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一、选择题(每小题3分,共30分)
1. 下列各式中,是二次根式的是 ()
A. $\sqrt[3]{8}$
B. $\sqrt{-2}$
C. $-\sqrt{3}$
D. 2
1. 下列各式中,是二次根式的是 ()
A. $\sqrt[3]{8}$
B. $\sqrt{-2}$
C. $-\sqrt{3}$
D. 2
答案
解：根据二次根式的定义：形如$\sqrt{a}$（$a≥0$）的式子叫做二次根式。
选项A：$\sqrt[3]{8}$的根指数是3，是三次根式，不是二次根式；
选项B：$\sqrt{-2}$的被开方数$-2＜0$，无意义，不是二次根式；
选项C：$-\sqrt{3}$符合二次根式的形式，被开方数$3≥0$，是二次根式；
选项D：2是整数，不是二次根式。
故选C。
选项A：$\sqrt[3]{8}$的根指数是3，是三次根式，不是二次根式；
选项B：$\sqrt{-2}$的被开方数$-2＜0$，无意义，不是二次根式；
选项C：$-\sqrt{3}$符合二次根式的形式，被开方数$3≥0$，是二次根式；
选项D：2是整数，不是二次根式。
故选C。
2. 函数 $y=\sqrt{2-x}+\frac{1}{x+1}$ 中,自变量x的取值范围是 ()
A.$x≤ 2$
B.$x≤ 2$ 且 $x≠ -1$
C.$x≥ 2$
D.$x≥ 2$ 且 $x≠ -1$
A.$x≤ 2$
B.$x≤ 2$ 且 $x≠ -1$
C.$x≥ 2$
D.$x≥ 2$ 且 $x≠ -1$
答案
B
解析
要确定自变量x的取值范围，需分别满足二次根式和分式的有意义条件：
1. 二次根式$\sqrt{2-x}$的被开方数非负，即$2-x≥0$，解得$x≤2$；
2. 分式$\frac{1}{x+1}$的分母不为0，即$x+1≠0$，解得$x≠-1$。
综合得自变量x的取值范围是$x≤2$且$x≠-1$。
1. 二次根式$\sqrt{2-x}$的被开方数非负，即$2-x≥0$，解得$x≤2$；
2. 分式$\frac{1}{x+1}$的分母不为0，即$x+1≠0$，解得$x≠-1$。
综合得自变量x的取值范围是$x≤2$且$x≠-1$。
3. 已知二次根式 $\sqrt{x^{2}}$ 的值为3,那么x的值是 ()
A.3
B.9
C.$-3$
D.3或$-3$
A.3
B.9
C.$-3$
D.3或$-3$
答案
D
解析
根据二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$，已知$\sqrt{x^2}=3$，可得$|x|=3$，解得$x=3$或$x=-3$。
4. 下列式子中,属于代数式的有 ()
①0;②x;③$x+2$;④$2x$;⑤$x=2$;⑥$x＞2$;⑦$\sqrt{x^{2}+1}$;⑧$x≠ 2$.
A.5个
B.6个
C.7个
D.8个
①0;②x;③$x+2$;④$2x$;⑤$x=2$;⑥$x＞2$;⑦$\sqrt{x^{2}+1}$;⑧$x≠ 2$.
A.5个
B.6个
C.7个
D.8个
答案
A
解析
根据代数式的定义：由数和字母经有限次代数运算所得的式子，不含等号、不等号。分析各式子：
①0、②x、③$x+2$、④$2x$、⑦$\sqrt{x^{2}+1}$符合代数式定义，共5个；⑤$x=2$是等式，⑥$x＞2$、⑧$x≠ 2$是不等式，均不属于代数式。
①0、②x、③$x+2$、④$2x$、⑦$\sqrt{x^{2}+1}$符合代数式定义，共5个；⑤$x=2$是等式，⑥$x＞2$、⑧$x≠ 2$是不等式，均不属于代数式。
5. 下列根式中,属于最简二次根式的是 ()
A.$\sqrt{\frac{1}{3}}$
B.$\sqrt{0.3}$
C.$\sqrt{3}$
D.$\sqrt{20}$
A.$\sqrt{\frac{1}{3}}$
B.$\sqrt{0.3}$
C.$\sqrt{3}$
D.$\sqrt{20}$
答案
C
解析
根据最简二次根式的定义（被开方数不含分母，且不含能开得尽方的因数或因式）逐一判断：
A. $\sqrt{\frac{1}{3}}$被开方数含分母，不是最简二次根式；
B. $\sqrt{0.3}=\sqrt{\frac{3}{10}}$，被开方数含分母，不是最简二次根式；
C. $\sqrt{3}$被开方数是整数且不含能开得尽方的因数，是最简二次根式；
D. $\sqrt{20}=\sqrt{4×5}=2\sqrt{5}$，被开方数含能开得尽方的因数4，不是最简二次根式。
综上，符合最简二次根式的是选项C。
A. $\sqrt{\frac{1}{3}}$被开方数含分母，不是最简二次根式；
B. $\sqrt{0.3}=\sqrt{\frac{3}{10}}$，被开方数含分母，不是最简二次根式；
C. $\sqrt{3}$被开方数是整数且不含能开得尽方的因数，是最简二次根式；
D. $\sqrt{20}=\sqrt{4×5}=2\sqrt{5}$，被开方数含能开得尽方的因数4，不是最简二次根式。
综上，符合最简二次根式的是选项C。
6. 下列各式化简正确的是 ()
A.$\sqrt{(-3)^{2}}=-3$
B.$-\sqrt{3^{2}}=-3$
C.$\sqrt{(\pm 3)^{2}}=\pm 3$
D.$\sqrt{3^{2}}=\pm 3$
A.$\sqrt{(-3)^{2}}=-3$
B.$-\sqrt{3^{2}}=-3$
C.$\sqrt{(\pm 3)^{2}}=\pm 3$
D.$\sqrt{3^{2}}=\pm 3$
答案
B
解析
根据二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$（算术平方根为非负数），逐一分析：
A选项：$\sqrt{(-3)^2}=|-3|=3$，故A错误；
B选项：$-\sqrt{3^2}=-|3|=-3$，故B正确；
C选项：$\sqrt{(\pm3)^2}=|\pm3|=3$，故C错误；
D选项：$\sqrt{3^2}=|3|=3$，故D错误。
A选项：$\sqrt{(-3)^2}=|-3|=3$，故A错误；
B选项：$-\sqrt{3^2}=-|3|=-3$，故B正确；
C选项：$\sqrt{(\pm3)^2}=|\pm3|=3$，故C错误；
D选项：$\sqrt{3^2}=|3|=3$，故D错误。
7. 方程 $\sqrt{6}x=\sqrt{2}$ 的解为 ()
A.$x=\frac{\sqrt{3}}{2}$
B.$x=\frac{\sqrt{3}}{3}$
C.$x=\sqrt{3}$
D.$x=2\sqrt{3}$
A.$x=\frac{\sqrt{3}}{2}$
B.$x=\frac{\sqrt{3}}{3}$
C.$x=\sqrt{3}$
D.$x=2\sqrt{3}$
答案
B
解析
解方程$\sqrt{6}x=\sqrt{2}$，系数化为1得$x=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}}$，化简得$x=\sqrt{\frac{1}{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$。
8. 实数a,b在数轴上的对应点的位置如图所示,则化简$|a|+$ $\sqrt{(a-b)^{2}}$ 的结果是 ()
A.$-2a+b$
B.$2a-b$
C.$-b$
D.b
A.$-2a+b$
B.$2a-b$
C.$-b$
D.b
答案
A
解析
根据数轴可知$a ＜ b ＜ 0$，因此$a ＜ 0$，$a - b ＜ 0$。
根据绝对值与二次根式的性质：
$|a| = -a$，
$\sqrt{(a - b)^2} = |a - b| = -(a - b) = b - a$，
则$|a| + \sqrt{(a - b)^2} = -a + (b - a) = -2a + b$。
根据绝对值与二次根式的性质：
$|a| = -a$，
$\sqrt{(a - b)^2} = |a - b| = -(a - b) = b - a$，
则$|a| + \sqrt{(a - b)^2} = -a + (b - a) = -2a + b$。
