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9. 下列等式中,一定成立的是 ()
A.$\sqrt{a^{2}}=a$
B.$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$
C.$\sqrt{(a^{2}+1)^{2}}=a^{2}+1$
D.$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}$
A.$\sqrt{a^{2}}=a$
B.$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$
C.$\sqrt{(a^{2}+1)^{2}}=a^{2}+1$
D.$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}$
答案
C
解析
根据二次根式的性质逐一分析：
选项A：$\sqrt{a^2}=|a|$，当$a＜0$时，$\sqrt{a^2}=-a≠a$，故A不成立；
选项B：$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$成立的条件是$a≥0$且$b＞0$，当$a＜0$、$b＜0$时等式无意义，故B不成立；
选项C：因为$a^2≥0$，所以$a^2+1＞0$，由$\sqrt{x^2}=|x|$可得$\sqrt{(a^2+1)^2}=|a^2+1|=a^2+1$，故C一定成立；
选项D：$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}$成立的条件是$a≥0$且$b≥0$，当$a＜0$、$b＜0$时等式无意义，故D不成立。
选项A：$\sqrt{a^2}=|a|$，当$a＜0$时，$\sqrt{a^2}=-a≠a$，故A不成立；
选项B：$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$成立的条件是$a≥0$且$b＞0$，当$a＜0$、$b＜0$时等式无意义，故B不成立；
选项C：因为$a^2≥0$，所以$a^2+1＞0$，由$\sqrt{x^2}=|x|$可得$\sqrt{(a^2+1)^2}=|a^2+1|=a^2+1$，故C一定成立；
选项D：$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}$成立的条件是$a≥0$且$b≥0$，当$a＜0$、$b＜0$时等式无意义，故D不成立。
10. 如果 $m=\sqrt{5}-2$,$n=\sqrt{5}+2$,那么m和n的关系是 ()
A.互为相反数
B.互为倒数
C.相等
D.互为负倒数
A.互为相反数
B.互为倒数
C.相等
D.互为负倒数
答案
B
解析
计算$m · n$的值：
$m · n = (\sqrt{5} - 2)(\sqrt{5} + 2) = (\sqrt{5})^2 - 2^2 = 5 - 4 = 1$，
根据倒数的定义，乘积为1的两个数互为倒数，故$m$和$n$互为倒数。
$m · n = (\sqrt{5} - 2)(\sqrt{5} + 2) = (\sqrt{5})^2 - 2^2 = 5 - 4 = 1$，
根据倒数的定义，乘积为1的两个数互为倒数，故$m$和$n$互为倒数。
二、填空题(每小题3分,共15分)
11. 计算:$\sqrt{3}×\sqrt{12}=$.
11. 计算:$\sqrt{3}×\sqrt{12}=$.
答案
解：
$\sqrt{3}×\sqrt{12}=\sqrt{3×12}=\sqrt{36}=6$
$\sqrt{3}×\sqrt{12}=\sqrt{3×12}=\sqrt{36}=6$
12. 若 $\sqrt{x-2}+\sqrt{y+7}=0$,则 $\sqrt{x-y}=$.
答案
3
解析
根据算术平方根的非负性，得$\sqrt{x-2} ≥ 0$，$\sqrt{y+7} ≥ 0$。因为$\sqrt{x-2}+\sqrt{y+7}=0$，所以$\sqrt{x-2}=0$，$\sqrt{y+7}=0$。解得$x=2$，$y=-7$。则$x-y=2-(-7)=9$，故$\sqrt{x-y}=\sqrt{9}=3$。
13. 已知 $a=(\frac{1}{2})^{-1}+(-\sqrt{3})^{0}$,$b=(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})$,则 $\sqrt{a+b}=$.
答案
2
解析
1. 计算$a$的值：根据负整数指数幂和零指数幂的性质，$(\frac{1}{2})^{-1}=2$，$(-\sqrt{3})^0=1$，因此$a=2+1=3$；
2. 计算$b$的值：利用平方差公式，$(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})=(\sqrt{3})^2-(\sqrt{2})^2=3-2=1$；
3. 计算$a+b=3+1=4$，则$\sqrt{a+b}=\sqrt{4}=2$。
2. 计算$b$的值：利用平方差公式，$(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})=(\sqrt{3})^2-(\sqrt{2})^2=3-2=1$；
3. 计算$a+b=3+1=4$，则$\sqrt{a+b}=\sqrt{4}=2$。
14. 已知一个三角形的面积为 $\frac{\sqrt{15}}{2}$,一条边的长为 $\sqrt{5}$,则这条边上的高为.
答案
$\sqrt{3}$
解析
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ah$（$S$为面积，$a$为底边长，$h$为这条边上的高），设这条边上的高为$h$。
代入已知条件：$\frac{1}{2} × \sqrt{5} × h = \frac{\sqrt{15}}{2}$，
两边同乘2得：$\sqrt{5}h = \sqrt{15}$，
解得：$h = \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{5}} = \sqrt{3}$。
代入已知条件：$\frac{1}{2} × \sqrt{5} × h = \frac{\sqrt{15}}{2}$，
两边同乘2得：$\sqrt{5}h = \sqrt{15}$，
解得：$h = \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{5}} = \sqrt{3}$。
15. 定义:若两个二次根式a,b满足$ab=c$,且c是有理数,则称a与b是关于c的共轭二次根式.若a与$\sqrt{2}$是关于4的共轭二次根式,则$a=$.
答案
$2\sqrt{2}$
解析
根据共轭二次根式的定义，由题意得$a·\sqrt{2}=4$，则$a=\frac{4}{\sqrt{2}}$，分母有理化得$a=\frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{2}×\sqrt{2}}=2\sqrt{2}$。
三、解答题(共75分)
16.(8分)化简:
(1) $\sqrt{300}$;
(2) $(-3\sqrt{3})^{2}$;
(3) $\frac{2}{3}\sqrt{\frac{27}{8}}$;
(4) $\frac{\sqrt{2}}{3\sqrt{40}}$.
16.(8分)化简:
(1) $\sqrt{300}$;
(2) $(-3\sqrt{3})^{2}$;
(3) $\frac{2}{3}\sqrt{\frac{27}{8}}$;
(4) $\frac{\sqrt{2}}{3\sqrt{40}}$.
答案
解：
(1) $\sqrt{300}=\sqrt{100×3}=\sqrt{100}×\sqrt{3}=10\sqrt{3}$；
(2) $(-3\sqrt{3})^{2}=(-3)^{2}×(\sqrt{3})^{2}=9×3=27$；
(3) $\frac{2}{3}\sqrt{\frac{27}{8}}=\frac{2}{3}×\frac{\sqrt{27}}{\sqrt{8}}=\frac{2}{3}×\frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}×\sqrt{2}}{\sqrt{2}×\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6}}{2}$；
(4) $\frac{\sqrt{2}}{3\sqrt{40}}=\frac{\sqrt{2}}{3×\sqrt{4×10}}=\frac{\sqrt{2}}{3×2\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{2}}{6\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{2}×\sqrt{10}}{6×\sqrt{10}×\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{20}}{60}=\frac{2\sqrt{5}}{60}=\frac{\sqrt{5}}{30}$。
(1) $\sqrt{300}=\sqrt{100×3}=\sqrt{100}×\sqrt{3}=10\sqrt{3}$；
(2) $(-3\sqrt{3})^{2}=(-3)^{2}×(\sqrt{3})^{2}=9×3=27$；
(3) $\frac{2}{3}\sqrt{\frac{27}{8}}=\frac{2}{3}×\frac{\sqrt{27}}{\sqrt{8}}=\frac{2}{3}×\frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}×\sqrt{2}}{\sqrt{2}×\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6}}{2}$；
(4) $\frac{\sqrt{2}}{3\sqrt{40}}=\frac{\sqrt{2}}{3×\sqrt{4×10}}=\frac{\sqrt{2}}{3×2\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{2}}{6\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{2}×\sqrt{10}}{6×\sqrt{10}×\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{20}}{60}=\frac{2\sqrt{5}}{60}=\frac{\sqrt{5}}{30}$。
