步根据完全平方数的质因数次数均为偶数的特征，判断剩余部分需要补充的质因数，就能得到最小的正整数n。
【解析】
解：先对二次根式进行化简：
$\sqrt{24n}=\sqrt{4×6n}=\sqrt{4}×\sqrt{6n}=2\sqrt{6n}$
已知$\sqrt{24n}$是整数，2本身是整数，因此$\sqrt{6n}$必须是整数，即6n是完全平方数。
将6分解质因数得$6=2×3$，要使6n为完全平方数，n至少需要补充质因数2和3，因此正整数n的最小值为$2×3=6$。
【答案】
C
【知识点】
二次根式的化简；完全平方数的特征
【点评】
本题是二次根式相关的基础常考题，解题的核心是掌握“二次根式结果为整数时，被开方数是完全平方数”的规律，通过分解质因数快速确定需要补充的因数即可求解。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先明确核心规律：若二次根式的计算结果是整数，则根号下的被开方数一定是可以开尽方的完全平方数。解题思路如下：第一步先对根号内的24进行因数分解，把能直接开方的部分先提取出来，简化式子；第二步根据完全平方数的质因数次数均为偶数的特征，判断剩余部分需要补充的质因数，就能得到最小的正整数n。
【解析】
解：先对二次根式进行化简：
$\sqrt{24n}=\sqrt{4×6n}=\sqrt{4}×\sqrt{6n}=2\sqrt{6n}$
已知$\sqrt{24n}$是整数，2本身是整数，因此$\sqrt{6n}$必须是整数，即6n是完全平方数。
将6分解质因数得$6=2×3$，要使6n为完全平方数，n至少需要补充质因数2和3，因此正整数n的最小值为$2×3=6$。
【答案】
C
【知识点】
二次根式的化简；完全平方数的特征
【点评】
本题是二次根式相关的基础常考题，解题的核心是掌握“二次根式结果为整数时，被开方数是完全平方数”的规律，通过分解质因数快速确定需要补充的因数即可求解。
【难度系数】
0.8
15.如果一个二次根式与$\sqrt{x-y}$相乘的积不含有根号,那么这个二次根式可以是________(只需写一个).
答案
15.$\sqrt{x-y}$（答案不唯一）
解析
【分析】
首先明确题目要求：需要找一个二次根式，和$\sqrt{x-y}$相乘的积不含根号，本质是寻找$\sqrt{x-y}$的有理化因式。根据我们学过的二次根式乘法性质，两个相同的二次根式相乘，结果等于被开方数（被开方数非负），没有根号，因此最简单的符合要求的二次根式就是$\sqrt{x-y}$本身，也可以取它的正有理数倍的二次根式，答案不唯一。
【解析】
根据二次根式的乘法法则：$\sqrt{a} · \sqrt{a}=a$（$a≥0$），取所求二次根式为$\sqrt{x-y}$，计算乘积：
$\sqrt{x-y} · \sqrt{x-y}=(\sqrt{x-y})^2=x-y$
所得结果$x-y$不含根号，且$\sqrt{x-y}$是二次根式，符合题目要求。
【答案】
$\sqrt{x-y}$（答案不唯一）
【知识点】
二次根式的乘法、有理化因式
【点评】
本题考查二次根式有理化的相关知识，属于基础题型，只要熟练掌握二次根式的乘法运算性质即可快速解答，注意答案不唯一，只要满足乘积不含根号的二次根式均符合要求。
【难度系数】
0.9
首先明确题目要求：需要找一个二次根式，和$\sqrt{x-y}$相乘的积不含根号，本质是寻找$\sqrt{x-y}$的有理化因式。根据我们学过的二次根式乘法性质，两个相同的二次根式相乘，结果等于被开方数（被开方数非负），没有根号，因此最简单的符合要求的二次根式就是$\sqrt{x-y}$本身，也可以取它的正有理数倍的二次根式，答案不唯一。
【解析】
根据二次根式的乘法法则：$\sqrt{a} · \sqrt{a}=a$（$a≥0$），取所求二次根式为$\sqrt{x-y}$，计算乘积：
$\sqrt{x-y} · \sqrt{x-y}=(\sqrt{x-y})^2=x-y$
所得结果$x-y$不含根号，且$\sqrt{x-y}$是二次根式，符合题目要求。
【答案】
$\sqrt{x-y}$（答案不唯一）
【知识点】
二次根式的乘法、有理化因式
【点评】
本题考查二次根式有理化的相关知识，属于基础题型，只要熟练掌握二次根式的乘法运算性质即可快速解答，注意答案不唯一，只要满足乘积不含根号的二次根式均符合要求。
【难度系数】
0.9
16. 已知实数 $ a $ 满足 $ |2025 - a| + \sqrt{a - 2026} = a $。
(1) $ a $ 的取值范围为 ______；
(2) $ a - 2025^2 $ 的值为 ______。
(1) $ a $ 的取值范围为 ______；
(2) $ a - 2025^2 $ 的值为 ______。
答案
16.(1)$a≥ 2\ 026$ (2)$2\ 026$
解析
【分析】
第(1)问：求解a的取值范围，需结合二次根式有意义的条件分析，二次根式的被开方数必须为非负数，据此列不等式即可得到结果。第(2)问：先根据a的取值范围判断绝对值内代数式2025-a的正负，再依据绝对值的性质去掉绝对值符号，代入原式化简后，通过平方运算去掉根号，整理即可求出目标式的值。
【解析】
(1) 二次根式$\sqrt{a-2026}$有意义的条件是被开方数非负，因此可得：
$a-2026≥0$
解得$a≥2026$。
(2) 由(1)可知$a≥2026$，因此$2025-a＜0$，根据负数的绝对值等于它的相反数，得$|2025-a|=a-2025$。
将上式代入原方程，可得：
$a-2025+\sqrt{a-2026}=a$
两边同时减去$a$，化简得：
$\sqrt{a-2026}=2025$
等式两边同时平方，去掉根号得：
$a-2026=2025^2$
移项整理得：
$a-2025^2=2026$。
【答案】
(1)$a≥ 2026$ (2)$2026$
【知识点】
二次根式有意义的条件、绝对值的性质、二次根式化简
【点评】
本题是二次根式与绝对值结合的常考基础题，解题的关键是先利用二次根式有意义的条件确定字母的取值范围，再去绝对值化简计算，考查学生对基础性质的掌握和运算能力。
【难度系数】
0.7
第(1)问：求解a的取值范围，需结合二次根式有意义的条件分析，二次根式的被开方数必须为非负数，据此列不等式即可得到结果。第(2)问：先根据a的取值范围判断绝对值内代数式2025-a的正负，再依据绝对值的性质去掉绝对值符号，代入原式化简后，通过平方运算去掉根号，整理即可求出目标式的值。
【解析】
(1) 二次根式$\sqrt{a-2026}$有意义的条件是被开方数非负，因此可得：
$a-2026≥0$
解得$a≥2026$。
(2) 由(1)可知$a≥2026$，因此$2025-a＜0$，根据负数的绝对值等于它的相反数，得$|2025-a|=a-2025$。
将上式代入原方程，可得：
$a-2025+\sqrt{a-2026}=a$
两边同时减去$a$，化简得：
$\sqrt{a-2026}=2025$
等式两边同时平方，去掉根号得：
$a-2026=2025^2$
移项整理得：
$a-2025^2=2026$。
【答案】
(1)$a≥ 2026$ (2)$2026$
【知识点】
二次根式有意义的条件、绝对值的性质、二次根式化简
【点评】
本题是二次根式与绝对值结合的常考基础题，解题的关键是先利用二次根式有意义的条件确定字母的取值范围，再去绝对值化简计算，考查学生对基础性质的掌握和运算能力。
【难度系数】
0.7
17. 已知$|1-x|-\sqrt{x^2 - 8x + 16}=2x - 5$，求$x$的取值范围.
答案
17.解:由已知,得等式的左边$=|1-x|-\sqrt{(x-4)^2}=|1-x|-|x-4|$,右边$=2x-5$.
只有$|1-x|=x-1$,$|x-4|=4-x$时,左边$=$右边.
这时$\begin{cases} 1-x≤ 0,\\ x-4≤ 0, \end{cases}$解得$1≤ x≤ 4$.$\therefore x$的取值范围是$1≤ x≤ 4$.
只有$|1-x|=x-1$,$|x-4|=4-x$时,左边$=$右边.
这时$\begin{cases} 1-x≤ 0,\\ x-4≤ 0, \end{cases}$解得$1≤ x≤ 4$.$\therefore x$的取值范围是$1≤ x≤ 4$.
解析
【分析】
解题时首先观察到等式左边含有二次根式，根据二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$，先将根号内的完全平方式化简，把左边转化为两个绝对值的差的形式。接下来对比等式右边的一次式，分析绝对值去号后的符号：要使两个绝对值的差化简后等于$2x-5$，可推导得$|1-x|$需化简为$x-1$，$|x-4|$需化简为$4-x$。再根据绝对值的性质（$|a|=a$时$a≥0$，$|a|=-a$时$a≤0$）列出不等式组，求解不等式组即可得到$x$的取值范围。
【解析】
先化简等式左边：
$\vert1-x\vert-\sqrt{x^2 - 8x + 16}=\vert1-x\vert-\sqrt{(x-4)^2}=\vert1-x\vert-\vert x-4\vert$
已知等式右边为$2x-5$，要使左边等于右边，需满足：
$\vert1-x\vert=x-1$，$\vert x-4\vert=4-x$
根据绝对值的性质列不等式组：
$\begin{cases} 1-x≤ 0\\ x-4≤ 0 \end{cases}$
解第一个不等式得$x≥1$，解第二个不等式得$x≤4$，因此不等式组的解集为$1≤ x≤4$。
【答案】
$1≤ x≤4$
【知识点】
二次根式的性质；绝对值的化简；一元一次不等式组的解法
【点评】
本题是代数式化简与不等式结合的常见基础题，解题关键是熟练掌握二次根式和绝对值的化简规则，通过对比等式两边的形式确定绝对值去号的符号条件，求解时注意不要遗漏等号的取值情况。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察到等式左边含有二次根式，根据二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$，先将根号内的完全平方式化简，把左边转化为两个绝对值的差的形式。接下来对比等式右边的一次式，分析绝对值去号后的符号：要使两个绝对值的差化简后等于$2x-5$，可推导得$|1-x|$需化简为$x-1$，$|x-4|$需化简为$4-x$。再根据绝对值的性质（$|a|=a$时$a≥0$，$|a|=-a$时$a≤0$）列出不等式组，求解不等式组即可得到$x$的取值范围。
【解析】
先化简等式左边：
$\vert1-x\vert-\sqrt{x^2 - 8x + 16}=\vert1-x\vert-\sqrt{(x-4)^2}=\vert1-x\vert-\vert x-4\vert$
已知等式右边为$2x-5$，要使左边等于右边，需满足：
$\vert1-x\vert=x-1$，$\vert x-4\vert=4-x$
根据绝对值的性质列不等式组：
$\begin{cases} 1-x≤ 0\\ x-4≤ 0 \end{cases}$
解第一个不等式得$x≥1$，解第二个不等式得$x≤4$，因此不等式组的解集为$1≤ x≤4$。
【答案】
$1≤ x≤4$
【知识点】
二次根式的性质；绝对值的化简；一元一次不等式组的解法
【点评】
本题是代数式化简与不等式结合的常见基础题，解题关键是熟练掌握二次根式和绝对值的化简规则，通过对比等式两边的形式确定绝对值去号的符号条件，求解时注意不要遗漏等号的取值情况。
【难度系数】
0.7
