24. (13分)如图,现有边长为4的正方形纸片$ABCD$,$P$为边$AD$上的一点(不与点$A,D$重合),将正方形纸片折叠,使点$B$落在点$P$处,点$C$落在点$G$处,$PG$交$DC$于点$H$,折痕为$EF$,连接$BP,BH$.
(1)求证:$∠ APB=∠ BPH$;
(2)求证:$AP+HC=PH$;
(3)当$AP=1$时,求$PH$的长.

(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ AD//BC，
∴ ∠APB=∠PBC，
由折叠的性质得∠BPH=∠PBC，
∴ ∠APB=∠BPH。
(2) 证明：
过点B作BM⊥PH于点M，
在△ABP和△MBP中，
$\{\begin{array}{l}∠A=∠BMP=90°\\∠APB=∠MPB\\BP=BP\end{array} $
∴ △ABP≌△MBP（AAS），
∴ AP=MP，AB=BM，
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ AB=BC，
∴ BM=BC，
在Rt△BCH和Rt△BMH中，
$\{\begin{array}{l}BH=BH\\BC=BM\end{array} $
∴ Rt△BCH≌Rt△BMH（HL），
∴ HC=HM，
∵ PH=PM+HM，
∴ PH=AP+HC。
(3) 解：
设PH的长为x，
由(2)知HC=PH-AP=x-1，
∵ 正方形ABCD的边长为4，
∴ DH=DC-HC=4-(x-1)=5-x，
PD=AD-AP=4-1=3，
在Rt△PDH中，根据勾股定理：
$PD^2 + DH^2 = PH^2$，
即$3^2 + (5-x)^2 = x^2$，
展开得：$9 + 25 - 10x + x^2 = x^2$，
化简得：$34 - 10x = 0$，
解得：$x = \frac{17}{5}$，
∴ PH的长为$\frac{17}{5}$。