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【典例1】某工程在招标时接到甲、乙两个工程队的投标书，施工一天，需付甲工程队工程款1.2万元，乙工程队工程款0.5万元，工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，有如下方案：
①甲队单独完成这项工程刚好如期完成；
②乙队单独完成这项工程要比规定日期多用6天；
③若甲、乙两队合作3天，余下的工程由乙队单独做，也正好如期完成。
试问：在不耽误工期的前提下，你觉得哪一种施工方案最节省工程款？请说明理由。
①甲队单独完成这项工程刚好如期完成；
②乙队单独完成这项工程要比规定日期多用6天；
③若甲、乙两队合作3天，余下的工程由乙队单独做，也正好如期完成。
试问：在不耽误工期的前提下，你觉得哪一种施工方案最节省工程款？请说明理由。
答案
解:设规定日期为x天，$\frac{3}{x}+\frac{3}{x+6}+\frac{x-3}{x+6}=1$，
解得:$x=6$，
经检验$x=6$是原方程的解，
∴甲单独施工需6天，乙需12天.
方案①:$1.2×6=7.2$(万元)；
方案②:不符题意；
方案③:$1.2×3+0.5×6=6.6$(万元).
答:选择方案③.
解得:$x=6$，
经检验$x=6$是原方程的解，
∴甲单独施工需6天，乙需12天.
方案①:$1.2×6=7.2$(万元)；
方案②:不符题意；
方案③:$1.2×3+0.5×6=6.6$(万元).
答:选择方案③.
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需要求出工程的规定日期，才能判断方案是否符合工期要求、计算各方案的工程款。我们可以把总工程量看作单位“1”，设规定日期为x天，那么甲队的工作效率为$\frac{1}{x}$，乙队单独完成需要$(x+6)$天，工作效率为$\frac{1}{x+6}$。根据方案③的施工安排，甲3天的工作量加上乙全程x天的工作量等于总工程量1，据此列分式方程求出规定日期后，先排除不符合工期要求的方案，再计算剩余方案的工程款，比较大小即可选出最优方案。
【解析】
解：设规定日期为x天，将总工程量看作单位1。
根据方案③的工作量关系列方程：
$\frac{3}{x}+\frac{3}{x+6}+\frac{x-3}{x+6}=1$
化简得：$\frac{3}{x}+\frac{x}{x+6}=1$
去分母得：$3(x+6)+x^2=x(x+6)$
解得：$x=6$
经检验，$x=6$是原方程的解，且符合实际意义。
因此甲单独完成需6天，乙单独完成需$6+6=12$天。
结合不耽误工期的要求分析各方案：
方案①：甲队单独施工，工程款为$1.2×6=7.2$（万元）；
方案②：乙队单独施工需要12天，超出规定日期，不符合要求，排除；
方案③：甲、乙合作3天，余下工程乙队单独做正好如期完成，工程款为$1.2×3+0.5×6=6.6$（万元）。
因为$6.6＜7.2$，所以方案③最节省工程款。
【答案】
在不耽误工期的前提下，选择方案③最节省工程款。
【知识点】
分式方程的应用；工程问题；方案优化选择
【点评】
本题是工程类分式方程与方案选择结合的典型应用题，解题核心是先通过工作总量的等量关系求出规定工期，再结合工期限制筛选有效方案，最后对比费用得出结果，求解分式方程后注意要检验根是否符合实际意义。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，首先需要求出工程的规定日期，才能判断方案是否符合工期要求、计算各方案的工程款。我们可以把总工程量看作单位“1”，设规定日期为x天，那么甲队的工作效率为$\frac{1}{x}$，乙队单独完成需要$(x+6)$天，工作效率为$\frac{1}{x+6}$。根据方案③的施工安排，甲3天的工作量加上乙全程x天的工作量等于总工程量1，据此列分式方程求出规定日期后，先排除不符合工期要求的方案，再计算剩余方案的工程款，比较大小即可选出最优方案。
【解析】
解：设规定日期为x天，将总工程量看作单位1。
根据方案③的工作量关系列方程：
$\frac{3}{x}+\frac{3}{x+6}+\frac{x-3}{x+6}=1$
化简得：$\frac{3}{x}+\frac{x}{x+6}=1$
去分母得：$3(x+6)+x^2=x(x+6)$
解得：$x=6$
经检验，$x=6$是原方程的解，且符合实际意义。
因此甲单独完成需6天，乙单独完成需$6+6=12$天。
结合不耽误工期的要求分析各方案：
方案①：甲队单独施工，工程款为$1.2×6=7.2$（万元）；
方案②：乙队单独施工需要12天，超出规定日期，不符合要求，排除；
方案③：甲、乙合作3天，余下工程乙队单独做正好如期完成，工程款为$1.2×3+0.5×6=6.6$（万元）。
因为$6.6＜7.2$，所以方案③最节省工程款。
【答案】
在不耽误工期的前提下，选择方案③最节省工程款。
【知识点】
分式方程的应用；工程问题；方案优化选择
【点评】
本题是工程类分式方程与方案选择结合的典型应用题，解题核心是先通过工作总量的等量关系求出规定工期，再结合工期限制筛选有效方案，最后对比费用得出结果，求解分式方程后注意要检验根是否符合实际意义。
【难度系数】
0.6
【典例2】某商店用6000元购进A商品若干件，用8000元购进B商品若干件，已知A商品进价比B商品进价每件少10元，且购进A，B商品数量恰好相等.
（1）求每件A商品进价及购进A商品的数量；
（2）已知A商品售价为45元，B商品售价为每件60元，在销售过程中，A商品按此售价全部售出，B商品在售出m件后将余下部分每件降价n元直至全部售出.
①当$m=100$时，若A商品与B商品都全部售出后，两种商品所获利润恰好相等，求$n$的值；
②已知$n$是不大于10的正整数，$m$是不小于100的正整数，若A商品与B商品都全部售出后，两种商品所获利润之和为6500元，则$n$的值为
（1）求每件A商品进价及购进A商品的数量；
（2）已知A商品售价为45元，B商品售价为每件60元，在销售过程中，A商品按此售价全部售出，B商品在售出m件后将余下部分每件降价n元直至全部售出.
①当$m=100$时，若A商品与B商品都全部售出后，两种商品所获利润恰好相等，求$n$的值；
②已知$n$是不大于10的正整数，$m$是不小于100的正整数，若A商品与B商品都全部售出后，两种商品所获利润之和为6500元，则$n$的值为
5或10
.（直接写出结果）答案
解:(1)设每件A商品进价为x元，则每件B商品进价为$(x+10)$元，
$\frac{6000}{x}=\frac{8000}{x+10}$,解得$x=30$,
经检验,$x=30$是原分式方程的解，
$6000÷30=200$(件),
答:每件A商品进价为30元，购进A商品的数量为200件；
(2)①$200×(45-30)=100×(60-40)+100×(60-40-n)$,
解得$n=10$；
②由题意有:$200×15+20m+(200-m)(20-n)=6500$,
化简得$n=\frac{500}{200-m}$,$m,n$为整数,$m≥100,n≤10$,则$n=5$或10.
$\frac{6000}{x}=\frac{8000}{x+10}$,解得$x=30$,
经检验,$x=30$是原分式方程的解，
$6000÷30=200$(件),
答:每件A商品进价为30元，购进A商品的数量为200件；
(2)①$200×(45-30)=100×(60-40)+100×(60-40-n)$,
解得$n=10$；
②由题意有:$200×15+20m+(200-m)(20-n)=6500$,
化简得$n=\frac{500}{200-m}$,$m,n$为整数,$m≥100,n≤10$,则$n=5$或10.
解析
【分析】
（1）第一问核心等量关系为购进A、B商品的数量相等。先设每件A商品进价为x元，由“A进价比B少10元”可得B商品进价为$(x+10)$元，再根据“数量=总进价÷单价”分别表示A、B的购进数量，令二者相等列分式方程求解，注意分式方程需检验根的合理性，最后计算A的购进数量即可。
（2）①先计算A商品的总利润，再拆分B商品的利润为降价前、降价后两部分，根据“两种商品总利润相等”列一元一次方程求n即可；②先根据“总利润之和为6500元”列方程，化简得到n与m的关系式，再结合n是不大于10的正整数、m是不小于100的正整数的限制条件，筛选出符合要求的n的值。
【解析】
(1) 设每件A商品进价为x元，则每件B商品进价为$(x+10)$元，
由购进A、B商品数量相等列方程：
$\frac{6000}{x}=\frac{8000}{x+10}$
交叉相乘解得$x=30$，
经检验，$x=30$是原分式方程的解，且符合实际意义。
购进A商品的数量为：$6000÷30=200$（件）。
(2) ①由(1)可知B商品进价为$30+10=40$元，购进B商品数量为200件。
A商品总利润为：$200×(45-30)=3000$元，
当$m=100$时，根据两种商品利润相等列方程：
$3000=100×(60-40)+100×(60-40-n)$
化简解得$n=10$。
②由题意列总利润方程：
$200×(45-30)+20m+(200-m)(20-n)=6500$
化简得$n=\frac{500}{200-m}$，
因为n为不大于10的正整数，m为不小于100的正整数，
可得符合条件的解为：当$m=100$时$n=5$，当$m=150$时$n=10$，故n的值为5或10。
【答案】
（1）每件A商品进价为30元，购进A商品的数量为200件；
（2）①$n=10$；②$\boxed{5或10}$
【知识点】
分式方程的应用，销售利润计算，不定方程整数解
【点评】
本题是典型的销售类方程综合应用题，解题核心是找准等量关系列方程，需注意分式方程要检验根的合理性，最后一问要结合整数限制条件筛选解，考察了逻辑推理和运算能力。
【难度系数】
0.6
（1）第一问核心等量关系为购进A、B商品的数量相等。先设每件A商品进价为x元，由“A进价比B少10元”可得B商品进价为$(x+10)$元，再根据“数量=总进价÷单价”分别表示A、B的购进数量，令二者相等列分式方程求解，注意分式方程需检验根的合理性，最后计算A的购进数量即可。
（2）①先计算A商品的总利润，再拆分B商品的利润为降价前、降价后两部分，根据“两种商品总利润相等”列一元一次方程求n即可；②先根据“总利润之和为6500元”列方程，化简得到n与m的关系式，再结合n是不大于10的正整数、m是不小于100的正整数的限制条件，筛选出符合要求的n的值。
【解析】
(1) 设每件A商品进价为x元，则每件B商品进价为$(x+10)$元，
由购进A、B商品数量相等列方程：
$\frac{6000}{x}=\frac{8000}{x+10}$
交叉相乘解得$x=30$，
经检验，$x=30$是原分式方程的解，且符合实际意义。
购进A商品的数量为：$6000÷30=200$（件）。
(2) ①由(1)可知B商品进价为$30+10=40$元，购进B商品数量为200件。
A商品总利润为：$200×(45-30)=3000$元，
当$m=100$时，根据两种商品利润相等列方程：
$3000=100×(60-40)+100×(60-40-n)$
化简解得$n=10$。
②由题意列总利润方程：
$200×(45-30)+20m+(200-m)(20-n)=6500$
化简得$n=\frac{500}{200-m}$，
因为n为不大于10的正整数，m为不小于100的正整数，
可得符合条件的解为：当$m=100$时$n=5$，当$m=150$时$n=10$，故n的值为5或10。
【答案】
（1）每件A商品进价为30元，购进A商品的数量为200件；
（2）①$n=10$；②$\boxed{5或10}$
【知识点】
分式方程的应用，销售利润计算，不定方程整数解
【点评】
本题是典型的销售类方程综合应用题，解题核心是找准等量关系列方程，需注意分式方程要检验根的合理性，最后一问要结合整数限制条件筛选解，考察了逻辑推理和运算能力。
【难度系数】
0.6
