三、解答题
11. 在平面直角坐标系中,已知点$M(3m-2,5-2m)$.
(1)若点$M$到$x$轴的距离是$3$,求$m$的值;
(2)若点$M$在第二、四象限的角平分线上,求$m$的值.

11.解:(1)由题意,得$|5-2m|=3$,
$\therefore 5-2m=3$或$5-2m=-3$,
解得$m=1$或$m=4$,
即$m$的值为$1$或$4$.
(2)$\because$点$M$在第二、四象限的角平分线上,
$\therefore (3m-2)+(5-2m)=0$,
解得$m=-3$,即$m$的值为$-3$.

【分析】
(1) 解第一问的核心是明确点到x轴的距离的性质：平面直角坐标系中，任意一点到x轴的距离等于该点纵坐标的绝对值，据此可列出关于m的绝对值方程，再分两种情况解绝对值方程即可得到m的取值；
(2) 解第二问需要掌握第二、四象限角平分线上的点的坐标特征：该线上所有点的横纵坐标互为相反数，即横坐标与纵坐标的和为0，代入坐标列出一元一次方程，求解即可得到m的值。
【解析】
(1) 由点M到x轴的距离是3，结合点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，可得：
$|5-2m|=3$
分两种情况讨论：
① 当$5-2m=3$时，解得$m=1$；
② 当$5-2m=-3$时，解得$m=4$。
(2) 因为点M在第二、四象限的角平分线上，该线上的点横纵坐标互为相反数，因此：
$(3m-2)+(5-2m)=0$
化简得$m+3=0$，解得$m=-3$。
【答案】
(1) $m$的值为1或4；(2) $m$的值为$-3$
【知识点】
点到坐标轴的距离；象限角平分线的坐标特征
【点评】
本题属于平面直角坐标系的基础应用题，解题关键是将点的位置特征转化为对应的代数方程，运算量小，熟练掌握相关基础性质即可快速解题。
【难度系数】
0.75

12.在如图所示的网格(每个小正方形的边长为1)中，$△ ABC$的顶点$A$的坐标为$(-2,1)$，顶点$B$的坐标为$(-1,2)$。
(1)在网格图中画出两条坐标轴，并标出坐标原点；
(2)作$△ A'B'C'$关于$x$轴对称的图形$△ A''B''C''$；
(3)求$BB''$的长。

12.解:(1)如答图.
(2)画出$△ A''B''C''$如答图.

(3)$BB''=\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{20}$.

【分析】
1. 第(1)问：已知点A的坐标为$(-2,1)$，说明该点在原点左侧2个单位、上方1个单位，因此将A点向右平移2个单位、向下平移1个单位即可得到坐标原点O，再过原点作水平向右的x轴、竖直向上的y轴，就能完成坐标系的绘制。
2. 第(2)问：关于x轴对称的点的坐标规律是横坐标不变，纵坐标互为相反数，先确定$△ A'B'C'$各顶点的坐标，再分别求出各点关于x轴的对称点$A''$、$B''$、$C''$，依次连接三个点即可得到$△ A''B''C''$。
3. 第(3)问：要求线段$BB''$的长度，先确定B、$B''$两点的坐标，得到两点的横向距离和纵向距离，再利用勾股定理，以横向、纵向距离为直角边长，斜边长即为$BB''$的长度。
【解析】
(1) 由点A坐标为$(-2,1)$可知，原点O在A点右侧2个单位、下方1个单位的位置，过O作水平的x轴（向右为正方向）、竖直的y轴（向上为正方向），即可完成坐标轴绘制。
(2) 先确定$△ A'B'C'$各顶点坐标：$A'(2,1)$、$B'(1,2)$、$C'(3,3)$，根据关于x轴对称的点的坐标特征，可得对称点坐标：$A''(2,-1)$、$B''(1,-2)$、$C''(3,-3)$，在网格中找到这三个点，依次连接即可得到$△ A''B''C''$。
(3) 已知B点坐标为$(-1,2)$，$B''$坐标为$(1,-2)$，两点的横向距离为$|1-(-1)|=2$，纵向距离为$|-2-2|=4$，根据勾股定理计算：
$BB''=\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}$
【答案】
(1) 如答图；
(2) 画出$△ A''B''C''$如答图；

(3) $BB''=\sqrt{20}$
【知识点】
平面直角坐标系建立、轴对称的坐标特征、勾股定理求线段长
【点评】
本题属于几何基础综合题，考查了坐标系的绘制、轴对称图形的作法以及勾股定理的应用，解题关键是熟练掌握坐标变换的规律，能灵活运用勾股定理计算网格中线段的长度。
【难度系数】
0.7

13.在平面直角坐标系中,给出如下定义:点 P 到 x 轴,y 轴的距离的较大值称为点 P 的“长距”,点 Q 到 x 轴,y 轴的距离相等时,称点 Q 为“完美点”.
(1)点$A(-1,3)$的“长距”为;
(2)若点$B(4a-1,-3)$是“完美点”,求 a 的值;
(3)若点$C(-2,3b-2)$的“长距”为 4,且点 C 在第二象限内,点 D 的坐标为$(9-2b,-5)$,试说明:点 D 是“完美点”.

13.(1)3
(2)解:$\because$点$B(4a-1,-3)$是“完美点”,
$\therefore |4a-1|=|-3|$,
$\therefore 4a-1=3$或$4a-1=-3$,解得$a=1$或$a=-\frac{1}{2}$.
(3)解:$\because$点$C(-2,3b-2)$的“长距”为4,且点$C$在第二象限内,
$\therefore 3b-2=4$,解得$b=2$,$\therefore 9-2b=5$,
$\therefore$点$D$的坐标为$(5,-5)$,
$\therefore$点$D$到$x$轴,$y$轴的距离都是5,$\therefore$点$D$是“完美点”.

【分析】
本题属于新定义类题型，解题核心是准确理解两个新定义的含义：①“长距”是点到x轴、y轴距离的较大值，其中点到x轴的距离为纵坐标的绝对值，到y轴的距离为横坐标的绝对值；②“完美点”是到x轴、y轴距离相等的点，即点的横、纵坐标的绝对值相等。
(1) 先分别计算点A到x轴、y轴的距离，取较大值即可得到长距；
(2) 根据“完美点”的定义列横纵坐标绝对值相等的方程，解绝对值方程即可求出a的值；
(3) 先结合点C在第二象限的坐标特征、“长距为4”的条件列方程求出b的值，再代入得到点D的坐标，验证点D的横、纵坐标绝对值是否相等即可。
【解析】
(1) 点$A(-1,3)$到x轴的距离为$|3|=3$，到y轴的距离为$|-1|=1$，较大值为3，故长距为3。
(2) 解：$\because$点$B(4a-1,-3)$是“完美点”，
$\therefore |4a-1|=|-3|$，
$\therefore 4a-1=3$或$4a-1=-3$，解得$a=1$或$a=-\frac{1}{2}$。
(3) 解：$\because$点$C(-2,3b-2)$在第二象限内，$\therefore$点C的纵坐标$3b-2＞0$，
点C到y轴的距离为$|-2|=2$，已知它的“长距”为4，
$\therefore$点C到x轴的距离为4，即$3b-2=4$，解得$b=2$，
$\therefore 9-2b=9-2×2=5$，即点D的坐标为$(5,-5)$，
$\because$点D到x轴的距离为$|-5|=5$，到y轴的距离为$|5|=5$，二者相等，
$\therefore$点D是“完美点”。
【答案】
(1)$3$
(2)$a=1$或$a=-\frac{1}{2}$
(3)点D是“完美点”，理由见解析
【知识点】
新定义问题，平面直角坐标系点的特征，绝对值方程求解
【点评】
本题以新定义为载体考查平面直角坐标系的相关知识，解题关键是准确理解新定义的含义，结合坐标的几何意义列方程计算，侧重对基础概念和运算能力的考查。
【难度系数】
0.8

14.在平原上有一条笔直的公路,在公路同侧有A,B两个村庄.以公路所在直线为x轴建立平面直角坐标系,如图.已知A,B两个村庄的坐标分别为(2,2),(7,4),一辆汽车(看成点P)在公路(x轴)上行驶.
(1)汽车行驶过程中,到A,B两村距离之和最小为多少?
(2)汽车行驶过程中,到A,B两村距离之差最大为多少?

14.解:(1)如答图①,作点$A$关于$x$轴的对称点$A'(2,-2)$,
连接$A'B$,交$x$轴于点$P$,则$A'B$的长即为汽车到$A$,$B$两村距离之和的最小值.
$\because B(7,4),\therefore A'B=\sqrt{(7-2)^2+(4+2)^2}=\sqrt{61}$.
(2)如答图②,当点$P$为$BA$的延长线与$x$轴的交点时,汽车到$A$,$B$两村距离之差最大,
$AB=\sqrt{(7-2)^2+(4-2)^2}=\sqrt{29}$.

【分析】
(1) 本题是x轴同侧两点求x轴上点到两点距离和最小值的最短路径类题型：首先利用轴对称的性质，作点A关于x轴的对称点A'，此时x轴上任意点P都满足PA=PA'，可将PA+PB转化为PA'+PB；再根据两点之间线段最短，可知A'B的长度就是PA+PB的最小值，最后用两点间距离公式计算A'B的长度即可。
(2) 求距离差最大值时，根据三角形三边关系：任意三角形中两边之差小于第三边，因此当P、A、B三点不共线时，|PB-PA|＜AB；只有当P在BA的延长线与x轴的交点时，三点共线，|PB-PA|=AB，此时距离差取最大值，计算AB的长度即可。
【解析】
(1) 如答图①，作点A关于x轴的对称点$A'(2,-2)$，连接$A'B$，交$x$轴于点$P$，根据轴对称性质，$PA=PA'$，因此$PA+PB=PA'+PB$，根据两点之间线段最短，此时$A'B$的长即为汽车到A，B两村距离之和的最小值。
已知$B(7,4)$，由两点间距离公式可得：
$A'B=\sqrt{(7-2)^2+(4+2)^2}=\sqrt{25+36}=\sqrt{61}$。
(2) 如答图②，根据三角形三边关系，当$P$、$A$、$B$三点不共线时，$|PB-PA|＜AB$；当点$P$为$BA$的延长线与$x$轴的交点时，三点共线，$|PB-PA|=AB$，此时汽车到A，B两村距离之差最大。
由两点间距离公式计算$AB$的长度：
$AB=\sqrt{(7-2)^2+(4-2)^2}=\sqrt{25+4}=\sqrt{29}$。
【答案】
(1) 距离之和最小为$\sqrt{61}$；(2) 距离之差最大为$\sqrt{29}$。

【知识点】
轴对称的性质；两点间距离公式；三角形三边关系
【点评】
本题是平面直角坐标系中几何最值的典型考题，分别考查了线段和最小、线段差最大两类常见模型，解题核心是掌握对称转化的思路，以及利用几何基本性质判断最值位置的方法，对学生的几何建模能力有一定要求。
【难度系数】
0.6