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10. 若关于$x$的一元一次不等式组$\begin{cases}x+1≥3,\\4x-16＜-2a\end{cases}$有解，则$a$的取值范围是（ ）.
A.$a≥4$
B.$a＞4$
C.$a≤4$
D.$a＜4$
A.$a≥4$
B.$a＞4$
C.$a≤4$
D.$a＜4$
答案
10.D
解析
【分析】
要解决含参数的一元一次不等式组有解的问题，可按以下思路思考：第一步，先分别求解不等式组中的两个一元一次不等式，得到各自的解集；第二步，回忆一元一次不等式组有解的判定规则：两个解集必须存在公共部分；第三步，根据两个解集的范围列出关于参数a的不等式，求解该不等式即可得到a的取值范围，注意列不等式时要准确判断是否带等号。
【解析】
第一步：分别求解两个不等式
解不等式$x+1≥3$：
移项得$x≥3-1$，即$x≥2$。
解不等式$4x-16＜-2a$：
移项得$4x＜16-2a$，两边同时除以4，化简得$x＜4-\frac{a}{2}$。
第二步：根据不等式组有解列参数不等式
不等式组有解，说明$x≥2$和$x＜4-\frac{a}{2}$存在公共部分，因此$4-\frac{a}{2}＞2$（若$4-\frac{a}{2}=2$，则解集为$x≥2$且$x＜2$，无公共部分，不符合有解的要求）。
第三步：解关于a的不等式
对$4-\frac{a}{2}＞2$移项得：$-\frac{a}{2}＞2-4$，即$-\frac{a}{2}＞-2$，
两边同时乘以-2，不等号方向改变，得$a＜4$。
因此a的取值范围是$a＜4$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
解一元一次不等式、不等式组解集判定、不等式的性质
【点评】
本题是一元一次不等式组含参问题的基础题型，核心考察对不等式组有解条件的理解，解题关键是正确求出两个不等式的解集，再结合解集有公共部分列出参数不等式，解题时要注意不等式两边乘除负数时不等号方向要改变，同时要准确判断参数不等式是否带等号，避免出错。
【难度系数】
0.7
要解决含参数的一元一次不等式组有解的问题，可按以下思路思考：第一步，先分别求解不等式组中的两个一元一次不等式，得到各自的解集；第二步，回忆一元一次不等式组有解的判定规则：两个解集必须存在公共部分；第三步，根据两个解集的范围列出关于参数a的不等式，求解该不等式即可得到a的取值范围，注意列不等式时要准确判断是否带等号。
【解析】
第一步：分别求解两个不等式
解不等式$x+1≥3$：
移项得$x≥3-1$，即$x≥2$。
解不等式$4x-16＜-2a$：
移项得$4x＜16-2a$，两边同时除以4，化简得$x＜4-\frac{a}{2}$。
第二步：根据不等式组有解列参数不等式
不等式组有解，说明$x≥2$和$x＜4-\frac{a}{2}$存在公共部分，因此$4-\frac{a}{2}＞2$（若$4-\frac{a}{2}=2$，则解集为$x≥2$且$x＜2$，无公共部分，不符合有解的要求）。
第三步：解关于a的不等式
对$4-\frac{a}{2}＞2$移项得：$-\frac{a}{2}＞2-4$，即$-\frac{a}{2}＞-2$，
两边同时乘以-2，不等号方向改变，得$a＜4$。
因此a的取值范围是$a＜4$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
解一元一次不等式、不等式组解集判定、不等式的性质
【点评】
本题是一元一次不等式组含参问题的基础题型，核心考察对不等式组有解条件的理解，解题关键是正确求出两个不等式的解集，再结合解集有公共部分列出参数不等式，解题时要注意不等式两边乘除负数时不等号方向要改变，同时要准确判断参数不等式是否带等号，避免出错。
【难度系数】
0.7
11. 甲、乙两人依次进入电梯，甲进入电梯时，警示音没有响，随后乙进入电梯，电梯因超重而警示音响起，且过程中没有其他人进出。已知当电梯乘载的重量超过800 kg时警示音响起，且甲、乙的体重分别为50 kg，60 kg。若甲进入电梯前，电梯内已乘载的重量为x kg，则满足题意的不等式是（
A.$690＜x≤750$
B.$680＜x＜740$
C.$740＜x＜750$
D.$690＜x＜750$
A
）。A.$690＜x≤750$
B.$680＜x＜740$
C.$740＜x＜750$
D.$690＜x＜750$
答案
11.A
解析
【分析】
解题时首先要从题目中提取两个核心不等关系：一是甲进入电梯后警示音未响，说明此时电梯总重量未超过800kg；二是乙进入后警示音响起，说明此时总重量超过800kg。将这两个关系转化为含x的不等式，组成不等式组求解即可得到x的取值范围。
【解析】
根据题意可得到两个不等关系：
1. 甲进入电梯后未超重，此时总重量为原有重量x加甲的体重50kg，可列不等式：
$x + 50 ≤ 800$ ①
2. 乙进入电梯后超重，此时总重量为原有重量x加甲、乙的体重，可列不等式：
$x + 50 + 60 ＞ 800$ ②
解不等式①：移项得$x ≤ 800 - 50$，即$x ≤ 750$
解不等式②：移项得$x ＞ 800 - 110$，即$x ＞ 690$
综上，x的取值范围为$690 ＜ x ≤ 750$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
一元一次不等式组的应用，解一元一次不等式组
【点评】
本题结合生活中超重的实际场景考查不等式组的应用，解题核心是找准不同状态对应的不等关系，注意“未超过”对应≤，“超过”对应＞，避免混淆不等号方向导致出错。
【难度系数】
0.8
解题时首先要从题目中提取两个核心不等关系：一是甲进入电梯后警示音未响，说明此时电梯总重量未超过800kg；二是乙进入后警示音响起，说明此时总重量超过800kg。将这两个关系转化为含x的不等式，组成不等式组求解即可得到x的取值范围。
【解析】
根据题意可得到两个不等关系：
1. 甲进入电梯后未超重，此时总重量为原有重量x加甲的体重50kg，可列不等式：
$x + 50 ≤ 800$ ①
2. 乙进入电梯后超重，此时总重量为原有重量x加甲、乙的体重，可列不等式：
$x + 50 + 60 ＞ 800$ ②
解不等式①：移项得$x ≤ 800 - 50$，即$x ≤ 750$
解不等式②：移项得$x ＞ 800 - 110$，即$x ＞ 690$
综上，x的取值范围为$690 ＜ x ≤ 750$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
一元一次不等式组的应用，解一元一次不等式组
【点评】
本题结合生活中超重的实际场景考查不等式组的应用，解题核心是找准不同状态对应的不等关系，注意“未超过”对应≤，“超过”对应＞，避免混淆不等号方向导致出错。
【难度系数】
0.8
12. 在2026年3月14日下午，胜利学校举办了第二届数学“π”节活动——七年级“智趣数学，欢乐游园”游园会. 筹备组教师从某网购平台购进魔方和踩雷对战棋共25个活动道具，其中魔方单价12元，踩雷对战棋单价15元.
（1）若合计采购费用为330元，求购买的魔方和踩雷对战棋各有多少个.
（2）若筹备组在购买魔方时遇到该网购平台开展限时优惠活动：一次性购买魔方超过8个，超过部分可享受八折优惠. 若筹备组希望保持总数量25个不变，总费用不超过330元，且魔方数量不超过踩雷对战棋数量的1.5倍，共有几种购买方案？请列举所有可能的方案.
（1）若合计采购费用为330元，求购买的魔方和踩雷对战棋各有多少个.
（2）若筹备组在购买魔方时遇到该网购平台开展限时优惠活动：一次性购买魔方超过8个，超过部分可享受八折优惠. 若筹备组希望保持总数量25个不变，总费用不超过330元，且魔方数量不超过踩雷对战棋数量的1.5倍，共有几种购买方案？请列举所有可能的方案.
答案
12.（1）设购买魔方$x$个，踩雷对战棋$(25-x)$个，根据题意得$12x+15(25-x)=330$，解得$x=15$，$\therefore 25-x=10$，$\therefore$购买魔方15个，踩雷对战棋10个 （2）设购买魔方$x$个，踩雷对战棋$(25-x)$个. 当$x≤8$时，$12x+15(25-x)≤330$，解得$x≥15$，与$x≤8$矛盾，所以$x＞8$. 根据题意得$\begin{cases}x≤1.5(25-x),\\8×12+(x-8)×80\%×12+15×(25-x)≤330,\end{cases}$解得$11\dfrac{8}{9}≤x≤15$. $\because x$为正整数，$\therefore x=12,13,14,15$，$\therefore$共有4种方案. ①购买12个魔方，13个踩雷对战棋；②购买13个魔方，12个踩雷对战棋；③购买14个魔方，11个踩雷对战棋；④购买15个魔方，10个踩雷对战棋
解析
【分析】
（1）第一问是一元一次方程实际应用问题，已知两种道具总数量和总费用，我们可以设魔方数量为未知数，用总数量减去未知数表示踩雷对战棋的数量，再根据“总费用=魔方总费用+踩雷对战棋总费用”的等量关系列方程求解即可。
（2）第二问属于不等式组结合方案设计的题型，首先要注意魔方的优惠是分段计费：购买不超过8个按原价，超过8个的部分打八折；其次要抓住两个限制条件：①总费用不超过330元，②魔方数量不超过踩雷对战棋数量的1.5倍。先判断魔方数量是否超过8个，排除不符合的情况后，根据两个限制条件列不等式组，求出未知数的取值范围，再结合未知数为正整数的实际意义，列举所有符合条件的方案即可。
【解析】
（1）解：设购买魔方$x$个，则购买踩雷对战棋$(25-x)$个，根据题意列方程：
$12x+15(25-x)=330$
展开得：$12x+375-15x=330$
移项合并同类项得：$-3x=-45$
解得：$x=15$
则踩雷对战棋数量为$25-15=10$（个）
（2）解：设购买魔方$x$个，则购买踩雷对战棋$(25-x)$个。
若$x≤8$，此时魔方全部按原价计算，总费用满足$12x+15(25-x)≤330$，解得$x≥15$，与$x≤8$矛盾，因此$x＞8$。
根据题意列不等式组：
$\begin{cases}x≤1.5(25-x)\\8×12+(x-8)×12×80\%+15×(25-x)≤330\end{cases}$
解第一个不等式：
$x≤37.5-1.5x$
$2.5x≤37.5$
$x≤15$
解第二个不等式：
$96+9.6x-76.8+375-15x≤330$
$394.2-5.4x≤330$
$-5.4x≤-64.2$
$x≥11\frac{8}{9}$
因此不等式组的解集为$11\frac{8}{9}≤ x≤15$，又因为$x$为正整数，所以$x$可取12、13、14、15，对应4种方案：
①购买12个魔方，13个踩雷对战棋；
②购买13个魔方，12个踩雷对战棋；
③购买14个魔方，11个踩雷对战棋；
④购买15个魔方，10个踩雷对战棋。
【答案】
（1）购买魔方15个，踩雷对战棋10个；
（2）共有4种购买方案，分别为：①购买12个魔方，13个踩雷对战棋；②购买13个魔方，12个踩雷对战棋；③购买14个魔方，11个踩雷对战棋；④购买15个魔方，10个踩雷对战棋。
【知识点】
一元一次方程应用，一元一次不等式组应用，方案设计
【点评】
本题结合生活采购场景命题，既考查了方程和不等式组的基础应用，也考查了分段计费的分类讨论思想，解题关键是准确找到题目中的等量关系和不等关系，注意未知数的取值要符合正整数的实际意义，能够有效提升学生分析、解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.65
（1）第一问是一元一次方程实际应用问题，已知两种道具总数量和总费用，我们可以设魔方数量为未知数，用总数量减去未知数表示踩雷对战棋的数量，再根据“总费用=魔方总费用+踩雷对战棋总费用”的等量关系列方程求解即可。
（2）第二问属于不等式组结合方案设计的题型，首先要注意魔方的优惠是分段计费：购买不超过8个按原价，超过8个的部分打八折；其次要抓住两个限制条件：①总费用不超过330元，②魔方数量不超过踩雷对战棋数量的1.5倍。先判断魔方数量是否超过8个，排除不符合的情况后，根据两个限制条件列不等式组，求出未知数的取值范围，再结合未知数为正整数的实际意义，列举所有符合条件的方案即可。
【解析】
（1）解：设购买魔方$x$个，则购买踩雷对战棋$(25-x)$个，根据题意列方程：
$12x+15(25-x)=330$
展开得：$12x+375-15x=330$
移项合并同类项得：$-3x=-45$
解得：$x=15$
则踩雷对战棋数量为$25-15=10$（个）
（2）解：设购买魔方$x$个，则购买踩雷对战棋$(25-x)$个。
若$x≤8$，此时魔方全部按原价计算，总费用满足$12x+15(25-x)≤330$，解得$x≥15$，与$x≤8$矛盾，因此$x＞8$。
根据题意列不等式组：
$\begin{cases}x≤1.5(25-x)\\8×12+(x-8)×12×80\%+15×(25-x)≤330\end{cases}$
解第一个不等式：
$x≤37.5-1.5x$
$2.5x≤37.5$
$x≤15$
解第二个不等式：
$96+9.6x-76.8+375-15x≤330$
$394.2-5.4x≤330$
$-5.4x≤-64.2$
$x≥11\frac{8}{9}$
因此不等式组的解集为$11\frac{8}{9}≤ x≤15$，又因为$x$为正整数，所以$x$可取12、13、14、15，对应4种方案：
①购买12个魔方，13个踩雷对战棋；
②购买13个魔方，12个踩雷对战棋；
③购买14个魔方，11个踩雷对战棋；
④购买15个魔方，10个踩雷对战棋。
【答案】
（1）购买魔方15个，踩雷对战棋10个；
（2）共有4种购买方案，分别为：①购买12个魔方，13个踩雷对战棋；②购买13个魔方，12个踩雷对战棋；③购买14个魔方，11个踩雷对战棋；④购买15个魔方，10个踩雷对战棋。
【知识点】
一元一次方程应用，一元一次不等式组应用，方案设计
【点评】
本题结合生活采购场景命题，既考查了方程和不等式组的基础应用，也考查了分段计费的分类讨论思想，解题关键是准确找到题目中的等量关系和不等关系，注意未知数的取值要符合正整数的实际意义，能够有效提升学生分析、解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.65
