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11. 如图，点E是正方形ABCD对角线BD上的一点，连接CE，AE，延长CE交AD于点F. 若$∠ DCE=26°$,则$∠ AEF$的度数是（
A.$25°$
B.$30°$
C.$38°$
D.$40°$
C
）A.$25°$
B.$30°$
C.$38°$
D.$40°$
答案
11.C
解析
【分析】
解题思路如下：首先利用正方形对角线的对称性，可证明△ADE与△CDE全等，得到∠DAE和已知角∠DCE相等；再结合正方形对边平行的性质，求出与∠AEF相关的外角∠DFC的度数；最后利用三角形外角的性质，即可算出∠AEF的度数。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD，∠ADE=∠CDE=45°，∠BCD=90°，AD//BC。
在△ADE和△CDE中：
$\{\begin{array}{l}AD=CD\\ ∠ ADE=∠ CDE\\ DE=DE\end{array} $
∴△ADE≌△CDE（SAS），
∴∠DAE=∠DCE=26°。
∵∠DCE=26°，
∴∠BCE=∠BCD-∠DCE=90°-26°=64°。
∵AD//BC，
∴∠DFC=∠BCE=64°（两直线平行，内错角相等）。
∵∠DFC是△AEF的外角，
∴∠DFC=∠DAE+∠AEF，
∴∠AEF=∠DFC-∠DAE=64°-26°=38°。
【答案】
C
【知识点】
正方形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质
【点评】
本题是正方形性质和三角形角度计算的综合题，解题的核心是抓住正方形对角线的轴对称性得到等角，再结合平行线、外角的性质逐步推导角度，是几何部分的常规考法。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：首先利用正方形对角线的对称性，可证明△ADE与△CDE全等，得到∠DAE和已知角∠DCE相等；再结合正方形对边平行的性质，求出与∠AEF相关的外角∠DFC的度数；最后利用三角形外角的性质，即可算出∠AEF的度数。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD，∠ADE=∠CDE=45°，∠BCD=90°，AD//BC。
在△ADE和△CDE中：
$\{\begin{array}{l}AD=CD\\ ∠ ADE=∠ CDE\\ DE=DE\end{array} $
∴△ADE≌△CDE（SAS），
∴∠DAE=∠DCE=26°。
∵∠DCE=26°，
∴∠BCE=∠BCD-∠DCE=90°-26°=64°。
∵AD//BC，
∴∠DFC=∠BCE=64°（两直线平行，内错角相等）。
∵∠DFC是△AEF的外角，
∴∠DFC=∠DAE+∠AEF，
∴∠AEF=∠DFC-∠DAE=64°-26°=38°。
【答案】
C
【知识点】
正方形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质
【点评】
本题是正方形性质和三角形角度计算的综合题，解题的核心是抓住正方形对角线的轴对称性得到等角，再结合平行线、外角的性质逐步推导角度，是几何部分的常规考法。
【难度系数】
0.7
12. 简易电子体重秤的制作方法:制作一个装有踏板(踏板质量忽略不计)的可变电阻$ R_1 $，已知$ R_1 $与踏板上人的质量$ m $之间的函数关系式为$ R_1 = km + b $（其中$ k,b $为常数，$ 0 ≤ m ≤ 120 $，函数图象如图所示）.下列说法不正确的是（
A.$ b = 240 $
B.可变电阻$ R_1 $随着踏板上人的质量$ m $的增加而减小
C.踏板上人的质量$ m $每增加10 kg，可变电阻$ R_1 $减小20 Ω
D.当可变电阻$ R_1 $为90 Ω时，对应测得人的质量$ m $为60 kg
D
）A.$ b = 240 $
B.可变电阻$ R_1 $随着踏板上人的质量$ m $的增加而减小
C.踏板上人的质量$ m $每增加10 kg，可变电阻$ R_1 $减小20 Ω
D.当可变电阻$ R_1 $为90 Ω时，对应测得人的质量$ m $为60 kg
答案
12.D
解析
【分析】
本题是一次函数在实际场景中的应用问题，解题思路如下：首先从函数图象中提取两个已知点的坐标，利用待定系数法代入一次函数表达式$R_1=km+b$，求出常数$k$和$b$，得到$R_1$与$m$的具体函数关系式；再结合一次函数的性质和解析式逐一验证每个选项的正误，最终选出不正确的选项。
【解析】
首先从图象可得两组对应值：①当$m=0\mathrm{kg}$时，$R_1=240\Omega$；②当$m=120\mathrm{kg}$时，$R_1=0\Omega$。
将两组值代入$R_1=km+b$中：
1. 代入$(0,240)$，得$240=k×0 + b$，解得$b=240$，因此A选项说法正确。
2. 代入$(120,0)$和$b=240$，得$0=120k + 240$，解得$k=-2$，因此函数关系式为$R_1=-2m +240$。
接下来逐一判断剩余选项：
B选项：$k=-2＜0$，因此$R_1$随$m$的增大而减小，即可变电阻$R_1$随着人的质量$m$增加而减小，B说法正确。
C选项：当$m$增加$10\mathrm{kg}$时，$R_1$的变化量为：$[-2(m+10)+240] - (-2m+240) = -20\Omega$，即$R_1$减小$20\Omega$，C说法正确。
D选项：当$R_1=90\Omega$时，代入解析式得$90=-2m+240$，解得$2m=150$，$m=75\mathrm{kg}$，不是$60\mathrm{kg}$，因此D说法错误。
综上，本题选D。
【答案】
D
【知识点】
待定系数法求解析式，一次函数的性质，一次函数实际应用
【点评】
本题结合电子体重秤的实际背景考查一次函数的相关知识，解题核心是从图象中提取有效坐标求出函数解析式，再结合解析式和性质对选项逐一验证，计算量小，侧重对基础应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
本题是一次函数在实际场景中的应用问题，解题思路如下：首先从函数图象中提取两个已知点的坐标，利用待定系数法代入一次函数表达式$R_1=km+b$，求出常数$k$和$b$，得到$R_1$与$m$的具体函数关系式；再结合一次函数的性质和解析式逐一验证每个选项的正误，最终选出不正确的选项。
【解析】
首先从图象可得两组对应值：①当$m=0\mathrm{kg}$时，$R_1=240\Omega$；②当$m=120\mathrm{kg}$时，$R_1=0\Omega$。
将两组值代入$R_1=km+b$中：
1. 代入$(0,240)$，得$240=k×0 + b$，解得$b=240$，因此A选项说法正确。
2. 代入$(120,0)$和$b=240$，得$0=120k + 240$，解得$k=-2$，因此函数关系式为$R_1=-2m +240$。
接下来逐一判断剩余选项：
B选项：$k=-2＜0$，因此$R_1$随$m$的增大而减小，即可变电阻$R_1$随着人的质量$m$增加而减小，B说法正确。
C选项：当$m$增加$10\mathrm{kg}$时，$R_1$的变化量为：$[-2(m+10)+240] - (-2m+240) = -20\Omega$，即$R_1$减小$20\Omega$，C说法正确。
D选项：当$R_1=90\Omega$时，代入解析式得$90=-2m+240$，解得$2m=150$，$m=75\mathrm{kg}$，不是$60\mathrm{kg}$，因此D说法错误。
综上，本题选D。
【答案】
D
【知识点】
待定系数法求解析式，一次函数的性质，一次函数实际应用
【点评】
本题结合电子体重秤的实际背景考查一次函数的相关知识，解题核心是从图象中提取有效坐标求出函数解析式，再结合解析式和性质对选项逐一验证，计算量小，侧重对基础应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
13. 如图，在$△ ABC$中，$∠ BAC=90°$，以$AB$，$AC$，$BC$为边向外作正方形，面积依次分别记为$S_1$，$S_2$，$S_3$.若阴影部分的面积为12，则$S_3 + S_2 - S_1$的值为（
A.48
B.40
C.36
D.32
A
）A.48
B.40
C.36
D.32
答案
13.A
解析
【分析】
解题思路如下：第一步，明确正方形面积和三角形边长的关系：正方形面积等于边长的平方，因此$S_1=AB^2$，$S_2=AC^2$，$S_3=BC^2$。第二步，结合$△ ABC$是直角三角形，运用勾股定理得到三边平方的关系，将面积代入可推导出$S_1$、$S_2$、$S_3$的等量关系。第三步，观察图形可知阴影部分面积等于$\frac{1}{2}S_2$，结合已知阴影面积为12可求出$S_2$的值。第四步，将勾股定理得到的等量关系代入所求式子$S_3+S_2-S_1$化简，代入$S_2$的值即可算出结果。
【解析】
解：$\because$ 以$AB$、$AC$、$BC$为边向外作正方形，面积分别为$S_1$、$S_2$、$S_3$
$\therefore S_1=AB^2$，$S_2=AC^2$，$S_3=BC^2$
$\because △ ABC$中，$∠ BAC=90°$
$\therefore$ 根据勾股定理得：$AB^2+AC^2=BC^2$，即$S_1+S_2=S_3$
由图形可得阴影部分面积为$\frac{1}{2}S_2$，已知阴影部分面积为12
$\therefore \frac{1}{2}S_2=12$，解得$S_2=24$
$\therefore S_3+S_2-S_1=(S_1+S_2)+S_2-S_1=2S_2=2×24=48$
【答案】
A
【知识点】
勾股定理；正方形的性质；三角形面积计算
【点评】
本题将勾股定理和正方形面积结合考查，解题的核心是理解正方形面积等于对应边长的平方，再通过勾股定理化简所求表达式，结合图形中阴影部分和正方形的面积关系即可求解，需要具备一定的图形观察能力。
【难度系数】
0.6
解题思路如下：第一步，明确正方形面积和三角形边长的关系：正方形面积等于边长的平方，因此$S_1=AB^2$，$S_2=AC^2$，$S_3=BC^2$。第二步，结合$△ ABC$是直角三角形，运用勾股定理得到三边平方的关系，将面积代入可推导出$S_1$、$S_2$、$S_3$的等量关系。第三步，观察图形可知阴影部分面积等于$\frac{1}{2}S_2$，结合已知阴影面积为12可求出$S_2$的值。第四步，将勾股定理得到的等量关系代入所求式子$S_3+S_2-S_1$化简，代入$S_2$的值即可算出结果。
【解析】
解：$\because$ 以$AB$、$AC$、$BC$为边向外作正方形，面积分别为$S_1$、$S_2$、$S_3$
$\therefore S_1=AB^2$，$S_2=AC^2$，$S_3=BC^2$
$\because △ ABC$中，$∠ BAC=90°$
$\therefore$ 根据勾股定理得：$AB^2+AC^2=BC^2$，即$S_1+S_2=S_3$
由图形可得阴影部分面积为$\frac{1}{2}S_2$，已知阴影部分面积为12
$\therefore \frac{1}{2}S_2=12$，解得$S_2=24$
$\therefore S_3+S_2-S_1=(S_1+S_2)+S_2-S_1=2S_2=2×24=48$
【答案】
A
【知识点】
勾股定理；正方形的性质；三角形面积计算
【点评】
本题将勾股定理和正方形面积结合考查，解题的核心是理解正方形面积等于对应边长的平方，再通过勾股定理化简所求表达式，结合图形中阴影部分和正方形的面积关系即可求解，需要具备一定的图形观察能力。
【难度系数】
0.6
14. 如图,在 $Rt△ ABC$ 中,$∠ C=90°,AC=3,BC=4$,点 $N$ 在边 $BC$ 上,点 $M$ 为边 $AB$ 上的动点,点 $D,E$ 分别为 $CN,MN$ 的中点,则 $DE$ 的最小值是 (
A.2
B.2.5
C.2.4
D.1.2
D
)A.2
B.2.5
C.2.4
D.1.2
答案
14.D
解析
【分析】
解题时首先观察到D、E分别为CN、MN的中点，可联想到三角形中位线定理，推导出DE与CM的数量关系，将求DE的最小值转化为求CM的最小值；再根据点到直线的距离中垂线段最短的性质，可知CM的最小值是Rt△ABC斜边AB上的高；最后利用勾股定理算出AB长度，再通过面积法求出斜边上的高，即可计算得到DE的最小值。
【解析】
1. 连接CM，
∵D是CN的中点，E是MN的中点，
∴DE是△CMN的中位线，根据三角形中位线定理可得：$ DE=\frac{1}{2}CM $，因此要使DE最小，只需CM取最小值即可。
2. 求CM的最小值：
点M在AB上运动，根据“点到直线的距离，垂线段最短”，可知当$ CM⊥ AB $时，CM取得最小值，此时CM为Rt△ABC斜边AB上的高。
3. 计算AB的长度：
在Rt△ABC中，$ ∠ C=90° $，$ AC=3 $，$ BC=4 $，由勾股定理得：
$ AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5 $。
4. 用面积法求CM的最小值：
△ABC的面积可表示为$ S=\frac{1}{2}AC· BC $，也可表示为$ S=\frac{1}{2}AB· CM $，因此：
$ \frac{1}{2}×3×4=\frac{1}{2}×5× CM $，
解得$ CM=\frac{12}{5}=2.4 $。
5. 计算DE的最小值：
$ DE=\frac{1}{2}CM=\frac{1}{2}×2.4=1.2 $。
【答案】
D
【知识点】
三角形中位线定理，垂线段最短，勾股定理
【点评】
本题属于几何最值类常规题型，解题核心是利用中位线性质将未知线段的最值转化为易求的垂线段长度，体现了转化思想的应用，需要熟练掌握三角形中位线、勾股定理以及面积法求高的相关知识。
【难度系数】
0.6
解题时首先观察到D、E分别为CN、MN的中点，可联想到三角形中位线定理，推导出DE与CM的数量关系，将求DE的最小值转化为求CM的最小值；再根据点到直线的距离中垂线段最短的性质，可知CM的最小值是Rt△ABC斜边AB上的高；最后利用勾股定理算出AB长度，再通过面积法求出斜边上的高，即可计算得到DE的最小值。
【解析】
1. 连接CM，
∵D是CN的中点，E是MN的中点，
∴DE是△CMN的中位线，根据三角形中位线定理可得：$ DE=\frac{1}{2}CM $，因此要使DE最小，只需CM取最小值即可。
2. 求CM的最小值：
点M在AB上运动，根据“点到直线的距离，垂线段最短”，可知当$ CM⊥ AB $时，CM取得最小值，此时CM为Rt△ABC斜边AB上的高。
3. 计算AB的长度：
在Rt△ABC中，$ ∠ C=90° $，$ AC=3 $，$ BC=4 $，由勾股定理得：
$ AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5 $。
4. 用面积法求CM的最小值：
△ABC的面积可表示为$ S=\frac{1}{2}AC· BC $，也可表示为$ S=\frac{1}{2}AB· CM $，因此：
$ \frac{1}{2}×3×4=\frac{1}{2}×5× CM $，
解得$ CM=\frac{12}{5}=2.4 $。
5. 计算DE的最小值：
$ DE=\frac{1}{2}CM=\frac{1}{2}×2.4=1.2 $。
【答案】
D
【知识点】
三角形中位线定理，垂线段最短，勾股定理
【点评】
本题属于几何最值类常规题型，解题核心是利用中位线性质将未知线段的最值转化为易求的垂线段长度，体现了转化思想的应用，需要熟练掌握三角形中位线、勾股定理以及面积法求高的相关知识。
【难度系数】
0.6
15.如图,点E是正方形ABCD的中心(对角线的交点),以点E为直角顶点作Rt△EFG,Rt△EFG的两直角边EF,EG分别交BC,DC于点M,N.若正方形ABCD的边长为6,则重叠部分四边形EMCN的面积为（
A.6
B.9
C.12
D.18
B
）A.6
B.9
C.12
D.18
答案
15.B
解析
【分析】
本题是正方形与直角三角形结合求重叠部分面积的问题，解题思路如下：首先利用正方形中心的性质，连接EB、EC得到相等的线段和相等的角；再结合直角三角形的直角，通过角的等量代换得到相等的角，证明△BEM和△CEN全等；最后利用全等三角形面积相等，将不规则的四边形EMCN的面积转化为规则的△BEC的面积，结合正方形边长计算即可。
【解析】
解：连接EB、EC。
∵E是正方形ABCD的中心（对角线交点），
∴EB=EC，∠BEC=90°，∠EBM=∠ECN=45°。
∵△EFG是直角三角形，∠FEG=90°，
∴∠BEM + ∠MEC = ∠MEC + ∠CEN = 90°，
∴∠BEM=∠CEN。
在△BEM和△CEN中：
$\{\begin{array}{l}∠EBM=∠ECN \\EB=EC \\∠BEM=∠CEN\end{array} $
∴△BEM≌△CEN（ASA），
∴$S_{△ BEM}=S_{△ CEN}$。
∴$S_{四边形EMCN}=S_{△ CEN} + S_{△ EMC}=S_{△ BEM} + S_{△ EMC}=S_{△ BEC}$。
∵正方形ABCD边长为6，
∴$S_{正方形ABCD}=6×6=36$，
而$S_{△ BEC}=\frac{1}{4}S_{正方形ABCD}=\frac{1}{4}×36=9$，
即四边形EMCN的面积为9。
【答案】
B
【知识点】
正方形的性质，全等三角形的判定与性质，面积转化
【点评】
本题属于几何综合基础题，解题核心是利用旋转型全等实现不规则图形面积向规则图形面积的转化，熟练掌握正方形的性质和全等三角形的判定方法是解决这类题的关键，这类题型也是几何中面积计算的常见考法。
【难度系数】
0.6
本题是正方形与直角三角形结合求重叠部分面积的问题，解题思路如下：首先利用正方形中心的性质，连接EB、EC得到相等的线段和相等的角；再结合直角三角形的直角，通过角的等量代换得到相等的角，证明△BEM和△CEN全等；最后利用全等三角形面积相等，将不规则的四边形EMCN的面积转化为规则的△BEC的面积，结合正方形边长计算即可。
【解析】
解：连接EB、EC。
∵E是正方形ABCD的中心（对角线交点），
∴EB=EC，∠BEC=90°，∠EBM=∠ECN=45°。
∵△EFG是直角三角形，∠FEG=90°，
∴∠BEM + ∠MEC = ∠MEC + ∠CEN = 90°，
∴∠BEM=∠CEN。
在△BEM和△CEN中：
$\{\begin{array}{l}∠EBM=∠ECN \\EB=EC \\∠BEM=∠CEN\end{array} $
∴△BEM≌△CEN（ASA），
∴$S_{△ BEM}=S_{△ CEN}$。
∴$S_{四边形EMCN}=S_{△ CEN} + S_{△ EMC}=S_{△ BEM} + S_{△ EMC}=S_{△ BEC}$。
∵正方形ABCD边长为6，
∴$S_{正方形ABCD}=6×6=36$，
而$S_{△ BEC}=\frac{1}{4}S_{正方形ABCD}=\frac{1}{4}×36=9$，
即四边形EMCN的面积为9。
【答案】
B
【知识点】
正方形的性质，全等三角形的判定与性质，面积转化
【点评】
本题属于几何综合基础题，解题核心是利用旋转型全等实现不规则图形面积向规则图形面积的转化，熟练掌握正方形的性质和全等三角形的判定方法是解决这类题的关键，这类题型也是几何中面积计算的常见考法。
【难度系数】
0.6
1. 已知$a+b=8,ab=1$,则$\sqrt{\dfrac{b}{a}}+\sqrt{\dfrac{a}{b}}$的值为
8
.答案
1.8
解析
【分析】
首先观察待求式是两个二次根式的和，直接化简计算较为繁琐，可先判断a、b的符号确定待求式的正负性，再通过“先平方再开方”的方法，将待求式转化为含有a+b和ab的形式，利用整体代入法计算即可。首先由ab=1＞0，a+b=8＞0可知a、b均为正数，因此待求式的结果为正；再将待求式平方，利用完全平方公式展开后，通过通分将分子转化为a²+b²，再用完全平方公式将a²+b²变形为(a+b)²-2ab，代入已知条件计算出平方后的结果，最后开方取正值得出最终答案。
【解析】
解：
∵a+b=8＞0，ab=1＞0，
∴a＞0，b＞0，因此$\sqrt{\dfrac{b}{a}}+\sqrt{\dfrac{a}{b}}＞0$。
设$S=\sqrt{\dfrac{b}{a}}+\sqrt{\dfrac{a}{b}}$，对S平方得：
$\begin{aligned}S^2&=(\sqrt{\dfrac{b}{a}}+\sqrt{\dfrac{a}{b}})^2\\&=(\sqrt{\dfrac{b}{a}})^2 + 2·\sqrt{\dfrac{b}{a}}·\sqrt{\dfrac{a}{b}} + (\sqrt{\dfrac{a}{b}})^2\\&=\dfrac{b}{a}+\dfrac{a}{b}+2\end{aligned}$
将$\dfrac{b}{a}+\dfrac{a}{b}$通分得：$\dfrac{a^2+b^2}{ab}$，
又
∵$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$，代入a+b=8，ab=1得：
$a^2+b^2=8^2 - 2×1=62$，
∴$\dfrac{a^2+b^2}{ab}=\dfrac{62}{1}=62$，
因此$S^2=62+2=64$，
∵S＞0，
∴$S=\sqrt{64}=8$。
【答案】
8
【知识点】
二次根式的性质、完全平方公式、代数式求值
【点评】
本题是代数式求值的典型题型，解题的关键是利用平方将待求的二次根式和转化为可整体代入已知条件的形式，避免了单独求解a、b的复杂运算，考查了整体代入的数学思想。
【难度系数】
0.7
首先观察待求式是两个二次根式的和，直接化简计算较为繁琐，可先判断a、b的符号确定待求式的正负性，再通过“先平方再开方”的方法，将待求式转化为含有a+b和ab的形式，利用整体代入法计算即可。首先由ab=1＞0，a+b=8＞0可知a、b均为正数，因此待求式的结果为正；再将待求式平方，利用完全平方公式展开后，通过通分将分子转化为a²+b²，再用完全平方公式将a²+b²变形为(a+b)²-2ab，代入已知条件计算出平方后的结果，最后开方取正值得出最终答案。
【解析】
解：
∵a+b=8＞0，ab=1＞0，
∴a＞0，b＞0，因此$\sqrt{\dfrac{b}{a}}+\sqrt{\dfrac{a}{b}}＞0$。
设$S=\sqrt{\dfrac{b}{a}}+\sqrt{\dfrac{a}{b}}$，对S平方得：
$\begin{aligned}S^2&=(\sqrt{\dfrac{b}{a}}+\sqrt{\dfrac{a}{b}})^2\\&=(\sqrt{\dfrac{b}{a}})^2 + 2·\sqrt{\dfrac{b}{a}}·\sqrt{\dfrac{a}{b}} + (\sqrt{\dfrac{a}{b}})^2\\&=\dfrac{b}{a}+\dfrac{a}{b}+2\end{aligned}$
将$\dfrac{b}{a}+\dfrac{a}{b}$通分得：$\dfrac{a^2+b^2}{ab}$，
又
∵$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$，代入a+b=8，ab=1得：
$a^2+b^2=8^2 - 2×1=62$，
∴$\dfrac{a^2+b^2}{ab}=\dfrac{62}{1}=62$，
因此$S^2=62+2=64$，
∵S＞0，
∴$S=\sqrt{64}=8$。
【答案】
8
【知识点】
二次根式的性质、完全平方公式、代数式求值
【点评】
本题是代数式求值的典型题型，解题的关键是利用平方将待求的二次根式和转化为可整体代入已知条件的形式，避免了单独求解a、b的复杂运算，考查了整体代入的数学思想。
【难度系数】
0.7
