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2.“某教室共有 48 个座位,摆放成 8 行 6 列,现利用平面直角坐标系对教室座位进行分配,用坐标表示每名学生的位置,其中小德、小胜和小博的位置如图所示.定义如下换座规则：
换座变换$T:(x,y)\to\{\begin{array}{l}(x+5,y+1),\mathrm{当}x=-2,y＜3\mathrm{时},\\(x-1,-y-1),\mathrm{当}x＞-2,y=3\mathrm{时},\\(x+5,-y-1),\mathrm{当}x=-2,y=3\mathrm{时},\\(x-1,y+1),\mathrm{其他情况}.\end{array} $
当两名学生的位置分别为$(a,b)$和$(m,n)$时,称$d=|m-a|+|n-b|$为他们的座位距离.
(1)经过 3 次换座变换后,小德和小博的座位距离为________,小德和小胜的座位距离为________；
(2)经过 3 次换座变换后,与小博座位距离为 3 的位置共有________个；
(3)从所有学生中任选两名学生,经过多次换座变换,计算这两名学生所有不同的座位距离(相同的只选一个),则这些不同座位距离的最小值是________,最大值是________.
换座变换$T:(x,y)\to\{\begin{array}{l}(x+5,y+1),\mathrm{当}x=-2,y＜3\mathrm{时},\\(x-1,-y-1),\mathrm{当}x＞-2,y=3\mathrm{时},\\(x+5,-y-1),\mathrm{当}x=-2,y=3\mathrm{时},\\(x-1,y+1),\mathrm{其他情况}.\end{array} $
当两名学生的位置分别为$(a,b)$和$(m,n)$时,称$d=|m-a|+|n-b|$为他们的座位距离.
(1)经过 3 次换座变换后,小德和小博的座位距离为________,小德和小胜的座位距离为________；
(2)经过 3 次换座变换后,与小博座位距离为 3 的位置共有________个；
(3)从所有学生中任选两名学生,经过多次换座变换,计算这两名学生所有不同的座位距离(相同的只选一个),则这些不同座位距离的最小值是________,最大值是________.
答案
(1)4 5
(2)8
(3)1 12
(2)8
(3)1 12
解析
【分析】
首先确定小胜、小德、小博三人的初始坐标，再严格按照给出的换座变换规则，逐步计算三人经过3次变换后的坐标，再根据座位距离公式$d=|m-a|+|n-b|$计算对应距离；第二问根据小博三次变换后的坐标，找出所有满足距离为3且在教室座位范围内的坐标点计数即可；第三问结合教室坐标的取值范围，分析所有可能的座位距离的最值。
【解析】
首先确定三人初始坐标：小胜$(1,1)$，小德$(1,-2)$，小博$(-2,-1)$。
(1) 计算三人3次换座后的坐标：
① 小德的3次变换：
第1次：$(1,-2)$属于其他情况，变换为$(1-1,-2+1)=(0,-1)$
第2次：$(0,-1)$属于其他情况，变换为$(0-1,-1+1)=(-1,0)$
第3次：$(-1,0)$属于其他情况，变换为$(-1-1,0+1)=(-2,1)$
② 小博的3次变换：
第1次：$x=-2,y=-1＜3$，按第一规则变换为$(-2+5,-1+1)=(3,0)$
第2次：$(3,0)$属于其他情况，变换为$(3-1,0+1)=(2,1)$
第3次：$(2,1)$属于其他情况，变换为$(2-1,1+1)=(1,2)$
③ 小胜的3次变换：
第1次：$(1,1)$属于其他情况，变换为$(1-1,1+1)=(0,2)$
第2次：$(0,2)$属于其他情况，变换为$(0-1,2+1)=(-1,3)$
第3次：$x=-1＞-2,y=3$，按第二规则变换为$(-1-1,-3-1)=(-2,-4)$
计算距离：
小德和小博的距离$d_1=|1-(-2)|+|2-1|=3+1=4$
小德和小胜的距离$d_2=|-2-(-2)|+|1-(-4)|=0+5=5$
(2) 小博3次变换后坐标为$(1,2)$，要求距离$d=|x-1|+|y-2|=3$，且x取值为$\{-2,-1,0,1,2,3\}$，y取值为$\{-4,-3,-2,-1,0,1,2,3\}$：
分类枚举：
$|x-1|=0$时，$|y-2|=3$，得$y=-1$，对应点$(1,-1)$，共1个；
$|x-1|=1$时，$|y-2|=2$，得$x=0、2$，$y=0$，对应点$(0,0)、(2,0)$，共2个；
$|x-1|=2$时，$|y-2|=1$，得$x=-1、3$，$y=3、1$，对应点$(-1,3)、(-1,1)、(3,3)、(3,1)$，共4个；
$|x-1|=3$时，$|y-2|=0$，得$x=-2$，$y=2$，对应点$(-2,2)$，共1个；
合计$1+2+4+1=8$个。
(3) 教室座位x的范围为$-2≤ x≤3$，最大x差为$3-(-2)=5$；y的范围为$-4≤ y≤3$，最大y差为$3-(-4)=7$，故最大距离为$5+7=12$；换座变换可实现座位的遍历，相邻座位的距离为1，为最小可能值。
【答案】
(1)4；5 (2)8 (3)1；12
【知识点】
平面直角坐标系，新定义运算，坐标距离计算
【点评】
本题结合新定义的换座规则，考查坐标变换和曼哈顿距离的计算，需要严格按照规则逐步推导坐标，同时结合坐标范围分析距离的最值，对理解新定义、分类计算的能力有一定的考察作用。
【难度系数】
0.6
首先确定小胜、小德、小博三人的初始坐标，再严格按照给出的换座变换规则，逐步计算三人经过3次变换后的坐标，再根据座位距离公式$d=|m-a|+|n-b|$计算对应距离；第二问根据小博三次变换后的坐标，找出所有满足距离为3且在教室座位范围内的坐标点计数即可；第三问结合教室坐标的取值范围，分析所有可能的座位距离的最值。
【解析】
首先确定三人初始坐标：小胜$(1,1)$，小德$(1,-2)$，小博$(-2,-1)$。
(1) 计算三人3次换座后的坐标：
① 小德的3次变换：
第1次：$(1,-2)$属于其他情况，变换为$(1-1,-2+1)=(0,-1)$
第2次：$(0,-1)$属于其他情况，变换为$(0-1,-1+1)=(-1,0)$
第3次：$(-1,0)$属于其他情况，变换为$(-1-1,0+1)=(-2,1)$
② 小博的3次变换：
第1次：$x=-2,y=-1＜3$，按第一规则变换为$(-2+5,-1+1)=(3,0)$
第2次：$(3,0)$属于其他情况，变换为$(3-1,0+1)=(2,1)$
第3次：$(2,1)$属于其他情况，变换为$(2-1,1+1)=(1,2)$
③ 小胜的3次变换：
第1次：$(1,1)$属于其他情况，变换为$(1-1,1+1)=(0,2)$
第2次：$(0,2)$属于其他情况，变换为$(0-1,2+1)=(-1,3)$
第3次：$x=-1＞-2,y=3$，按第二规则变换为$(-1-1,-3-1)=(-2,-4)$
计算距离：
小德和小博的距离$d_1=|1-(-2)|+|2-1|=3+1=4$
小德和小胜的距离$d_2=|-2-(-2)|+|1-(-4)|=0+5=5$
(2) 小博3次变换后坐标为$(1,2)$，要求距离$d=|x-1|+|y-2|=3$，且x取值为$\{-2,-1,0,1,2,3\}$，y取值为$\{-4,-3,-2,-1,0,1,2,3\}$：
分类枚举：
$|x-1|=0$时，$|y-2|=3$，得$y=-1$，对应点$(1,-1)$，共1个；
$|x-1|=1$时，$|y-2|=2$，得$x=0、2$，$y=0$，对应点$(0,0)、(2,0)$，共2个；
$|x-1|=2$时，$|y-2|=1$，得$x=-1、3$，$y=3、1$，对应点$(-1,3)、(-1,1)、(3,3)、(3,1)$，共4个；
$|x-1|=3$时，$|y-2|=0$，得$x=-2$，$y=2$，对应点$(-2,2)$，共1个；
合计$1+2+4+1=8$个。
(3) 教室座位x的范围为$-2≤ x≤3$，最大x差为$3-(-2)=5$；y的范围为$-4≤ y≤3$，最大y差为$3-(-4)=7$，故最大距离为$5+7=12$；换座变换可实现座位的遍历，相邻座位的距离为1，为最小可能值。
【答案】
(1)4；5 (2)8 (3)1；12
【知识点】
平面直角坐标系，新定义运算，坐标距离计算
【点评】
本题结合新定义的换座规则，考查坐标变换和曼哈顿距离的计算，需要严格按照规则逐步推导坐标，同时结合坐标范围分析距离的最值，对理解新定义、分类计算的能力有一定的考察作用。
【难度系数】
0.6
