【典例1】京广高速铁路工程指挥部，要对某路段工程进行招标，接到了甲、乙两个工程队的投标书.从投标书中得知：甲队单独完成这项工程所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的$\frac{2}{3}$；若由甲队先做10天，剩下的工程再由甲、乙两队合作30天完成.求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？

解:设乙队单独完成这项工程需要x天,则甲队单独完成这项工程需要$\frac{2}{3}x$天.
根据题意,得$\frac{10}{\frac{2}{3}x}+30(\frac{1}{\frac{2}{3}x}+\frac{1}{x})=1$,
解得$x=90$.
经检验,$x=90$是原方程的根.
$\therefore \frac{2}{3}x=60$.
答:甲、乙两队单独完成这项工程分别需60天和90天.

【分析】
这是一道工程类分式应用题，首先明确工程问题的基本关系：工作量=工作效率×工作时间，通常将总工作量看作单位“1”，则某队单独完成工程的工作效率为$\frac{1}{\mathrm{单独完成天数}}$。根据题意，甲单独完成天数是乙的$\frac{2}{3}$，因此可设乙队单独完成需要$x$天，那么甲队单独完成需要$\frac{2}{3}x$天。接下来找等量关系：总工程量=甲单独做10天的工作量+甲乙合作30天的工作量，据此列分式方程，求解后检验根的合理性，最后求出甲队的单独完成天数即可。
【解析】
设乙队单独完成这项工程需要$x$天，则甲队单独完成这项工程需要$\frac{2}{3}x$天。
根据总工作量为1列方程：
$\frac{10}{\frac{2}{3}x}+30(\frac{1}{\frac{2}{3}x}+\frac{1}{x})=1$
化简方程：
$\frac{15}{x}+30×(\frac{3}{2x}+\frac{1}{x})=1$
$\frac{15}{x}+\frac{75}{x}=1$
$\frac{90}{x}=1$
解得$x=90$。
经检验，$x=90$是原方程的根，且符合实际工程的时间要求。
则甲队单独完成的天数为$\frac{2}{3}x=\frac{2}{3}×90=60$（天）。
答：甲、乙两队单独完成这项工程分别需60天和90天。
【答案】
甲队单独完成需60天，乙队单独完成需90天。
【知识点】
分式方程应用；工程问题；分式方程检验
【点评】
本题是分式方程实际应用的常考题型，解题核心是将总工作量视为单位1，准确梳理不同施工阶段的工作量之和等于总工程量，要注意分式方程求解后必须检验根的合理性，避免出现增根或不符合实际的解。
【难度系数】
0.65

【典例2】为了提高产品的附加值，某公司计划将研发生产的1200件新产品进行精加工后投放市场.现有甲、乙两个工厂都具备加工能力，公司派出相关人员分别到这两间工厂了解情况，获得如下信息：
信息一：甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用10天；
信息二：乙工厂每天加工的数量是甲工厂每天加工数量的1.5倍.
根据以上信息，求甲、乙两个工厂每天分别能加工多少件新产品？

解:设甲单独完成工程需x天,则乙单独完成工程需$(x-10)$天,
根据题意可得$\frac{1200}{x}×1.5=\frac{1200}{x-10}$,
解得$x=30$.
经检验,$x=30$是原方程的根.
$\therefore$乙单独完成工程需20天,
答:甲工厂每天能加工40件新产品,乙工厂每天能加工60件新产品.

【分析】
这是一道工程类分式应用题，解题时先明确工作总量为1200件，我们可以通过设工作时间为未知数建立等量关系。首先根据信息一设甲单独加工完成这批产品需x天，则乙单独加工完成需$(x-10)$天，由此可分别表示出甲、乙的日加工量；再根据信息二“乙每天加工数量是甲的1.5倍”这一等量关系列分式方程，解方程后要检验根是否符合实际意义，最后计算出甲、乙的日加工量即可。
【解析】
解：设甲工厂单独加工完成这批产品需x天，则乙工厂单独加工完成这批产品需$(x-10)$天。
根据题意列方程得：
$\frac{1200}{x}×1.5=\frac{1200}{x-10}$
去分母得：$1800(x-10)=1200x$
展开移项得：$600x=18000$
解得：$x=30$
经检验，$x=30$是原分式方程的根，且符合实际意义。
∴乙单独完成所需时间为$30-10=20$（天）
甲每天加工量：$1200÷30=40$（件）
乙每天加工量：$1200÷20=60$（件）
【答案】
甲工厂每天能加工40件新产品，乙工厂每天能加工60件新产品。
【知识点】
分式方程应用、工程问题、分式方程验根
【点评】
本题是典型的工程类分式应用题，解题核心是找准题目中的等量关系，选择合适的未知数建立方程，求解后要注意检验分式方程的根是否符合实际场景的要求。
【难度系数】
0.6

变式.某工地有$72\ \mathrm{m}^2$的墙面需要粉刷.若安排4名一级技工粉刷,结果还剩$12\ \mathrm{m}^2$墙面未能刷完;同样时间内安排6名二级技工去粉刷,则刚好全部刷完,已知每名一级技工比每名二级技工一天多粉刷$3\ \mathrm{m}^2$墙面.设每一名一级技工一天粉刷墙面$x\ \mathrm{m}^2$.
(1)每名二级技工一天粉刷墙面$\mathrm{m}^2$(用含$x$的式子表示);
(2)求每名一级技工和每名二级技工一天分别能粉刷多少$\mathrm{m}^2$墙面?
(3)每名一级技工一天的施工费是300元,每名二级技工一天的施工费是200元.若另一工地有$540\ \mathrm{m}^2$的墙面需要粉刷,要求一天完工且施工总费用不超过10600元,则至少需要名二级技工(直接写出结果).

(1)$(x-3)$
(2)解:依题意列方程:$\frac{72-12}{4x}=\frac{72}{6(x-3)}$,
解得$x=15$,
经检验$x=15$是原方程的解,
答:每名一级技工和每名二级技工一天分别能粉刷$15\mathrm{m}^2,12\mathrm{m}^2$墙面;
(3)设派出$m$名一级技工,$n$名二级技工,依题意有
$\begin{cases}15m+12n=540\\300m+200n≤10600\end{cases}$,解得$n≥5$.

【分析】
(1) 题目明确每名一级技工比二级技工一天多粉刷$3\ \mathrm{m}^2$，已知一级技工每天粉刷$x\ \mathrm{m}^2$，直接作差即可表示二级技工的日粉刷量。
(2) 本题核心等量关系是：4名一级技工的粉刷时间 = 6名二级技工的粉刷时间。工程问题中，工作时间=工作总量÷总工作效率，分别表示出两类技工的工作时间，列分式方程求解即可，注意分式方程要检验根的合理性。
(3) 要满足一天完工且总费用不超过10600元，设一级技工$m$名，二级技工$n$名，根据“总粉刷面积为$540\ \mathrm{m}^2$”和“总费用≤10600元”列方程和不等式，消元后解不等式得到$n$的最小整数值即可。
【解析】
(1) 因为每名一级技工比每名二级技工一天多粉刷$3\ \mathrm{m}^2$，一级技工一天粉刷$x\ \mathrm{m}^2$，所以每名二级技工一天粉刷$(x-3)\ \mathrm{m}^2$。
(2) 依题意，两类技工工作时间相等，可列方程：
$\frac{72-12}{4x}=\frac{72}{6(x-3)}$
化简得$\frac{15}{x}=\frac{12}{x-3}$，交叉相乘得$15(x-3)=12x$
展开得$15x-45=12x$，移项合并得$3x=45$，解得$x=15$
检验：当$x=15$时，$4x=60≠0$，$6(x-3)=72≠0$，所以$x=15$是原方程的解，且符合实际意义。
则二级技工日粉刷量为$x-3=15-3=12\ \mathrm{m}^2$。
答：每名一级技工一天粉刷$15\ \mathrm{m}^2$，每名二级技工一天粉刷$12\ \mathrm{m}^2$。
(3) 设需要派出$m$名一级技工，$n$名二级技工，依题意得：
$\begin{cases}15m+12n=540&①\\300m+200n≤10600&②\end{cases}$
由①得$m=\frac{180-4n}{5}$，代入②化简得：
$10800-40n≤10600$，解得$n≥5$
$n$为正整数，所以$n$的最小值为5。
【答案】
(1) $(x-3)$
(2) 每名一级技工一天粉刷$15\ \mathrm{m}^2$，每名二级技工一天粉刷$12\ \mathrm{m}^2$
(3) $5$
【知识点】
分式方程的应用，一元一次不等式的应用，工程问题数量关系
【点评】
本题是典型的工程类实际应用问题，既考查了分式方程的列解，也结合了不等式的最值求解，解题的关键是准确抓住题目中的等量关系和不等关系，同时要注意分式方程必须检验，实际问题的解要符合实际意义。
【难度系数】
0.65