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1. 下列方程组中是二元一次方程组的是 （
A.$\begin{cases} xy=1, \\ x+y=2 \end{cases}$
B.$\begin{cases} 5x - 2y = 3, \\ \dfrac{1}{x} + y = 3 \end{cases}$
C.$\begin{cases} 2x + y = 0, \\ 3x - y = \dfrac{1}{5} \end{cases}$
D.$\begin{cases} z = 5, \\ \dfrac{x}{2} + \dfrac{y}{3} = 7 \end{cases}$
C
）A.$\begin{cases} xy=1, \\ x+y=2 \end{cases}$
B.$\begin{cases} 5x - 2y = 3, \\ \dfrac{1}{x} + y = 3 \end{cases}$
C.$\begin{cases} 2x + y = 0, \\ 3x - y = \dfrac{1}{5} \end{cases}$
D.$\begin{cases} z = 5, \\ \dfrac{x}{2} + \dfrac{y}{3} = 7 \end{cases}$
答案
1.C
解析
【分析】
要判断哪个是二元一次方程组，首先需要明确二元一次方程组的三个核心判定条件：①方程组中总共只含有2个不同的未知数；②所有方程都是整式方程（分母不能出现未知数）；③每个含未知数的项的次数都是1。解题时我们逐一用这三个条件排查每个选项，排除不符合的即可得到正确答案。
【解析】
首先明确二元一次方程组的判定标准：
1. 仅含有2个不同的未知数；
2. 每个方程都是整式方程（分母不含未知数）；
3. 每个含未知数的项的次数为1。
逐一分析选项：
选项A：第一个方程$xy=1$中，$xy$项的次数是$1+1=2$，不符合“含未知数的项次数为1”的要求，不是二元一次方程组；
选项B：第二个方程$\dfrac{1}{x}+y=3$的分母含有未知数$x$，属于分式方程，不是整式方程，不符合要求，排除；
选项C：两个方程都仅含有$x$、$y$两个未知数，都是整式方程，且含未知数的项的次数都是1，满足二元一次方程组的全部条件；
选项D：方程组中出现了$x$、$y$、$z$共3个未知数，不符合“仅含2个未知数”的要求，排除。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
二元一次方程组的判定、整式方程的判断、单项式次数的判断
【点评】
本题是对二元一次方程组基本概念的考查，属于基础题型，解题的关键是牢记判定二元一次方程组的三个核心条件，审题时注意排查未知数个数、方程类型、项的次数这几个易出错的点。
【难度系数】
0.8
要判断哪个是二元一次方程组，首先需要明确二元一次方程组的三个核心判定条件：①方程组中总共只含有2个不同的未知数；②所有方程都是整式方程（分母不能出现未知数）；③每个含未知数的项的次数都是1。解题时我们逐一用这三个条件排查每个选项，排除不符合的即可得到正确答案。
【解析】
首先明确二元一次方程组的判定标准：
1. 仅含有2个不同的未知数；
2. 每个方程都是整式方程（分母不含未知数）；
3. 每个含未知数的项的次数为1。
逐一分析选项：
选项A：第一个方程$xy=1$中，$xy$项的次数是$1+1=2$，不符合“含未知数的项次数为1”的要求，不是二元一次方程组；
选项B：第二个方程$\dfrac{1}{x}+y=3$的分母含有未知数$x$，属于分式方程，不是整式方程，不符合要求，排除；
选项C：两个方程都仅含有$x$、$y$两个未知数，都是整式方程，且含未知数的项的次数都是1，满足二元一次方程组的全部条件；
选项D：方程组中出现了$x$、$y$、$z$共3个未知数，不符合“仅含2个未知数”的要求，排除。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
二元一次方程组的判定、整式方程的判断、单项式次数的判断
【点评】
本题是对二元一次方程组基本概念的考查，属于基础题型，解题的关键是牢记判定二元一次方程组的三个核心条件，审题时注意排查未知数个数、方程类型、项的次数这几个易出错的点。
【难度系数】
0.8
2. 二元一次方程组$\begin{cases}x+y=2, \\ x-y=0\end{cases}$的解是 （ ）
A.$\begin{cases} x=0, \\ y=2 \end{cases}$
B.$\begin{cases} x=2, \\ y=0 \end{cases}$
C.$\begin{cases} x=1, \\ y=1 \end{cases}$
D.$\begin{cases} x=-1, \\ y=-1 \end{cases}$
A.$\begin{cases} x=0, \\ y=2 \end{cases}$
B.$\begin{cases} x=2, \\ y=0 \end{cases}$
C.$\begin{cases} x=1, \\ y=1 \end{cases}$
D.$\begin{cases} x=-1, \\ y=-1 \end{cases}$
答案
2.C
解析
【分析】
求解二元一次方程组可以用消元法，观察本题方程组的特点：一是两个方程中y的系数互为相反数，可通过相加直接消去y，先求x再求y；二是第二个方程可直接变形为x=y，代入第一个方程即可转化为一元一次方程求解。另外也可将选项分别代入两个方程验证，同时满足两个方程的就是正确解。
【解析】
方法一：加减消元法
将两个方程左右两边分别相加，得：
$(x+y)+(x-y)=2+0$
化简得$2x=2$，解得$x=1$。
把$x=1$代入$x-y=0$，得$1-y=0$，解得$y=1$。
方法二：代入消元法
由$x-y=0$可得$x=y$，将其代入$x+y=2$，得：
$y+y=2$，即$2y=2$，解得$y=1$，则$x=y=1$。
因此方程组的解为$\begin{cases} x=1 \\ y=1 \end{cases}$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
二元一次方程组的解，加减消元法，代入消元法
【点评】
本题是二元一次方程组的基础题型，解题方法灵活多样，既可以用常规的消元法求解，也可以通过代入选项验证快速得到答案，主要考察基础计算能力。
【难度系数】
0.9
求解二元一次方程组可以用消元法，观察本题方程组的特点：一是两个方程中y的系数互为相反数，可通过相加直接消去y，先求x再求y；二是第二个方程可直接变形为x=y，代入第一个方程即可转化为一元一次方程求解。另外也可将选项分别代入两个方程验证，同时满足两个方程的就是正确解。
【解析】
方法一：加减消元法
将两个方程左右两边分别相加，得：
$(x+y)+(x-y)=2+0$
化简得$2x=2$，解得$x=1$。
把$x=1$代入$x-y=0$，得$1-y=0$，解得$y=1$。
方法二：代入消元法
由$x-y=0$可得$x=y$，将其代入$x+y=2$，得：
$y+y=2$，即$2y=2$，解得$y=1$，则$x=y=1$。
因此方程组的解为$\begin{cases} x=1 \\ y=1 \end{cases}$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
二元一次方程组的解，加减消元法，代入消元法
【点评】
本题是二元一次方程组的基础题型，解题方法灵活多样，既可以用常规的消元法求解，也可以通过代入选项验证快速得到答案，主要考察基础计算能力。
【难度系数】
0.9
3. 用加减消元法解二元一次方程组$\begin{cases}x+3y=4,① \\ 2x-y=1②\end{cases}$时,下列方法中没有消元的是（ ）
A.①$× 2 -$②
B.①$-$②$× 3$
C.①$× (-2)+$②
D.②$× (-3)-$①
A.①$× 2 -$②
B.①$-$②$× 3$
C.①$× (-2)+$②
D.②$× (-3)-$①
答案
3.B
解析
【分析】
要判断哪种方法没有消元，首先明确加减消元法的核心原理：通过给方程乘合适的系数，使其中一个未知数的系数相等或互为相反数，再将两个方程相加减，消去该未知数，仅保留另一个未知数。我们只需逐一计算每个选项的运算结果，判断结果中是否还同时含有x和y两个未知数即可。
【解析】
我们逐个计算各选项的运算结果：
A选项：将①×2得$2x+6y=8$，再减去②，即$(2x+6y)-(2x-y)=8-1$，化简后得$7y=7$，消去了未知数x，实现了消元，不符合题意。
B选项：将②×3得$6x-3y=3$，再用①减去该式，即$(x+3y)-(6x-3y)=4-3$，化简后得$-5x+6y=1$，结果中同时含有x和y两个未知数，没有消去任何未知数，符合题意。
C选项：将①×(-2)得$-2x-6y=-8$，再加上②，即$(-2x-6y)+(2x-y)=-8+1$，化简后得$-7y=-7$，消去了未知数x，实现了消元，不符合题意。
D选项：将②×(-3)得$-6x+3y=-3$，再减去①，即$(-6x+3y)-(x+3y)=-3-4$，化简后得$-7x=-7$，消去了未知数y，实现了消元，不符合题意。
综上，没有消元的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
加减消元法，二元一次方程组的解法
【点评】
本题考查对加减消元法本质的理解，解题时只要紧扣“消元就是消去一个未知数”的核心，通过简单运算即可判断，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
要判断哪种方法没有消元，首先明确加减消元法的核心原理：通过给方程乘合适的系数，使其中一个未知数的系数相等或互为相反数，再将两个方程相加减，消去该未知数，仅保留另一个未知数。我们只需逐一计算每个选项的运算结果，判断结果中是否还同时含有x和y两个未知数即可。
【解析】
我们逐个计算各选项的运算结果：
A选项：将①×2得$2x+6y=8$，再减去②，即$(2x+6y)-(2x-y)=8-1$，化简后得$7y=7$，消去了未知数x，实现了消元，不符合题意。
B选项：将②×3得$6x-3y=3$，再用①减去该式，即$(x+3y)-(6x-3y)=4-3$，化简后得$-5x+6y=1$，结果中同时含有x和y两个未知数，没有消去任何未知数，符合题意。
C选项：将①×(-2)得$-2x-6y=-8$，再加上②，即$(-2x-6y)+(2x-y)=-8+1$，化简后得$-7y=-7$，消去了未知数x，实现了消元，不符合题意。
D选项：将②×(-3)得$-6x+3y=-3$，再减去①，即$(-6x+3y)-(x+3y)=-3-4$，化简后得$-7x=-7$，消去了未知数y，实现了消元，不符合题意。
综上，没有消元的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
加减消元法，二元一次方程组的解法
【点评】
本题考查对加减消元法本质的理解，解题时只要紧扣“消元就是消去一个未知数”的核心，通过简单运算即可判断，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
4.已知方程组$\begin{cases}2m + n = 5, \\ m + 2n = 4,\end{cases}$则$m - n$的值是（ ）
A.1
B.$-1$
C.0
D.3
A.1
B.$-1$
C.0
D.3
答案
4.A
解析
【分析】
本题要求$m-n$的值，有两种解题思路：思路一，先用消元法解二元一次方程组，求出$m$和$n$的具体值，再代入计算$m-n$；思路二，观察两个方程的系数特征，发现直接将第一个方程减去第二个方程，左边化简后恰好是$m-n$，右边计算即可直接得到结果，更为简便。
【解析】
方法一（整体法）：
记$\begin{cases}2m + n = 5&① \\ m + 2n = 4&②\end{cases}$
用①式减去②式，左右两边分别相减得：
$(2m + n) - (m + 2n) = 5 - 4$
去括号化简：$2m + n - m - 2n = 1$
合并同类项得：$m - n = 1$
方法二（常规消元法）：
记$\begin{cases}2m + n = 5&① \\ m + 2n = 4&②\end{cases}$
①×2得：$4m + 2n = 10$ ③
用③减去②得：$3m = 6$，解得$m=2$
把$m=2$代入①得：$2×2 + n =5$，解得$n=1$
所以$m - n = 2 -1 =1$
【答案】
A
【知识点】
二元一次方程组解法、代数式求值
【点评】
本题考查二元一次方程组的基础应用，既可以用代入消元、加减消元的常规方法求解，也可以通过观察方程系数特点使用整体法快速得出答案，解题时可先观察式子特征，选择更简便的方法提升做题效率。
【难度系数】
0.9
本题要求$m-n$的值，有两种解题思路：思路一，先用消元法解二元一次方程组，求出$m$和$n$的具体值，再代入计算$m-n$；思路二，观察两个方程的系数特征，发现直接将第一个方程减去第二个方程，左边化简后恰好是$m-n$，右边计算即可直接得到结果，更为简便。
【解析】
方法一（整体法）：
记$\begin{cases}2m + n = 5&① \\ m + 2n = 4&②\end{cases}$
用①式减去②式，左右两边分别相减得：
$(2m + n) - (m + 2n) = 5 - 4$
去括号化简：$2m + n - m - 2n = 1$
合并同类项得：$m - n = 1$
方法二（常规消元法）：
记$\begin{cases}2m + n = 5&① \\ m + 2n = 4&②\end{cases}$
①×2得：$4m + 2n = 10$ ③
用③减去②得：$3m = 6$，解得$m=2$
把$m=2$代入①得：$2×2 + n =5$，解得$n=1$
所以$m - n = 2 -1 =1$
【答案】
A
【知识点】
二元一次方程组解法、代数式求值
【点评】
本题考查二元一次方程组的基础应用，既可以用代入消元、加减消元的常规方法求解，也可以通过观察方程系数特点使用整体法快速得出答案，解题时可先观察式子特征，选择更简便的方法提升做题效率。
【难度系数】
0.9
5. 已知$ n $是偶数，$ m $是奇数，方程组$\begin{cases}x - 1988y = n, \\ 11x + 27y = m\end{cases}$的解$\begin{cases}x = p, \\ y = q\end{cases}$是整数，那么（ ）
A.$ p,q $都是偶数
B.$ p,q $都是奇数
C.$ p $是偶数，$ q $是奇数
D.$ p $是奇数，$ q $是偶数
A.$ p,q $都是偶数
B.$ p,q $都是奇数
C.$ p $是偶数，$ q $是奇数
D.$ p $是奇数，$ q $是偶数
答案
5.C
解析
【分析】
本题可通过整数奇偶性的运算规律判断解的奇偶，无需计算方程组的具体解。首先观察第一个方程，1988是偶数，因此1988y的结果一定是偶数，结合n是偶数的条件，可先推出x的奇偶性；再将x的奇偶性代入第二个方程，结合m是奇数的条件，即可推出y的奇偶性。
【解析】
1. 分析第一个方程$x - 1988y = n$：
因为1988是偶数，任意整数乘偶数的结果都是偶数，所以$1988y$是偶数；
已知$n$是偶数，可得$x = n + 1988y$，根据“偶数+偶数=偶数”，可知$x=p$是偶数。
2. 分析第二个方程$11x + 27y = m$：
已经推出$x$是偶数，11是奇数，根据“奇数×偶数=偶数”，可知$11x$是偶数；
已知$m$是奇数，可得$27y = m - 11x$，根据“奇数-偶数=奇数”，可知$27y$是奇数；
27是奇数，根据“奇数×奇数=奇数”，可知$y=q$是奇数。
综上，$p$是偶数，$q$是奇数，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
奇偶性运算，二元一次方程组整数解
【点评】
本题考查奇偶性规律在方程组整数解问题中的应用，不需要求解方程组具体值，灵活运用奇偶性运算规则即可快速得到答案，解题时注意先从有明确偶数系数的方程入手分析更简便。
【难度系数】
0.7
本题可通过整数奇偶性的运算规律判断解的奇偶，无需计算方程组的具体解。首先观察第一个方程，1988是偶数，因此1988y的结果一定是偶数，结合n是偶数的条件，可先推出x的奇偶性；再将x的奇偶性代入第二个方程，结合m是奇数的条件，即可推出y的奇偶性。
【解析】
1. 分析第一个方程$x - 1988y = n$：
因为1988是偶数，任意整数乘偶数的结果都是偶数，所以$1988y$是偶数；
已知$n$是偶数，可得$x = n + 1988y$，根据“偶数+偶数=偶数”，可知$x=p$是偶数。
2. 分析第二个方程$11x + 27y = m$：
已经推出$x$是偶数，11是奇数，根据“奇数×偶数=偶数”，可知$11x$是偶数；
已知$m$是奇数，可得$27y = m - 11x$，根据“奇数-偶数=奇数”，可知$27y$是奇数；
27是奇数，根据“奇数×奇数=奇数”，可知$y=q$是奇数。
综上，$p$是偶数，$q$是奇数，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
奇偶性运算，二元一次方程组整数解
【点评】
本题考查奇偶性规律在方程组整数解问题中的应用，不需要求解方程组具体值，灵活运用奇偶性运算规则即可快速得到答案，解题时注意先从有明确偶数系数的方程入手分析更简便。
【难度系数】
0.7
6.某地出租车计费规则如下：
小王与小张各乘一辆出租车，行车里程分别为6千米与8.5千米.如果下车时两人所付车费相同，那么这两辆出租车的行车时间相差（
A.10分钟
B.13分钟
C.15分钟
D.19分钟
小王与小张各乘一辆出租车，行车里程分别为6千米与8.5千米.如果下车时两人所付车费相同，那么这两辆出租车的行车时间相差（
D
）A.10分钟
B.13分钟
C.15分钟
D.19分钟
答案
6.D
解析
【分析】
解题时首先要明确不同行车里程对应的收费项目：①小王行车里程6千米，小于7千米，无需支付远途费，车费仅由里程费和时长费构成；②小张行车里程8.5千米，大于7千米，车费由里程费、时长费、远途费三部分构成。已知两人车费相同，我们可以分别表示出两人的总车费，列等式后整理即可求出两车的行车时间差。
【解析】
设小王的行车时间为$ t_1 $分钟，小张的行车时间为$ t_2 $分钟，根据题意列等式：
小王的总车费：$ 1.8 × 6 + 0.3 t_1 $
小张的总车费：$ 1.8 × 8.5 + 0.3 t_2 + 0.8 × (8.5 - 7) $
由两人车费相等可得：
$ 1.8 × 6 + 0.3 t_1 = 1.8 × 8.5 + 0.3 t_2 + 0.8 × 1.5 $
计算各项常数项：
左边常数项：$ 1.8 × 6 = 10.8 $
右边常数项：$ 1.8 × 8.5 = 15.3 $，$ 0.8 × 1.5 = 1.2 $，合计$ 15.3 + 1.2 = 16.5 $
代入等式整理得：
$ 10.8 + 0.3 t_1 = 16.5 + 0.3 t_2 $
移项得：$ 0.3(t_1 - t_2) = 16.5 - 10.8 = 5.7 $
解得：$ t_1 - t_2 = 5.7 ÷ 0.3 = 19 $
即两辆出租车的行车时间相差19分钟。
【答案】
D
【知识点】
分段计费问题；一元一次方程的应用
【点评】
本题属于生活中常见的出租车计费应用题，解题核心是准确区分不同里程对应的收费规则，根据费用相等的等量关系建立方程计算，计算时要注意远途费仅对超出7千米的部分收取，避免出现计费错误。
【难度系数】
0.6
解题时首先要明确不同行车里程对应的收费项目：①小王行车里程6千米，小于7千米，无需支付远途费，车费仅由里程费和时长费构成；②小张行车里程8.5千米，大于7千米，车费由里程费、时长费、远途费三部分构成。已知两人车费相同，我们可以分别表示出两人的总车费，列等式后整理即可求出两车的行车时间差。
【解析】
设小王的行车时间为$ t_1 $分钟，小张的行车时间为$ t_2 $分钟，根据题意列等式：
小王的总车费：$ 1.8 × 6 + 0.3 t_1 $
小张的总车费：$ 1.8 × 8.5 + 0.3 t_2 + 0.8 × (8.5 - 7) $
由两人车费相等可得：
$ 1.8 × 6 + 0.3 t_1 = 1.8 × 8.5 + 0.3 t_2 + 0.8 × 1.5 $
计算各项常数项：
左边常数项：$ 1.8 × 6 = 10.8 $
右边常数项：$ 1.8 × 8.5 = 15.3 $，$ 0.8 × 1.5 = 1.2 $，合计$ 15.3 + 1.2 = 16.5 $
代入等式整理得：
$ 10.8 + 0.3 t_1 = 16.5 + 0.3 t_2 $
移项得：$ 0.3(t_1 - t_2) = 16.5 - 10.8 = 5.7 $
解得：$ t_1 - t_2 = 5.7 ÷ 0.3 = 19 $
即两辆出租车的行车时间相差19分钟。
【答案】
D
【知识点】
分段计费问题；一元一次方程的应用
【点评】
本题属于生活中常见的出租车计费应用题，解题核心是准确区分不同里程对应的收费规则，根据费用相等的等量关系建立方程计算，计算时要注意远途费仅对超出7千米的部分收取，避免出现计费错误。
【难度系数】
0.6
