21. 某超市在“双十一”期间推出优惠活动，优惠的具体方案如下：

(1)若小亮一次性购买原价 300 元的商品，他实际付款元；
若一次性购买原价 600 元的商品，他实际付款元.
(2)如果小亮一次性购物的实际付款是 524 元，试求他这次购买商品的原价是多少元？

21. 解:(1)290 540
(2)当原价为 400 元时,实际付款为 $200+200×0.9=200+180=380$(元).
$\because 524＞380$,
$\therefore$他购买商品的原价超过 400 元.
设原价为$x$元,
由题意,得 $200+200×0.9+(x-400)×0.8=524$,
解得 $x=580.$
答:他这次购买商品的原价是 580 元.

22.【问题初探】
(1)数学课上，李老师给出如下问题：如图7-9中图1，点C在线段AB上，点D在线段AB的延长线上，若$AB=12\ \mathrm{cm}$，$CD=6\ \mathrm{cm}$，点E是线段AD的中点.探究EC与BD之间的数量关系，并说明理由.小慧同学回答：可以设$EC=a\ \mathrm{cm}$，用含$a$的式子表示出BD的长，进而得到EC与BD之间的数量关系，请你按照小慧同学的解题思路，写出说理过程.

【类比分析】
(2)为了帮助学生更好地体会这种方法，李老师把线段问题改成了与角有关的问题，请你解答.
如图7-9中图2，$∠ AOB=60°$，射线OC在$∠ AOB$的内部，将射线OC绕O点逆时针旋转$120°$得到射线OD(即$∠ COD=120°$)，OE平分$∠ BOD$.探究$∠ BOE$与$∠ AOC$的数量关系，并说明理由.

22. 解:(1)设$EC=a\ \mathrm{cm}$,则$ED=EC+CD=(a+6)\mathrm{cm}$,
$\because$点$E$是线段$AD$的中点,
$\therefore AD=2ED=2(a+6)=2a+12$,
$\because AB=12\ \mathrm{cm}$,
$\therefore BD=AD-AB=2a+12-12=2a$,
则$BD=2EC.$
(2)$∠ BOE=30°+\frac{1}{2}∠ AOC.$理由如下:
设$∠ AOC=α.$
$\because ∠ AOB=60°$,
$\therefore ∠ BOC=∠ AOB-∠ AOC=60°-α.$
$\because ∠ COD=120°$,
$\therefore ∠ BOD=∠ COD-∠ BOC=120°-(60°-α)=60°+α.$
$\because OE$平分$∠ BOD$,
$\therefore ∠ BOE=\frac{1}{2}∠ BOD=\frac{1}{2}(60°+α)=30°+\frac{1}{2}α$,
则$∠ BOE=30°+\frac{1}{2}∠ AOC.$