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12. 小明和朱老师一起到一条笔直的跑道上锻炼身体，到达起点后小明做了一会儿准备活动，朱老师先跑. 当小明出发时，朱老师已经离起点 200 m 了. 他们离起点的距离 s(单位:m)与小明出发的时间 t(单位:s)之间的关系如图所示(不完整). 根据图中给出的信息，解答下列问题：
(1)朱老师的速度为
(2)当小明第一次追上朱老师时，小明离起点的距离是多少米？
(1)朱老师的速度为
2
m/s，小明在 OD 段的速度为6
m/s；(2)当小明第一次追上朱老师时，小明离起点的距离是多少米？
答案
12.解:(1)2 6
(2)设$t$ s时,小明第一次追上朱老师,根据题意,得$6t=200+2t$.解得$t=50$.
则$50×6=300(\mathrm{m})$.
$\therefore$当小明第一次追上朱老师时,小明离起点的距离为300 m.
(2)设$t$ s时,小明第一次追上朱老师,根据题意,得$6t=200+2t$.解得$t=50$.
则$50×6=300(\mathrm{m})$.
$\therefore$当小明第一次追上朱老师时,小明离起点的距离为300 m.
解析
【分析】
对于(1)，先分析图像信息：小明出发时（t=0）朱老师已距起点200m，t=110s时朱老师距起点420m，可通过这段时间朱老师跑的路程和对应时间计算他的速度；小明在OD段70s跑了420m，同样用路程除以时间即可得到小明的速度。对于(2)，小明第一次追上朱老师时，两人距起点的距离相等，据此列出等量关系：小明行驶的路程=朱老师初始距离+朱老师行驶的路程，列方程求解后再计算小明离起点的距离即可。
【解析】
(1) 朱老师的速度：110s内朱老师跑的路程为$420-200=220\mathrm{m}$，因此速度为$220÷110=2\mathrm{m/s}$；
小明在OD段的速度：70s内小明跑了420m，因此速度为$420÷70=6\mathrm{m/s}$。
(2) 设小明出发$t$ s时第一次追上朱老师，此时两人距起点的距离相等，可列方程：
$6t=200+2t$
移项计算得$4t=200$，解得$t=50$。
此时小明离起点的距离为$6×50=300\mathrm{m}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{2}$；$\boldsymbol{6}$
(2) $\boldsymbol{300\mathrm{m}}$
【知识点】
s-t图像解读，行程追及问题，一元一次方程应用
【点评】
本题结合路程-时间图像考查行程追及问题，解题的关键是从图像中提取两人的运动时间、路程等有效信息，明确追及问题中路程相等的核心等量关系，考查学生的图像分析能力和方程思想的运用能力。
【难度系数】
0.7
对于(1)，先分析图像信息：小明出发时（t=0）朱老师已距起点200m，t=110s时朱老师距起点420m，可通过这段时间朱老师跑的路程和对应时间计算他的速度；小明在OD段70s跑了420m，同样用路程除以时间即可得到小明的速度。对于(2)，小明第一次追上朱老师时，两人距起点的距离相等，据此列出等量关系：小明行驶的路程=朱老师初始距离+朱老师行驶的路程，列方程求解后再计算小明离起点的距离即可。
【解析】
(1) 朱老师的速度：110s内朱老师跑的路程为$420-200=220\mathrm{m}$，因此速度为$220÷110=2\mathrm{m/s}$；
小明在OD段的速度：70s内小明跑了420m，因此速度为$420÷70=6\mathrm{m/s}$。
(2) 设小明出发$t$ s时第一次追上朱老师，此时两人距起点的距离相等，可列方程：
$6t=200+2t$
移项计算得$4t=200$，解得$t=50$。
此时小明离起点的距离为$6×50=300\mathrm{m}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{2}$；$\boldsymbol{6}$
(2) $\boldsymbol{300\mathrm{m}}$
【知识点】
s-t图像解读，行程追及问题，一元一次方程应用
【点评】
本题结合路程-时间图像考查行程追及问题，解题的关键是从图像中提取两人的运动时间、路程等有效信息，明确追及问题中路程相等的核心等量关系，考查学生的图像分析能力和方程思想的运用能力。
【难度系数】
0.7
13. 如图所示,在边长为4的正方形ABCD的边上有一个动点P,点P从点A出发沿A—B—C—D—A的路径运动一周,回到点A,周而复始.设点P运动的路程为x,三角形PAC的面积为y.请结合图象分析:
(1)当$0{≤}x{≤}4$时,y关于x的函数解析式为________;
(2)当$x=2\ 025$时,y的值为________.
(1)当$0{≤}x{≤}4$时,y关于x的函数解析式为________;
(2)当$x=2\ 025$时,y的值为________.
答案
13.(1)$y=2x$ (2)2
解析
【分析】
解决第(1)问时，先判断0≤x≤4时点P的位置：此时P在AB边上运动，△PAC的底AP等于点P的运动路程x，高为正方形的边长4，直接用三角形面积公式就能推导函数解析式。解决第(2)问时，首先明确点P的运动周期：正方形周长为16，即每运动16个单位路程，P就回到起点A重复运动，先计算2025除以16的余数，找到x=2025对应一个周期内的路程值，再代入对应区间的面积公式计算y即可。
【解析】
(1)当$0≤ x≤4$时，点P在AB边上，$AP=x$，正方形边长为4。
$△ PAC$以AP为底，BC的长度为高，根据三角形面积公式：
$y=\frac{1}{2}× AP× BC=\frac{1}{2}× x×4=2x$。
(2)正方形ABCD的周长为$4×4=16$，即点P的运动周期为16。
计算$2025÷16=126······9$，即x=2025对应一个周期内$x=9$的情况。
当$8＜x≤12$时，点P在CD边上，$CP=x-8$，$△ PAC$以CP为底，AD的长度为高，面积：
$y=\frac{1}{2}× CP× AD=\frac{1}{2}×(x-8)×4=2(x-8)$
将$x=9$代入得：$y=2×(9-8)=2$。
【答案】
(1)$y=2x$；(2)2
【知识点】
动点函数图象，三角形面积计算，周期规律
【点评】
本题结合动点运动过程考查了分段函数解析式的推导和周期规律的应用，解题的核心是准确判断不同路程区间内动点的位置，结合几何图形性质计算面积，遇到大数时利用周期规律简化计算。
【难度系数】
0.7
解决第(1)问时，先判断0≤x≤4时点P的位置：此时P在AB边上运动，△PAC的底AP等于点P的运动路程x，高为正方形的边长4，直接用三角形面积公式就能推导函数解析式。解决第(2)问时，首先明确点P的运动周期：正方形周长为16，即每运动16个单位路程，P就回到起点A重复运动，先计算2025除以16的余数，找到x=2025对应一个周期内的路程值，再代入对应区间的面积公式计算y即可。
【解析】
(1)当$0≤ x≤4$时，点P在AB边上，$AP=x$，正方形边长为4。
$△ PAC$以AP为底，BC的长度为高，根据三角形面积公式：
$y=\frac{1}{2}× AP× BC=\frac{1}{2}× x×4=2x$。
(2)正方形ABCD的周长为$4×4=16$，即点P的运动周期为16。
计算$2025÷16=126······9$，即x=2025对应一个周期内$x=9$的情况。
当$8＜x≤12$时，点P在CD边上，$CP=x-8$，$△ PAC$以CP为底，AD的长度为高，面积：
$y=\frac{1}{2}× CP× AD=\frac{1}{2}×(x-8)×4=2(x-8)$
将$x=9$代入得：$y=2×(9-8)=2$。
【答案】
(1)$y=2x$；(2)2
【知识点】
动点函数图象，三角形面积计算，周期规律
【点评】
本题结合动点运动过程考查了分段函数解析式的推导和周期规律的应用，解题的核心是准确判断不同路程区间内动点的位置，结合几何图形性质计算面积，遇到大数时利用周期规律简化计算。
【难度系数】
0.7
14.某工厂一车间需加工一批零件,甲组工人加工中因故停产检修机器一次,然后以原来的速度继续加工.由于时间紧、任务重,乙组工人也加入共同加工零件.如图所示,$l_1,l_2$分别表示甲、乙两组工人加工零件的数量$x$(单位:个)与甲组工人加工零件的时间$t$(单位:h)之间的关系.根据图象回答下列问题:
(1)甲组工人检修机器的时长为________h;
(2)甲组工人在检修机器前平均每小时加工零件________个,乙组工人平均每小时加工零件________个;
(3)求$a$的值.
(1)甲组工人检修机器的时长为________h;
(2)甲组工人在检修机器前平均每小时加工零件________个,乙组工人平均每小时加工零件________个;
(3)求$a$的值.
答案
14.(1)1 (2)40 120
(3)解:根据函数图象,可知$a=120+40×(8-4)=280$.
(3)解:根据函数图象,可知$a=120+40×(8-4)=280$.
解析
【分析】
解题时首先要明确横轴、纵轴代表的实际意义，结合图像分段分析甲、乙的工作状态：
1. 甲组检修时加工零件数量不变，对应图像的水平线段，用结束时间减开始时间即可得到检修时长；
2. 检修前的工作效率用检修前的总工作量除以对应工作时间计算；乙组从t=5h开始工作，到t=8h完成360个，用总工作量除以乙的工作时间即可得到乙的效率；
3. 求a的值即求甲组8h加工的总零件数，已知甲检修后效率不变，先计算检修后工作的时长和对应工作量，加上检修前的120个即可得到a。
【解析】
(1) 甲组检修时加工零件数量不变，对应图像中t=3h到t=4h的水平线段，检修时长为$4-3=1$h；
(2) 甲组检修前3h加工了120个零件，平均每小时加工$120÷3=40$个；
乙组从t=5h开始加工，到t=8h共工作了$8-5=3$h，总零件数为360个，平均每小时加工$360÷3=120$个；
(3) 甲组检修后工作效率和之前相同，仍为40个/小时，从t=4h到t=8h共工作了$8-4=4$h，这段时间加工零件数为$40×4=160$个，因此$a=120+160=280$。
【答案】
(1)$1$
(2)$40$；$120$
(3)$a=280$
【知识点】
函数图象信息提取，工程问题计算，一次函数实际应用
【点评】
本题结合实际工作场景考查函数图象的应用，解题核心是准确理解图像中每段线段对应的实际工作状态，再结合工作总量、工作效率、工作时间三者的关系计算即可，注重对信息读取能力和基础计算能力的考查。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确横轴、纵轴代表的实际意义，结合图像分段分析甲、乙的工作状态：
1. 甲组检修时加工零件数量不变，对应图像的水平线段，用结束时间减开始时间即可得到检修时长；
2. 检修前的工作效率用检修前的总工作量除以对应工作时间计算；乙组从t=5h开始工作，到t=8h完成360个，用总工作量除以乙的工作时间即可得到乙的效率；
3. 求a的值即求甲组8h加工的总零件数，已知甲检修后效率不变，先计算检修后工作的时长和对应工作量，加上检修前的120个即可得到a。
【解析】
(1) 甲组检修时加工零件数量不变，对应图像中t=3h到t=4h的水平线段，检修时长为$4-3=1$h；
(2) 甲组检修前3h加工了120个零件，平均每小时加工$120÷3=40$个；
乙组从t=5h开始加工，到t=8h共工作了$8-5=3$h，总零件数为360个，平均每小时加工$360÷3=120$个；
(3) 甲组检修后工作效率和之前相同，仍为40个/小时，从t=4h到t=8h共工作了$8-4=4$h，这段时间加工零件数为$40×4=160$个，因此$a=120+160=280$。
【答案】
(1)$1$
(2)$40$；$120$
(3)$a=280$
【知识点】
函数图象信息提取，工程问题计算，一次函数实际应用
【点评】
本题结合实际工作场景考查函数图象的应用，解题核心是准确理解图像中每段线段对应的实际工作状态，再结合工作总量、工作效率、工作时间三者的关系计算即可，注重对信息读取能力和基础计算能力的考查。
【难度系数】
0.8
