19. (8分)如图,在$□ ABCD$中,点$E,F$分别在边$BC,AD$上,$AF=CE$.
(1)求证:$△ ABE≌△ CDF$;
(2)连接$EF$.请添加一个与线段相关的条件,使四边形$ABEF$是平行四边形.(不需要说明理由)

(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB=CD，∠B=∠D，AD=BC，
∵ AF=CE，
∴ AD - AF = BC - CE，即 BE=DF，
在△ABE和△CDF中，
$\{\begin{array}{l}AB=CD\\∠B=∠D\\BE=DF\end{array} $
∴ △ABE≌△CDF（SAS）
(2) 添加的条件：$AF=AB$（答案不唯一，如$BE=AB$、$EF=AB$等均可）

20. (7分)如图,$□ ABCD$的对角线$AC,BD$相交于点$O$,$EF$过点$O$且与$BC,AD$分别相交于点$E,F$.试猜想线段$AE$,$CF$的关系,并说明理由.

解：线段$AE$与$CF$的关系是平行且相等，理由如下：
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$AD// BC$，$AO=CO$，
∴$∠ OAF=∠ OCE$，
在$△ AOF$和$△ COE$中，
$\{\begin{array}{l}∠ OAF=∠ OCE\\AO=CO\\∠ AOF=∠ COE\end{array} $
∴$△ AOF≌△ COE(ASA)$，
∴$AF=CE$，
又∵$AF// CE$，
∴四边形$AECF$是平行四边形，
∴$AE// CF$且$AE=CF$。

21. (8分)如图,$E$是矩形$ABCD$的边$BC$上的一点,且$AE=AD$.
(1)尺规作图:作$∠ DAE$的平分线$AF$,交$BC$的延长线于点$F$,连接$DF$(保留作图痕迹,不写作法);
(2)试判断四边形$AEFD$的形状,并说明理由.

解：
(1) 作图如下（保留作图痕迹：以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AD、AE于两点；分别以这两点为圆心，大于两点间距离一半的长度为半径画弧，两弧交于一点；过点A与该交点作射线，交BC的延长线于点F，连接DF）；
(2) 四边形AEFD是菱形，理由如下：
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ $AD// BC$，
∴ $∠ DAF = ∠ AFE$，
∵ AF平分$∠ DAE$，
∴ $∠ DAF = ∠ EAF$，
∴ $∠ EAF = ∠ AFE$，
∴ $AE = EF$，
又∵ $AE = AD$，
∴ $AD = EF$，
∵ $AD// EF$且$AD=EF$，
∴ 四边形AEFD是平行四边形，
又∵ $AE = AD$，
∴ 平行四边形AEFD是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）。