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1.(2025·成都)在平面直角坐标系$xOy$中,点$P(-2,a^2+1)$所在的象限是 （
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
B
）A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案
1.B
解析
【分析】
要确定点所在的象限，首先需明确四个象限的坐标符号规律：第一象限（正，正）、第二象限（负，正）、第三象限（负，负）、第四象限（正，负），因此我们只需要分别判断点P横、纵坐标的正负，再对应规律即可。首先点P横坐标为-2，明显小于0；再看纵坐标$a^2+1$，根据平方的非负性，任意实数的平方都大于等于0，因此$a^2+1$一定大于0，横纵坐标符号为负、正，符合第二象限的特征。
【解析】
1. 判断横坐标符号：点P的横坐标为$-2$，可得$-2＜0$，横坐标为负；
2. 判断纵坐标符号：对任意实数$a$，都有$a^2≥0$，因此$a^2+1≥0+1=1＞0$，纵坐标为正；
3. 对应象限特征：横负纵正的点位于第二象限，因此点P在第二象限。
【答案】
B
【知识点】
各象限内点的坐标特征；偶次方的非负性
【点评】
本题是基础题型，主要考查平面直角坐标系中点的象限判断，解题核心是熟记各象限坐标的符号规律，结合平方数的非负性即可快速得出结论。
【难度系数】
0.9
要确定点所在的象限，首先需明确四个象限的坐标符号规律：第一象限（正，正）、第二象限（负，正）、第三象限（负，负）、第四象限（正，负），因此我们只需要分别判断点P横、纵坐标的正负，再对应规律即可。首先点P横坐标为-2，明显小于0；再看纵坐标$a^2+1$，根据平方的非负性，任意实数的平方都大于等于0，因此$a^2+1$一定大于0，横纵坐标符号为负、正，符合第二象限的特征。
【解析】
1. 判断横坐标符号：点P的横坐标为$-2$，可得$-2＜0$，横坐标为负；
2. 判断纵坐标符号：对任意实数$a$，都有$a^2≥0$，因此$a^2+1≥0+1=1＞0$，纵坐标为正；
3. 对应象限特征：横负纵正的点位于第二象限，因此点P在第二象限。
【答案】
B
【知识点】
各象限内点的坐标特征；偶次方的非负性
【点评】
本题是基础题型，主要考查平面直角坐标系中点的象限判断，解题核心是熟记各象限坐标的符号规律，结合平方数的非负性即可快速得出结论。
【难度系数】
0.9
2.(2025·青岛)如图,在平面直角坐标系中,点 A,B,C都在格点上,将$△ ABC$关于 y 轴的对称图形绕原点 O 旋转$180°$得到$△ A_1B_1C_1$,则点 A 的对应点$A_1$的坐标是 （
A.$(-1,-2)$
B.$(1,2)$
C.$(2,1)$
D.$(-2,-1)$
A
）A.$(-1,-2)$
B.$(1,2)$
C.$(2,1)$
D.$(-2,-1)$
答案
2.A
解析
【分析】
要确定点A的对应点$A_1$的坐标，需按题目要求的变换顺序逐步计算：首先从平面直角坐标系中读出点A的原始坐标，再依次应用“关于y轴对称”和“绕原点旋转180°”的坐标变换规则，即可求出最终$A_1$的坐标。
【解析】
1. 读取点A坐标：由图可知，点A的坐标为$\boldsymbol{(-1,2)}$；
2. 求A关于y轴的对称点坐标：根据关于y轴对称的点的坐标规律：纵坐标不变，横坐标取相反数，可得A关于y轴对称的点的坐标为$\boldsymbol{(1,2)}$；
3. 求该对称点绕原点旋转180°后的坐标：根据绕原点旋转180°的点的坐标规律：横、纵坐标均取相反数，可得旋转后点$A_1$的坐标为$\boldsymbol{(-1,-2)}$。
【答案】
A
【知识点】
关于y轴对称的坐标规律；绕原点旋转180°的坐标规律
【点评】
本题考查平面直角坐标系中图形变换对应的坐标变化，解题关键是牢记两种变换的坐标变化规则，严格按照题目给出的变换顺序计算，避免变换顺序颠倒或规则混淆出错。
【难度系数】
0.8
要确定点A的对应点$A_1$的坐标，需按题目要求的变换顺序逐步计算：首先从平面直角坐标系中读出点A的原始坐标，再依次应用“关于y轴对称”和“绕原点旋转180°”的坐标变换规则，即可求出最终$A_1$的坐标。
【解析】
1. 读取点A坐标：由图可知，点A的坐标为$\boldsymbol{(-1,2)}$；
2. 求A关于y轴的对称点坐标：根据关于y轴对称的点的坐标规律：纵坐标不变，横坐标取相反数，可得A关于y轴对称的点的坐标为$\boldsymbol{(1,2)}$；
3. 求该对称点绕原点旋转180°后的坐标：根据绕原点旋转180°的点的坐标规律：横、纵坐标均取相反数，可得旋转后点$A_1$的坐标为$\boldsymbol{(-1,-2)}$。
【答案】
A
【知识点】
关于y轴对称的坐标规律；绕原点旋转180°的坐标规律
【点评】
本题考查平面直角坐标系中图形变换对应的坐标变化，解题关键是牢记两种变换的坐标变化规则，严格按照题目给出的变换顺序计算，避免变换顺序颠倒或规则混淆出错。
【难度系数】
0.8
3.(2025·辽宁)在平面直角坐标系$xOy$中,点$A$的坐标为$(3,0)$,点$B$的坐标为$(2,-2)$,将线段$AB$平移得到线段$CD$,点$A$的对应点$C$的坐标为$(3,5)$,则点$B$的对应点$D$的坐标为 (
A.$(7,-2)$
B.$(2,3)$
C.$(2,-7)$
D.$(-3,-2)$
B
)A.$(7,-2)$
B.$(2,3)$
C.$(2,-7)$
D.$(-3,-2)$
答案
3.B
解析
【分析】
解决这道题的核心是掌握平移的性质：平移过程中，图形上所有点的平移方向和距离完全相同，对应点的坐标变化规律一致。解题时首先根据点A和对应点C的坐标，算出平移的坐标变化规则，再将这个规则应用到点B上，就能求出对应点D的坐标。
【解析】
第一步：确定平移的坐标变化规律
已知点A的坐标为$(3,0)$，平移后对应点C的坐标为$(3,5)$，横坐标变化：$3-3=0$，即横坐标不变；纵坐标变化：$5-0=5$，即纵坐标加5，说明线段AB的平移规律是：向上平移5个单位长度，横坐标保持不变。
第二步：计算点D的坐标
因为平移时所有点的变化规律一致，点B的坐标为$(2,-2)$，平移后横坐标仍为2，纵坐标为$-2+5=3$，因此点D的坐标为$(2,3)$。
【答案】
B
【知识点】
平移的坐标规律
【点评】
本题是平移坐标变化的基础应用题，解题关键是先通过已知对应点确定平移规则，再利用规则计算未知对应点坐标，牢记平移时所有点的坐标变化规律一致即可快速解题。
【难度系数】
0.9
解决这道题的核心是掌握平移的性质：平移过程中，图形上所有点的平移方向和距离完全相同，对应点的坐标变化规律一致。解题时首先根据点A和对应点C的坐标，算出平移的坐标变化规则，再将这个规则应用到点B上，就能求出对应点D的坐标。
【解析】
第一步：确定平移的坐标变化规律
已知点A的坐标为$(3,0)$，平移后对应点C的坐标为$(3,5)$，横坐标变化：$3-3=0$，即横坐标不变；纵坐标变化：$5-0=5$，即纵坐标加5，说明线段AB的平移规律是：向上平移5个单位长度，横坐标保持不变。
第二步：计算点D的坐标
因为平移时所有点的变化规律一致，点B的坐标为$(2,-2)$，平移后横坐标仍为2，纵坐标为$-2+5=3$，因此点D的坐标为$(2,3)$。
【答案】
B
【知识点】
平移的坐标规律
【点评】
本题是平移坐标变化的基础应用题，解题关键是先通过已知对应点确定平移规则，再利用规则计算未知对应点坐标，牢记平移时所有点的坐标变化规律一致即可快速解题。
【难度系数】
0.9
4. 在平面直角坐标系$xOy$中,第一象限内的点$(10-a,a-4)$到$x$轴的距离等于到$y$轴距离的一半,则$a$的值为 （
A.$5$
B.$6$
C.$7$
D.$8$
B
）A.$5$
B.$6$
C.$7$
D.$8$
答案
4.B
解析
【分析】
首先回忆相关知识点：第一象限内的点横坐标、纵坐标均为正数；点到x轴的距离是纵坐标的绝对值，到y轴的距离是横坐标的绝对值。解题时先根据点在第一象限确定横、纵坐标的符号，可直接去掉绝对值，再根据“到x轴的距离等于到y轴距离的一半”列方程求解，最后检验结果是否符合第一象限的取值要求即可。
【解析】
∵ 点$(10-a,a-4)$在第一象限
∴ 横坐标和纵坐标均为正数，即：
$\begin{cases}10-a＞0 \\ a-4＞0 \end{cases}$，解得$4＜a＜10$
该点到x轴的距离为纵坐标的值：$a-4$
该点到y轴的距离为横坐标的值：$10-a$
根据题意列方程：
$a-4=\frac{1}{2}(10-a)$
两边同乘2消去分母：$2(a-4)=10-a$
展开得：$2a-8=10-a$
移项合并同类项：$3a=18$
解得：$a=6$
检验：$a=6$满足$4＜a＜10$，符合题意。
【答案】
B
【知识点】
1. 象限内点的坐标特征
2. 点到坐标轴的距离
3. 解一元一次方程
【点评】
本题是平面直角坐标系的基础题型，解题关键是牢记点到坐标轴的距离的表示方法，同时注意结合点所在象限判断坐标的符号，避免出现不符合题意的解。
【难度系数】
0.8
首先回忆相关知识点：第一象限内的点横坐标、纵坐标均为正数；点到x轴的距离是纵坐标的绝对值，到y轴的距离是横坐标的绝对值。解题时先根据点在第一象限确定横、纵坐标的符号，可直接去掉绝对值，再根据“到x轴的距离等于到y轴距离的一半”列方程求解，最后检验结果是否符合第一象限的取值要求即可。
【解析】
∵ 点$(10-a,a-4)$在第一象限
∴ 横坐标和纵坐标均为正数，即：
$\begin{cases}10-a＞0 \\ a-4＞0 \end{cases}$，解得$4＜a＜10$
该点到x轴的距离为纵坐标的值：$a-4$
该点到y轴的距离为横坐标的值：$10-a$
根据题意列方程：
$a-4=\frac{1}{2}(10-a)$
两边同乘2消去分母：$2(a-4)=10-a$
展开得：$2a-8=10-a$
移项合并同类项：$3a=18$
解得：$a=6$
检验：$a=6$满足$4＜a＜10$，符合题意。
【答案】
B
【知识点】
1. 象限内点的坐标特征
2. 点到坐标轴的距离
3. 解一元一次方程
【点评】
本题是平面直角坐标系的基础题型，解题关键是牢记点到坐标轴的距离的表示方法，同时注意结合点所在象限判断坐标的符号，避免出现不符合题意的解。
【难度系数】
0.8
5. 如图,四边形 OABC 是一张放在平面直角坐标系中的长方形纸片,O 为原点,点 A 在 x 轴的正半轴上,点 C 在 y 轴的正半轴上,$OA=10,OC=8$.在 OC 边上取一点 D,将纸片沿 AD 翻折,使点 O 落在 BC 边上的点 E 处,则点 D 的坐标为 （
A.$(0,3)$
B.$(0,4)$
C.$(0,5)$
D.$(0,6)$
C
）A.$(0,3)$
B.$(0,4)$
C.$(0,5)$
D.$(0,6)$
答案
5.C
解析
【分析】
这是一道折叠类几何计算题，解题思路如下：①首先利用折叠的轴对称性质，得到折叠前后对应边相等，即AE=OA、DE=OD；②结合长方形的边长，在Rt△ABE中用勾股定理求出BE的长度，进而得到CE的长度；③设OD的长度为x，用含x的式子表示出CD的长度，再在Rt△CDE中用勾股定理列方程求解x，即可得到D点的坐标。
【解析】
∵四边形OABC是长方形，OA=10，OC=8
∴AB=OC=8，BC=OA=10，∠B=∠C=90°
由折叠的性质可得：△ADE≌△ADO，因此AE=OA=10，DE=OD
在Rt△ABE中，根据勾股定理：
$BE=\sqrt{AE^2-AB^2}=\sqrt{10^2-8^2}=\sqrt{36}=6$
∴$CE=BC-BE=10-6=4$
设点D的坐标为$(0,x)$，则$OD=x$，$DE=x$，$CD=8-x$
在Rt△CDE中，根据勾股定理$CD^2+CE^2=DE^2$，代入得：
$(8-x)^2+4^2=x^2$
展开化简：$64-16x+x^2+16=x^2$
$80-16x=0$
解得$x=5$
即点D的坐标为$(0,5)$
【答案】
C
【知识点】
折叠的性质；勾股定理；长方形的性质
【点评】
本题是轴对称与勾股定理结合的典型题型，核心是通过折叠找到相等的线段，再利用直角三角形的勾股定理建立方程求解，体现了几何计算中的方程思想，是平面几何的基础常考题型。
【难度系数】
0.7
这是一道折叠类几何计算题，解题思路如下：①首先利用折叠的轴对称性质，得到折叠前后对应边相等，即AE=OA、DE=OD；②结合长方形的边长，在Rt△ABE中用勾股定理求出BE的长度，进而得到CE的长度；③设OD的长度为x，用含x的式子表示出CD的长度，再在Rt△CDE中用勾股定理列方程求解x，即可得到D点的坐标。
【解析】
∵四边形OABC是长方形，OA=10，OC=8
∴AB=OC=8，BC=OA=10，∠B=∠C=90°
由折叠的性质可得：△ADE≌△ADO，因此AE=OA=10，DE=OD
在Rt△ABE中，根据勾股定理：
$BE=\sqrt{AE^2-AB^2}=\sqrt{10^2-8^2}=\sqrt{36}=6$
∴$CE=BC-BE=10-6=4$
设点D的坐标为$(0,x)$，则$OD=x$，$DE=x$，$CD=8-x$
在Rt△CDE中，根据勾股定理$CD^2+CE^2=DE^2$，代入得：
$(8-x)^2+4^2=x^2$
展开化简：$64-16x+x^2+16=x^2$
$80-16x=0$
解得$x=5$
即点D的坐标为$(0,5)$
【答案】
C
【知识点】
折叠的性质；勾股定理；长方形的性质
【点评】
本题是轴对称与勾股定理结合的典型题型，核心是通过折叠找到相等的线段，再利用直角三角形的勾股定理建立方程求解，体现了几何计算中的方程思想，是平面几何的基础常考题型。
【难度系数】
0.7
6.(2025·南通期末)点$P(m,n)$在第三象限,且到$x$轴的距离为5,到$y$轴的距离为2,则点$P$的坐标为________.
答案
6.$(-2,-5)$
解析
【分析】
解题思路：首先明确两个核心考点：一是第三象限内点的横、纵坐标均为负数；二是点到x轴的距离等于该点纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于该点横坐标的绝对值。第一步先根据点所在的象限确定横、纵坐标的符号，第二步根据到坐标轴的距离确定横、纵坐标的绝对值，最后结合符号和绝对值求出横、纵坐标的具体值，即可得到点P的坐标。
【解析】
解：
∵点$P(m,n)$在第三象限，
∴$m＜0$，$n＜0$，
∵点$P$到$x$轴的距离为5，到$y$轴的距离为2，
∴$|n|=5$，$|m|=2$，
结合$m＜0$、$n＜0$的符号要求，可得：
$m=-2$，$n=-5$，
∴点$P$的坐标为$(-2,-5)$。
【答案】
$(-2,-5)$
【知识点】
1. 象限内点的坐标特征；2. 点到坐标轴的距离
【点评】
本题是平面直角坐标系的基础题型，重点考查对坐标系基本概念的理解，易错点在于容易混淆点到x轴、y轴的距离分别对应纵坐标、横坐标的绝对值，同时要注意结合点所在象限确定坐标的符号，避免符号错误。
【难度系数】
0.8
解题思路：首先明确两个核心考点：一是第三象限内点的横、纵坐标均为负数；二是点到x轴的距离等于该点纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于该点横坐标的绝对值。第一步先根据点所在的象限确定横、纵坐标的符号，第二步根据到坐标轴的距离确定横、纵坐标的绝对值，最后结合符号和绝对值求出横、纵坐标的具体值，即可得到点P的坐标。
【解析】
解：
∵点$P(m,n)$在第三象限，
∴$m＜0$，$n＜0$，
∵点$P$到$x$轴的距离为5，到$y$轴的距离为2，
∴$|n|=5$，$|m|=2$，
结合$m＜0$、$n＜0$的符号要求，可得：
$m=-2$，$n=-5$，
∴点$P$的坐标为$(-2,-5)$。
【答案】
$(-2,-5)$
【知识点】
1. 象限内点的坐标特征；2. 点到坐标轴的距离
【点评】
本题是平面直角坐标系的基础题型，重点考查对坐标系基本概念的理解，易错点在于容易混淆点到x轴、y轴的距离分别对应纵坐标、横坐标的绝对值，同时要注意结合点所在象限确定坐标的符号，避免符号错误。
【难度系数】
0.8
7.(2025·启东期末)已知点$A(-3,2m-2)$在$x$轴上,则$m$的值为
1
.答案
7.1
解析
【分析】
解决这道题首先要回忆x轴上点的坐标特征：所有位于x轴上的点，纵坐标都为0。已知点A在x轴上，因此它的纵坐标2m-2的取值就是0，接下来只需解关于m的一元一次方程，就能得到m的取值。
【解析】
∵ 点$A(-3,2m-2)$在x轴上，
∴ x轴上的点纵坐标为0，可得$2m-2=0$，
移项得：$2m=2$，
系数化为1得：$m=1$。
【答案】
1
【知识点】
x轴上点的坐标特征；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题，主要考查坐标轴上点的坐标规律的应用，只要牢记x轴上点纵坐标为0、y轴上点横坐标为0的特征，结合简单的方程运算即可解题。
【难度系数】
0.9
解决这道题首先要回忆x轴上点的坐标特征：所有位于x轴上的点，纵坐标都为0。已知点A在x轴上，因此它的纵坐标2m-2的取值就是0，接下来只需解关于m的一元一次方程，就能得到m的取值。
【解析】
∵ 点$A(-3,2m-2)$在x轴上，
∴ x轴上的点纵坐标为0，可得$2m-2=0$，
移项得：$2m=2$，
系数化为1得：$m=1$。
【答案】
1
【知识点】
x轴上点的坐标特征；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题，主要考查坐标轴上点的坐标规律的应用，只要牢记x轴上点纵坐标为0、y轴上点横坐标为0的特征，结合简单的方程运算即可解题。
【难度系数】
0.9
8. 点 $ P(a+2, 2a-5) $ 关于 $ y $ 轴的对称点在第二象限，则 $ a $ 的取值范围是
$a＞\frac{5}{2}$
.答案
8.$a＞\frac{5}{2}$
解析
【分析】
解题时首先回忆关于y轴对称的点的坐标规律：横坐标互为相反数，纵坐标不变。其次明确第二象限内点的坐标特征：横坐标为负，纵坐标为正。我们可以先写出点P关于y轴的对称点坐标，再根据第二象限的坐标符号要求列出关于a的不等式组，最后求解不等式组取公共解集即可得到a的取值范围。
【解析】
解：
∵ 点$P(a+2, 2a-5)$关于y轴的对称点坐标为$(-(a+2), 2a-5)$，即$(-a-2, 2a-5)$
又
∵ 该对称点在第二象限
∴ 可列不等式组：
$\begin{cases}-a-2 ＜ 0 \quad \mathrm{（第二象限横坐标小于0）} \\2a - 5 ＞ 0 \quad \mathrm{（第二象限纵坐标大于0）}\end{cases}$
解第一个不等式：$-a ＜ 2$，得$a ＞ -2$
解第二个不等式：$2a ＞ 5$，得$a ＞ \frac{5}{2}$
根据“同大取大”的原则，两个不等式解集的公共部分为$a ＞ \frac{5}{2}$
【答案】
$a＞\frac{5}{2}$
【知识点】
关于y轴对称的点的坐标特征；象限内点的坐标特征；解一元一次不等式组
【点评】
本题是平面直角坐标系与不等式的结合题，解题的关键是准确掌握坐标对称的性质和各象限点的符号规律，求解不等式组后要注意正确取解集的公共部分。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆关于y轴对称的点的坐标规律：横坐标互为相反数，纵坐标不变。其次明确第二象限内点的坐标特征：横坐标为负，纵坐标为正。我们可以先写出点P关于y轴的对称点坐标，再根据第二象限的坐标符号要求列出关于a的不等式组，最后求解不等式组取公共解集即可得到a的取值范围。
【解析】
解：
∵ 点$P(a+2, 2a-5)$关于y轴的对称点坐标为$(-(a+2), 2a-5)$，即$(-a-2, 2a-5)$
又
∵ 该对称点在第二象限
∴ 可列不等式组：
$\begin{cases}-a-2 ＜ 0 \quad \mathrm{（第二象限横坐标小于0）} \\2a - 5 ＞ 0 \quad \mathrm{（第二象限纵坐标大于0）}\end{cases}$
解第一个不等式：$-a ＜ 2$，得$a ＞ -2$
解第二个不等式：$2a ＞ 5$，得$a ＞ \frac{5}{2}$
根据“同大取大”的原则，两个不等式解集的公共部分为$a ＞ \frac{5}{2}$
【答案】
$a＞\frac{5}{2}$
【知识点】
关于y轴对称的点的坐标特征；象限内点的坐标特征；解一元一次不等式组
【点评】
本题是平面直角坐标系与不等式的结合题，解题的关键是准确掌握坐标对称的性质和各象限点的符号规律，求解不等式组后要注意正确取解集的公共部分。
【难度系数】
0.7
9.已知点$P(3,-1)$关于$y$轴的对称点$Q$的坐标是$(a+b,1-b)$，则$a^b$的值为________.
答案
9.25
解析
【分析】
解题时首先回忆关于y轴对称的点的坐标规律：关于y轴对称的两个点，纵坐标相等，横坐标互为相反数。我们可以利用这个规律，结合点P和它的对称点Q的坐标列出方程，分别求解a、b的值，最后代入$a^b$计算即可得到结果。
【解析】
∵ 关于y轴对称的点，纵坐标相等，横坐标互为相反数，
点$P(3,-1)$关于y轴的对称点为$Q(a+b,1-b)$，
∴ 可得方程组：
$\begin{cases}1-b=-1\\a+b=-3\end{cases}$
解第一个方程：$1-b=-1$，移项得$b=1+1=2$，
将$b=2$代入第二个方程：$a+2=-3$，解得$a=-5$，
∴ $a^b=(-5)^2=25$。
【答案】
25
【知识点】
1. 关于y轴对称的点的坐标特征
2. 有理数乘方运算
【点评】
本题主要考查平面直角坐标系中对称点的坐标性质，解题核心是准确记忆不同对称方式下的坐标变化规律，求出参数后代入计算即可，是基础类考题，掌握相关性质就能轻松解答。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆关于y轴对称的点的坐标规律：关于y轴对称的两个点，纵坐标相等，横坐标互为相反数。我们可以利用这个规律，结合点P和它的对称点Q的坐标列出方程，分别求解a、b的值，最后代入$a^b$计算即可得到结果。
【解析】
∵ 关于y轴对称的点，纵坐标相等，横坐标互为相反数，
点$P(3,-1)$关于y轴的对称点为$Q(a+b,1-b)$，
∴ 可得方程组：
$\begin{cases}1-b=-1\\a+b=-3\end{cases}$
解第一个方程：$1-b=-1$，移项得$b=1+1=2$，
将$b=2$代入第二个方程：$a+2=-3$，解得$a=-5$，
∴ $a^b=(-5)^2=25$。
【答案】
25
【知识点】
1. 关于y轴对称的点的坐标特征
2. 有理数乘方运算
【点评】
本题主要考查平面直角坐标系中对称点的坐标性质，解题核心是准确记忆不同对称方式下的坐标变化规律，求出参数后代入计算即可，是基础类考题，掌握相关性质就能轻松解答。
【难度系数】
0.8
10.在平面直角坐标系中,我们把横、纵坐标都是整数的点叫作整点.如图,已知点$A(0,4)$,$B$是$x$轴正半轴上的点,且点$B$的横坐标为$n$($n$为正整数),记$△ AOB$内部(不包括边界)的整点个数为$m$.当$n=12$时,$m$的值为________;当$n=2026$时,$m$的值为________.
答案
10.15 3037
解析
【分析】
要解决这个问题，我们可以先通过列举n取较小正整数时△AOB内部整点m的取值，总结m随n变化的规律，再利用规律计算n=12和n=2026时的m值。首先明确：内部整点不包含三角形的三条边界，我们只需依次计算x取1到n-1的整数时，对应y可取的正整数个数，累加即可得到m，再从结果中归纳规律。
【解析】
我们先计算n取不同小值时m的结果，总结规律：
当n=1时，三角形内无整点，m=0；
当n=2时，仅有点(1,1)1个整点，m=1；
当n=3时，有(1,1)、(1,2)、(2,1)共3个整点，m=3；
当n=4时，有(1,1)、(1,2)、(2,1)共3个整点，m=3；
当n=5时，有(1,1)、(1,2)、(1,3)、(2,1)、(2,2)、(3,1)共6个整点，m=6；
当n=6时，共有7个整点，m=7；
观察可得规律：
① 当n是4的倍数，即$n=4k$（k为正整数）时，$m=6k-3$；
② 当n是偶数但不是4的倍数，即$n=4k+2$（k为非负整数）时，$m=6k+1$。
代入数值计算：
1. 当$n=12$时，$12=4×3$，符合规律①，$k=3$，因此$m=6×3-3=15$；
2. 当$n=2026$时，$2026=4×506+2$，符合规律②，$k=506$，因此$m=6×506+1=3037$。
【答案】
15；3037
【知识点】
平面直角坐标系，规律探究，整点概念
【点评】
本题考查平面直角坐标系中的格点计数问题，解题核心是通过枚举小值归纳整点个数的变化规律，计算时要注意排除边界上的整点，避免出现多算的错误。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，我们可以先通过列举n取较小正整数时△AOB内部整点m的取值，总结m随n变化的规律，再利用规律计算n=12和n=2026时的m值。首先明确：内部整点不包含三角形的三条边界，我们只需依次计算x取1到n-1的整数时，对应y可取的正整数个数，累加即可得到m，再从结果中归纳规律。
【解析】
我们先计算n取不同小值时m的结果，总结规律：
当n=1时，三角形内无整点，m=0；
当n=2时，仅有点(1,1)1个整点，m=1；
当n=3时，有(1,1)、(1,2)、(2,1)共3个整点，m=3；
当n=4时，有(1,1)、(1,2)、(2,1)共3个整点，m=3；
当n=5时，有(1,1)、(1,2)、(1,3)、(2,1)、(2,2)、(3,1)共6个整点，m=6；
当n=6时，共有7个整点，m=7；
观察可得规律：
① 当n是4的倍数，即$n=4k$（k为正整数）时，$m=6k-3$；
② 当n是偶数但不是4的倍数，即$n=4k+2$（k为非负整数）时，$m=6k+1$。
代入数值计算：
1. 当$n=12$时，$12=4×3$，符合规律①，$k=3$，因此$m=6×3-3=15$；
2. 当$n=2026$时，$2026=4×506+2$，符合规律②，$k=506$，因此$m=6×506+1=3037$。
【答案】
15；3037
【知识点】
平面直角坐标系，规律探究，整点概念
【点评】
本题考查平面直角坐标系中的格点计数问题，解题核心是通过枚举小值归纳整点个数的变化规律，计算时要注意排除边界上的整点，避免出现多算的错误。
【难度系数】
0.6
