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7. 已知$x,y$满足方程组$\begin{cases} x+2y=2, \\ 2x+3y=7, \end{cases}$则$x+y$的值为________.
答案
7.5
解析
【分析】
本题要求x+y的值，有两种解题思路：思路一，先按照二元一次方程组的常规解法，求出x和y的具体值，再代入计算x+y；思路二，观察两个方程的系数特征，发现第二个方程减去第一个方程后，刚好可以直接得到x+y的表达式，无需单独求解x、y，计算更简便，两种方法均符合学段知识要求。
【解析】
方法一：
记方程组$\begin{cases} x+2y=2&①, \\ 2x+3y=7&②, \end{cases}$
由①得：$x=2-2y$，将其代入②：
$2(2-2y)+3y=7$
展开得：$4-4y+3y=7$
合并同类项得：$4-y=7$
解得：$y=-3$
把$y=-3$代入①：$x+2×(-3)=2$，解得$x=8$
所以$x+y=8+(-3)=5$
方法二：
记方程组$\begin{cases} x+2y=2&①, \\ 2x+3y=7&②, \end{cases}$
用②$-$①得：
$(2x+3y)-(x+2y)=7-2$
化简得：$x+y=5$
【答案】
5
【知识点】
二元一次方程组解法，代数式求值，整体思想
【点评】
本题既可以用常规解二元一次方程组的方法求解，也可以通过观察系数特点用整体思想快速得出结果，主要考查基础计算能力，做题时注意观察方程特征可以提高解题效率。
【难度系数】
0.8
本题要求x+y的值，有两种解题思路：思路一，先按照二元一次方程组的常规解法，求出x和y的具体值，再代入计算x+y；思路二，观察两个方程的系数特征，发现第二个方程减去第一个方程后，刚好可以直接得到x+y的表达式，无需单独求解x、y，计算更简便，两种方法均符合学段知识要求。
【解析】
方法一：
记方程组$\begin{cases} x+2y=2&①, \\ 2x+3y=7&②, \end{cases}$
由①得：$x=2-2y$，将其代入②：
$2(2-2y)+3y=7$
展开得：$4-4y+3y=7$
合并同类项得：$4-y=7$
解得：$y=-3$
把$y=-3$代入①：$x+2×(-3)=2$，解得$x=8$
所以$x+y=8+(-3)=5$
方法二：
记方程组$\begin{cases} x+2y=2&①, \\ 2x+3y=7&②, \end{cases}$
用②$-$①得：
$(2x+3y)-(x+2y)=7-2$
化简得：$x+y=5$
【答案】
5
【知识点】
二元一次方程组解法，代数式求值，整体思想
【点评】
本题既可以用常规解二元一次方程组的方法求解，也可以通过观察系数特点用整体思想快速得出结果，主要考查基础计算能力，做题时注意观察方程特征可以提高解题效率。
【难度系数】
0.8
8. 已知$\dfrac{x+y}{2}-\dfrac{x-y}{3}=1$，用含$x$的代数式表示$y$为$\_\_\_\_\_\_$.
答案
8.$y=\dfrac{6-x}{5}$
解析
【分析】
本题要求将给定的二元一次方程变形为用含x的代数式表示y的形式，解题思路遵循解方程的常规步骤：首先去分母消除分数，简化计算；再去括号注意符号变化；接着将含y的项移到方程左侧，其余项移到右侧，合并同类项；最后将y的系数化为1即可得到结果。
【解析】
解：原方程为$\dfrac{x+y}{2}-\dfrac{x-y}{3}=1$
第一步：去分母，方程两边同时乘2和3的最小公倍数6，得：
$3(x+y)-2(x-y)=6$
第二步：去括号，注意括号前是负号时括号内各项要变号：
$3x+3y-2x+2y=6$
第三步：合并同类项：
$x+5y=6$
第四步：移项，将含x的项移到等号右侧，移项要变号：
$5y=6-x$
第五步：系数化为1，两边同时除以5：
$y=\dfrac{6-x}{5}$
【答案】
$y=\dfrac{6-x}{5}$
【知识点】
去分母运算，移项合并同类项，方程变形
【点评】
本题属于基础运算题，核心考察方程变形的基本技能，解题时需要注意去分母时不要漏乘不含分母的常数项，去括号、移项时要注意符号的变化，熟练掌握解方程的基本步骤就能快速解答。
【难度系数】
0.7
本题要求将给定的二元一次方程变形为用含x的代数式表示y的形式，解题思路遵循解方程的常规步骤：首先去分母消除分数，简化计算；再去括号注意符号变化；接着将含y的项移到方程左侧，其余项移到右侧，合并同类项；最后将y的系数化为1即可得到结果。
【解析】
解：原方程为$\dfrac{x+y}{2}-\dfrac{x-y}{3}=1$
第一步：去分母，方程两边同时乘2和3的最小公倍数6，得：
$3(x+y)-2(x-y)=6$
第二步：去括号，注意括号前是负号时括号内各项要变号：
$3x+3y-2x+2y=6$
第三步：合并同类项：
$x+5y=6$
第四步：移项，将含x的项移到等号右侧，移项要变号：
$5y=6-x$
第五步：系数化为1，两边同时除以5：
$y=\dfrac{6-x}{5}$
【答案】
$y=\dfrac{6-x}{5}$
【知识点】
去分母运算，移项合并同类项，方程变形
【点评】
本题属于基础运算题，核心考察方程变形的基本技能，解题时需要注意去分母时不要漏乘不含分母的常数项，去括号、移项时要注意符号的变化，熟练掌握解方程的基本步骤就能快速解答。
【难度系数】
0.7
9.中国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样一个题目：“九百九十九文钱，甜果苦果买一千，四文钱买苦果七，十一文钱九个甜，甜苦两果各几个？”其大意为：用九百九十九文钱共买了一千个苦果和甜果，其中四文钱可以买苦果七个，十一文钱可以买甜果九个.问：苦、甜果各有几个？设苦果有$ x $个，甜果有$ y $个，则可列方程组为________.
答案
9.$\begin{cases} x+y=1\ 000, \\ \dfrac{4}{7}x+\dfrac{11}{9}y=999 \end{cases}$
解析
【分析】
解决此类列方程组的问题，核心是先找到题目中两个独立的等量关系。本题有两个明确的总量：一是甜果和苦果的总数量为1000个，二是购买两种果子的总花费为999文。首先根据总数量的关系写出第一个方程；再先算出单个苦果、甜果的单价，结合“总花费=苦果总花费+甜果总花费”的关系写出第二个方程，联立两个方程即可得到所求方程组。
【解析】
1. 由甜果和苦果一共1000个，已知苦果有$x$个，甜果有$y$个，可列第一个方程：
$x+y=1000$
2. 计算两种果子的单价：
4文钱买7个苦果，1个苦果价格为$\frac{4}{7}$文，$x$个苦果总花费为$\frac{4}{7}x$文；
11文钱买9个甜果，1个甜果价格为$\frac{11}{9}$文，$y$个甜果总花费为$\frac{11}{9}y$文。
3. 由总花费为999文，可列第二个方程：
$\dfrac{4}{7}x+\dfrac{11}{9}y=999$
4. 联立两个方程即可得到方程组。
【答案】
$\begin{cases} x+y=1\ 000, \\ \dfrac{4}{7}x+\dfrac{11}{9}y=999 \end{cases}$
【知识点】
实际问题抽象二元一次方程组，总价=单价×数量
【点评】
本题取材于中国古代数学著作，趣味性较强，解题关键是读懂题意，准确提取数量和花费两个维度的等量关系，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.8
解决此类列方程组的问题，核心是先找到题目中两个独立的等量关系。本题有两个明确的总量：一是甜果和苦果的总数量为1000个，二是购买两种果子的总花费为999文。首先根据总数量的关系写出第一个方程；再先算出单个苦果、甜果的单价，结合“总花费=苦果总花费+甜果总花费”的关系写出第二个方程，联立两个方程即可得到所求方程组。
【解析】
1. 由甜果和苦果一共1000个，已知苦果有$x$个，甜果有$y$个，可列第一个方程：
$x+y=1000$
2. 计算两种果子的单价：
4文钱买7个苦果，1个苦果价格为$\frac{4}{7}$文，$x$个苦果总花费为$\frac{4}{7}x$文；
11文钱买9个甜果，1个甜果价格为$\frac{11}{9}$文，$y$个甜果总花费为$\frac{11}{9}y$文。
3. 由总花费为999文，可列第二个方程：
$\dfrac{4}{7}x+\dfrac{11}{9}y=999$
4. 联立两个方程即可得到方程组。
【答案】
$\begin{cases} x+y=1\ 000, \\ \dfrac{4}{7}x+\dfrac{11}{9}y=999 \end{cases}$
【知识点】
实际问题抽象二元一次方程组，总价=单价×数量
【点评】
本题取材于中国古代数学著作，趣味性较强，解题关键是读懂题意，准确提取数量和花费两个维度的等量关系，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.8
10. 写出一个二元一次方程组,使它的解为$\begin{cases} x=2, \\ y=-1, \end{cases}$该方程组可以是________.
答案
10.$\begin{cases} x+y=1, \\ x-y=3 \end{cases}$(答案不唯一)
解析
【分析】
我们需要先明确二元一次方程组解的含义：如果一组未知数的值是方程组的解，那么把这组值代入方程组的每一个方程，都能让方程左右两边相等。因此构造符合要求的方程组的思路很简单：围绕$x=2$、$y=-1$，写出两个不同的、同时含有x和y的一次等式，再把这两个等式组合即可。最简便的构造方式是对x和y做加减运算，得到两个不同的等式。
【解析】
1. 根据二元一次方程组解的性质，将$x=2$、$y=-1$代入要构造的方程时，等式一定成立。
2. 构造第一个二元一次方程：计算x与y的和，得$x+y=2+(-1)=1$，即第一个方程为$x+y=1$。
3. 构造第二个二元一次方程：计算x与y的差，得$x-y=2-(-1)=3$，即第二个方程为$x-y=3$。
4. 将两个方程组合即可得到符合要求的方程组。除此之外，只要构造的方程是二元一次方程，且代入$x=2,y=-1$后等式成立，都满足要求，因此本题答案不唯一。
【答案】
$\begin{cases} x+y=1, \\ x-y=3 \end{cases}$(答案不唯一)
【知识点】
1. 二元一次方程组的解
2. 二元一次方程的定义
【点评】
本题属于开放性基础题，核心考查对二元一次方程组解的概念的理解与运用，解题时注意构造的方程要同时满足两个条件：一是为二元一次方程，二是代入给定的解后等式成立，解题灵活度较高。
【难度系数】
0.8
我们需要先明确二元一次方程组解的含义：如果一组未知数的值是方程组的解，那么把这组值代入方程组的每一个方程，都能让方程左右两边相等。因此构造符合要求的方程组的思路很简单：围绕$x=2$、$y=-1$，写出两个不同的、同时含有x和y的一次等式，再把这两个等式组合即可。最简便的构造方式是对x和y做加减运算，得到两个不同的等式。
【解析】
1. 根据二元一次方程组解的性质，将$x=2$、$y=-1$代入要构造的方程时，等式一定成立。
2. 构造第一个二元一次方程：计算x与y的和，得$x+y=2+(-1)=1$，即第一个方程为$x+y=1$。
3. 构造第二个二元一次方程：计算x与y的差，得$x-y=2-(-1)=3$，即第二个方程为$x-y=3$。
4. 将两个方程组合即可得到符合要求的方程组。除此之外，只要构造的方程是二元一次方程，且代入$x=2,y=-1$后等式成立，都满足要求，因此本题答案不唯一。
【答案】
$\begin{cases} x+y=1, \\ x-y=3 \end{cases}$(答案不唯一)
【知识点】
1. 二元一次方程组的解
2. 二元一次方程的定义
【点评】
本题属于开放性基础题，核心考查对二元一次方程组解的概念的理解与运用，解题时注意构造的方程要同时满足两个条件：一是为二元一次方程，二是代入给定的解后等式成立，解题灵活度较高。
【难度系数】
0.8
11.若$|2x - y + 1| + |x - 2y - 5| = 0$，则$x - y=\underline{\hspace{5em}}$.
答案
11.$\dfrac{4}{3}$
解析
【分析】解题时先利用绝对值的非负性：任意实数的绝对值都大于等于0，两个非负数相加结果为0时，只有两个非负数各自为0这一种情况，据此列出二元一次方程组，再求解方程组得到x、y的值，最后代入x-y计算即可；也可以直接将两个方程相加，变形后直接求出x-y的值，简化计算步骤。
【解析】
解：
∵绝对值具有非负性，即$|2x - y + 1| ≥ 0$，$|x - 2y - 5| ≥ 0$，且两者相加等于0
∴可得方程组：
$\begin{cases}2x - y + 1 = 0 \quad \mathrm{①} \\x - 2y - 5 = 0 \quad \mathrm{②}\end{cases}$
将①+②得：$3x - 3y - 4 = 0$
整理得：$3(x - y) = 4$
两边同时除以3得：$x - y = \frac{4}{3}$
（也可先消元求解x、y：由①得$y=2x+1$，代入②解得$x=-\frac{7}{3}$，再求出$y=-\frac{11}{3}$，最后计算得$x-y=\frac{4}{3}$）
【答案】$\dfrac{4}{3}$
【知识点】绝对值的非负性；二元一次方程组的解法
【点评】本题核心是利用非负数的性质列方程，既可以先求解未知数再计算目标式，也可以观察方程结构整体求值，后者能提高解题效率，减少计算错误。
【难度系数】0.7
【解析】
解：
∵绝对值具有非负性，即$|2x - y + 1| ≥ 0$，$|x - 2y - 5| ≥ 0$，且两者相加等于0
∴可得方程组：
$\begin{cases}2x - y + 1 = 0 \quad \mathrm{①} \\x - 2y - 5 = 0 \quad \mathrm{②}\end{cases}$
将①+②得：$3x - 3y - 4 = 0$
整理得：$3(x - y) = 4$
两边同时除以3得：$x - y = \frac{4}{3}$
（也可先消元求解x、y：由①得$y=2x+1$，代入②解得$x=-\frac{7}{3}$，再求出$y=-\frac{11}{3}$，最后计算得$x-y=\frac{4}{3}$）
【答案】$\dfrac{4}{3}$
【知识点】绝对值的非负性；二元一次方程组的解法
【点评】本题核心是利用非负数的性质列方程，既可以先求解未知数再计算目标式，也可以观察方程结构整体求值，后者能提高解题效率，减少计算错误。
【难度系数】0.7
12. 书架上、下两层摆放着若干本图书.若从上层拿10本放到下层,则下层的本数是上层的3倍;若从下层拿10本放到上层,则上层的本数是下层的2倍.上层原有图书
22
本,下层原有图书26
本.答案
12.22,26
解析
【分析】
这是一道和差倍分类的应用题，适合用二元一次方程组求解。解题思路如下：首先分别设上层、下层原有图书数量为两个未知数，再根据两种不同的拿书场景，准确表示出拿书后上下两层的图书数量，结合对应的倍数关系列出两个方程，组成方程组后求解即可得到结果。要注意每次拿书后，两层的图书数量都会同时发生变化，列等式时要对应好变化后的数量和倍数关系。
【解析】
解：设上层原有图书$x$本，下层原有图书$y$本。
根据“从上层拿10本放到下层，下层的本数是上层的3倍”，列方程：
$y + 10 = 3(x - 10)$ ①
根据“从下层拿10本放到上层，上层的本数是下层的2倍”，列方程：
$x + 10 = 2(y - 10)$ ②
化简方程①得：
$y + 10 = 3x - 30$，即$y = 3x - 40$ ③
将③代入方程②：
$x + 10 = 2[(3x - 40) - 10]$
展开计算：
$x + 10 = 2(3x - 50)$
$x + 10 = 6x - 100$
移项合并同类项得：$5x = 110$
解得：$x = 22$
把$x=22$代入③得：
$y = 3×22 - 40 = 26$
【答案】
22，26
【知识点】
二元一次方程组的应用，解二元一次方程组
【点评】
本题是典型的数量变化类应用题，解题的核心是准确梳理图书移动前后上下两层的数量变化，找到正确的等量关系列方程，计算时注意移项的符号规则，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.7
这是一道和差倍分类的应用题，适合用二元一次方程组求解。解题思路如下：首先分别设上层、下层原有图书数量为两个未知数，再根据两种不同的拿书场景，准确表示出拿书后上下两层的图书数量，结合对应的倍数关系列出两个方程，组成方程组后求解即可得到结果。要注意每次拿书后，两层的图书数量都会同时发生变化，列等式时要对应好变化后的数量和倍数关系。
【解析】
解：设上层原有图书$x$本，下层原有图书$y$本。
根据“从上层拿10本放到下层，下层的本数是上层的3倍”，列方程：
$y + 10 = 3(x - 10)$ ①
根据“从下层拿10本放到上层，上层的本数是下层的2倍”，列方程：
$x + 10 = 2(y - 10)$ ②
化简方程①得：
$y + 10 = 3x - 30$，即$y = 3x - 40$ ③
将③代入方程②：
$x + 10 = 2[(3x - 40) - 10]$
展开计算：
$x + 10 = 2(3x - 50)$
$x + 10 = 6x - 100$
移项合并同类项得：$5x = 110$
解得：$x = 22$
把$x=22$代入③得：
$y = 3×22 - 40 = 26$
【答案】
22，26
【知识点】
二元一次方程组的应用，解二元一次方程组
【点评】
本题是典型的数量变化类应用题，解题的核心是准确梳理图书移动前后上下两层的数量变化，找到正确的等量关系列方程，计算时注意移项的符号规则，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.7
三、用心做一做,显显自己的能力!(解答应写出具体步骤)
13. 解下列方程组:
(1) $\begin{cases} 3x + 4y = 2, \\ 2x - y = 5; \end{cases}$
(2) $\begin{cases} \dfrac{x}{2} - \dfrac{y + 1}{3} = 1, \\ 3x + 2y = 10. \end{cases}$
13. 解下列方程组:
(1) $\begin{cases} 3x + 4y = 2, \\ 2x - y = 5; \end{cases}$
(2) $\begin{cases} \dfrac{x}{2} - \dfrac{y + 1}{3} = 1, \\ 3x + 2y = 10. \end{cases}$
答案
13.(1)$\begin{cases} x=2, \\ y=-1 \end{cases}$
(2)$\begin{cases} x=3, \\ y=0.5 \end{cases}$
(2)$\begin{cases} x=3, \\ y=0.5 \end{cases}$
解析
【分析】
解二元一次方程组的核心是消元，将二元转化为一元求解。(1)观察方程组，第二个方程中y的系数为-1，很容易变形得到用x表示y的式子，因此选择代入消元法求解更简便；(2)第一个方程含有分母，先去分母整理为整系数的标准二元一次方程，整理后发现两个方程中y的系数互为相反数，因此选择加减消元法求解更简便。
【解析】
(1) 给方程组标号：$\begin{cases} 3x + 4y = 2 \ \ \ ①, \\ 2x - y = 5 \ \ \ \ \ \ ②; \end{cases}$
由②变形得：$y = 2x - 5 \ \ \ ③$
将③代入①得：$3x + 4(2x - 5) = 2$
展开计算：$3x + 8x - 20 = 2$
合并同类项、移项得：$11x = 22$，解得$x = 2$
把$x = 2$代入③得：$y = 2×2 - 5 = -1$
(2) 给方程组标号：$\begin{cases} \dfrac{x}{2} - \dfrac{y + 1}{3} = 1 \ \ \ ①, \\ 3x + 2y = 10 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ②; \end{cases}$
先整理①：两边同时乘6去分母得：$3x - 2(y + 1) = 6$
展开、移项整理得：$3x - 2y = 8 \ \ \ ③$
用②+③得：$(3x + 2y) + (3x - 2y) = 10 + 8$
化简得：$6x = 18$，解得$x = 3$
把$x = 3$代入②得：$3×3 + 2y = 10$，计算得$2y = 1$，解得$y = 0.5$
【答案】
(1)$\begin{cases} x=2, \\ y=-1 \end{cases}$
(2)$\begin{cases} x=3, \\ y=0.5 \end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组的解法；代入消元法；加减消元法
【点评】
本题考查二元一次方程组的基本运算，解题时要根据方程组中未知数系数的特点灵活选择消元方法，遇到含分母的方程先化为整系数方程再求解，计算过程中注意符号变化，避免计算失误。
【难度系数】
0.8
解二元一次方程组的核心是消元，将二元转化为一元求解。(1)观察方程组，第二个方程中y的系数为-1，很容易变形得到用x表示y的式子，因此选择代入消元法求解更简便；(2)第一个方程含有分母，先去分母整理为整系数的标准二元一次方程，整理后发现两个方程中y的系数互为相反数，因此选择加减消元法求解更简便。
【解析】
(1) 给方程组标号：$\begin{cases} 3x + 4y = 2 \ \ \ ①, \\ 2x - y = 5 \ \ \ \ \ \ ②; \end{cases}$
由②变形得：$y = 2x - 5 \ \ \ ③$
将③代入①得：$3x + 4(2x - 5) = 2$
展开计算：$3x + 8x - 20 = 2$
合并同类项、移项得：$11x = 22$，解得$x = 2$
把$x = 2$代入③得：$y = 2×2 - 5 = -1$
(2) 给方程组标号：$\begin{cases} \dfrac{x}{2} - \dfrac{y + 1}{3} = 1 \ \ \ ①, \\ 3x + 2y = 10 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ②; \end{cases}$
先整理①：两边同时乘6去分母得：$3x - 2(y + 1) = 6$
展开、移项整理得：$3x - 2y = 8 \ \ \ ③$
用②+③得：$(3x + 2y) + (3x - 2y) = 10 + 8$
化简得：$6x = 18$，解得$x = 3$
把$x = 3$代入②得：$3×3 + 2y = 10$，计算得$2y = 1$，解得$y = 0.5$
【答案】
(1)$\begin{cases} x=2, \\ y=-1 \end{cases}$
(2)$\begin{cases} x=3, \\ y=0.5 \end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组的解法；代入消元法；加减消元法
【点评】
本题考查二元一次方程组的基本运算，解题时要根据方程组中未知数系数的特点灵活选择消元方法，遇到含分母的方程先化为整系数方程再求解，计算过程中注意符号变化，避免计算失误。
【难度系数】
0.8
