22. (10分)如图,在$□ ABCD$中,$M$为边$AD$的中点,过点$C$作$AB$的垂线交$AB$于点$E$,连接$ME$.已知$AM=2AE=4$, $∠ BCE=30°$.
(1)求$□ ABCD$的面积;

(2)求证:$∠ EMC=2∠ AEM$.

(1) 解：
∵ $AM=2AE=4$，
∴ $AE=2$，$AM=4$.
∵ $M$为$AD$的中点，
∴ $AD=2AM=8$.
∵ 四边形$ABCD$是平行四边形，
∴ $BC=AD=8$，$AB// CD$.
∵ $CE⊥ AB$，
∴ $∠ BEC=90°$.
在$\mathrm{Rt}△ BCE$中，$∠ BCE=30°$，
∴ $BE=\frac{1}{2}BC=4$，
$CE=\sqrt{BC^2-BE^2}=\sqrt{8^2-4^2}=4\sqrt{3}$.
∵ $AB=AE+BE=2+4=6$，
∴ $□ ABCD$的面积$=AB· CE=6×4\sqrt{3}=24\sqrt{3}$.
(2) 证明：
延长$EM$交$CD$的延长线于点$F$.
∵ 四边形$ABCD$是平行四边形，
∴ $AB// CD$，
∴ $∠ A=∠ MDF$.
∵ $M$为$AD$的中点，
∴ $AM=DM$.
在$△ AEM$和$△ DFM$中，
$\begin{cases}∠ A=∠ MDF \\AM=DM \\∠ AME=∠ DMF\end{cases}$
∴ $△ AEM≌△ DFM(\mathrm{ASA})$.
∴ $EM=FM$，$AE=DF=2$.
∵ $CE⊥ AB$，$AB// CD$，
∴ $CE⊥ CD$，即$∠ ECF=90°$.
在$\mathrm{Rt}△ ECF$中，$M$为$EF$的中点，
∴ $CM=EM=FM$，
∴ $∠ F=∠ MCF$.
∵ $AB// CD$，
∴ $∠ AEM=∠ F$，
∴ $∠ MCF=∠ AEM$.
∵ $∠ EMC=∠ F+∠ MCF$，
∴ $∠ EMC=2∠ AEM$.

23. (12分)如图1,在正方形$ABCD$中,$P$是对角线$BD$上的一点,点$E$在$AD$的延长线上,且$PA=PE$,$PE$交$CD$于点$F$.
(1)求证:$PC=PE$;
(2)求$∠ CPE$的度数;
(3)如图2,把正方形$ABCD$改为菱形$ABCD$,其他条件不变,当$∠ ABC=120°$时,连接$CE$,试探究线段$AP$与线段$CE$的数量关系,并说明理由.

(1) 证明：
∵ 四边形$ABCD$是正方形，
∴ $AB=BC$，$∠ ABP=∠ CBP=45°$，
在$△ ABP$和$△ CBP$中，
$\begin{cases}AB=BC \\∠ ABP=∠ CBP \\BP=BP\end{cases}$
∴ $△ ABP ≌ △ CBP(\mathrm{SAS})$，
∴ $PA=PC$，
又∵ $PA=PE$，
∴ $PC=PE$。
(2) 解：
∵ 四边形$ABCD$是正方形，
∴ $∠ ADC=90°$，即$∠ EDF=90°$，
由(1)知$△ ABP ≌ △ CBP$，
∴ $∠ BAP=∠ BCP$，
∵ $∠ BAP+∠ PAD=90°$，$∠ BCP+∠ PCD=90°$，
∴ $∠ PAD=∠ PCD$，
∵ $PA=PE$，
∴ $∠ PAD=∠ E$，
∴ $∠ PCD=∠ E$，
在$△ DFE$和$△ PFC$中，$∠ DFE=∠ PFC$，
∴ $∠ CPE=∠ EDF=90°$。
(3) 解：$AP=CE$，理由如下：
∵ 四边形$ABCD$是菱形，$∠ ABC=120°$，
∴ $AB=BC$，$∠ ABP=∠ CBP=60°$，$∠ ADC=∠ ABC=120°$，
∴ $∠ EDC=180°-∠ ADC=60°$，
在$△ ABP$和$△ CBP$中，
$\begin{cases}AB=BC \\∠ ABP=∠ CBP \\BP=BP\end{cases}$
∴ $△ ABP ≌ △ CBP(\mathrm{SAS})$，
∴ $PA=PC$，
又∵ $PA=PE$，
∴ $PC=PE$，
由$△ ABP ≌ △ CBP$得$∠ BAP=∠ BCP$，
∵ $∠ BAD=180°-∠ ABC=60°$，
∴ $∠ BAP+∠ PAD=180°-∠ BAD=120°$，
$∠ BCP+∠ PCD=120°$，
∴ $∠ PAD=∠ PCD$，
∵ $PA=PE$，
∴ $∠ PAD=∠ E$，
∴ $∠ PCD=∠ E$，
在$△ DFE$和$△ PFC$中，$∠ DFE=∠ PFC$，
∴ $∠ CPE=∠ EDC=60°$，
又∵ $PC=PE$，
∴ $△ PCE$是等边三角形，
∴ $CE=PE$，
又∵ $PA=PE$，
∴ $AP=CE$。