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5.已知$△ ABC$的三边长分别为$a$，$b$，$c$，且满足$\sqrt{a-1} + |b - \sqrt{2}| + (c - \sqrt{3})^2 = 0$，则$△ ABC$是（
A.以$c$为斜边长的直角三角形
B.以$b$为斜边长的直角三角形
C.以$a$为斜边长的直角三角形
D.等腰三角形
A
）A.以$c$为斜边长的直角三角形
B.以$b$为斜边长的直角三角形
C.以$a$为斜边长的直角三角形
D.等腰三角形
答案
5.A
解析
【分析】
解题时首先要回忆非负数的性质：算术平方根、绝对值、偶次幂的结果均为非负数，若几个非负数的和为0，则每个非负数都为0。首先利用该性质求出△ABC三边a、b、c的具体值，再根据勾股定理的逆定理，计算两条较短边的平方和，与最长边的平方对比，若相等则为直角三角形，最长边就是斜边，进而判断选项。
【解析】
∵$\sqrt{a-1}≥0$，$|b-\sqrt{2}|≥0$，$(c-\sqrt{3})^2≥0$，且三者相加等于0
∴根据非负数的性质可得：
$a-1=0$，解得$a=1$
$b-\sqrt{2}=0$，解得$b=\sqrt{2}$
$c-\sqrt{3}=0$，解得$c=\sqrt{3}$
接下来计算各边的平方：
$a^2=1^2=1$，$b^2=(\sqrt{2})^2=2$，$c^2=(\sqrt{3})^2=3$
∵$a^2+b^2=1+2=3=c^2$
∴根据勾股定理的逆定理可知，△ABC是直角三角形，且最长边为c，即c为斜边长。
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
非负数的性质，勾股定理的逆定理
【点评】
本题属于基础题型，解题的核心是先通过非负数的性质求出三角形三边长，再结合勾股定理的逆定理判断三角形的形状，需要熟练掌握常见非负数的类型和勾股定理逆定理的应用方法。
【难度系数】
0.8
解题时首先要回忆非负数的性质：算术平方根、绝对值、偶次幂的结果均为非负数，若几个非负数的和为0，则每个非负数都为0。首先利用该性质求出△ABC三边a、b、c的具体值，再根据勾股定理的逆定理，计算两条较短边的平方和，与最长边的平方对比，若相等则为直角三角形，最长边就是斜边，进而判断选项。
【解析】
∵$\sqrt{a-1}≥0$，$|b-\sqrt{2}|≥0$，$(c-\sqrt{3})^2≥0$，且三者相加等于0
∴根据非负数的性质可得：
$a-1=0$，解得$a=1$
$b-\sqrt{2}=0$，解得$b=\sqrt{2}$
$c-\sqrt{3}=0$，解得$c=\sqrt{3}$
接下来计算各边的平方：
$a^2=1^2=1$，$b^2=(\sqrt{2})^2=2$，$c^2=(\sqrt{3})^2=3$
∵$a^2+b^2=1+2=3=c^2$
∴根据勾股定理的逆定理可知，△ABC是直角三角形，且最长边为c，即c为斜边长。
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
非负数的性质，勾股定理的逆定理
【点评】
本题属于基础题型，解题的核心是先通过非负数的性质求出三角形三边长，再结合勾股定理的逆定理判断三角形的形状，需要熟练掌握常见非负数的类型和勾股定理逆定理的应用方法。
【难度系数】
0.8
6.已知一组数:$3x_1 + 2, 3x_2 + 2, 3x_3 + 2, 3x_4 + 2$的平均数为$M$，方差为$N$，那么这组数:$x_1, x_2, x_3, x_4$的平均数及方差分别是（
A.$3M + 2, 9N$
B.$\dfrac{M - 2}{3}, \dfrac{N^2 - 2}{9}$
C.$\dfrac{M - 2}{3}, \dfrac{N}{9}$
D.$\dfrac{M - 2}{3}, \dfrac{N - 2}{9}$
C
）A.$3M + 2, 9N$
B.$\dfrac{M - 2}{3}, \dfrac{N^2 - 2}{9}$
C.$\dfrac{M - 2}{3}, \dfrac{N}{9}$
D.$\dfrac{M - 2}{3}, \dfrac{N - 2}{9}$
答案
6.C
解析
【分析】
我们已知经过“每个数乘3再加2”变换后的一组数据的平均数M和方差N，要求原数据的平均数和方差。解题时可以先设原数据的平均数和方差分别为$\overline{x}$、$s^2$，再分别根据平均数、方差的定义，推导变换后的数据的平均数、方差与原数据的关系，反向求解即可得到原数据的平均数和方差。
【解析】
设$x_1,x_2,x_3,x_4$的平均数为$\overline{x}$，方差为$s^2$。
1. 求原数据的平均数：
变换后的数据的平均数$M=\frac{(3x_1+2)+(3x_2+2)+(3x_3+2)+(3x_4+2)}{4}$
整理得：$M=\frac{3(x_1+x_2+x_3+x_4)+8}{4}=3×\frac{x_1+x_2+x_3+x_4}{4}+2$
因为$\frac{x_1+x_2+x_3+x_4}{4}=\overline{x}$，所以$M=3\overline{x}+2$
解得：$\overline{x}=\frac{M-2}{3}$
2. 求原数据的方差：
方差是各数据与平均数差的平方的平均数，变换后的数据的方差：
$N=\frac{1}{4}[(3x_1+2-M)^2+(3x_2+2-M)^2+(3x_3+2-M)^2+(3x_4+2-M)^2]$
将$M=3\overline{x}+2$代入，得$3x_i+2-M=3x_i+2-(3\overline{x}+2)=3(x_i-\overline{x})$，代入上式：
$N=\frac{1}{4}[(3(x_1-\overline{x}))^2+(3(x_2-\overline{x}))^2+(3(x_3-\overline{x}))^2+(3(x_4-\overline{x}))^2]$
$=\frac{1}{4}×9×[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+(x_3-\overline{x})^2+(x_4-\overline{x})^2]$
又因为$\frac{1}{4}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+(x_3-\overline{x})^2+(x_4-\overline{x})^2]=s^2$，所以$N=9s^2$
解得：$s^2=\frac{N}{9}$
综上，原数据的平均数为$\frac{M-2}{3}$，方差为$\frac{N}{9}$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
平均数的性质；方差的性质
【点评】
本题考查数据线性变换下平均数和方差的变化规律，既可以通过定义推导得出结果，也可以直接用规律快速判断：若数据进行$ax+b$的线性变换，新平均数为$a\overline{x}+b$，新方差为$a^2s^2$，解题时注意方差只受系数影响，不受常数项加减的影响，避免混淆公式出错。
【难度系数】
0.7
我们已知经过“每个数乘3再加2”变换后的一组数据的平均数M和方差N，要求原数据的平均数和方差。解题时可以先设原数据的平均数和方差分别为$\overline{x}$、$s^2$，再分别根据平均数、方差的定义，推导变换后的数据的平均数、方差与原数据的关系，反向求解即可得到原数据的平均数和方差。
【解析】
设$x_1,x_2,x_3,x_4$的平均数为$\overline{x}$，方差为$s^2$。
1. 求原数据的平均数：
变换后的数据的平均数$M=\frac{(3x_1+2)+(3x_2+2)+(3x_3+2)+(3x_4+2)}{4}$
整理得：$M=\frac{3(x_1+x_2+x_3+x_4)+8}{4}=3×\frac{x_1+x_2+x_3+x_4}{4}+2$
因为$\frac{x_1+x_2+x_3+x_4}{4}=\overline{x}$，所以$M=3\overline{x}+2$
解得：$\overline{x}=\frac{M-2}{3}$
2. 求原数据的方差：
方差是各数据与平均数差的平方的平均数，变换后的数据的方差：
$N=\frac{1}{4}[(3x_1+2-M)^2+(3x_2+2-M)^2+(3x_3+2-M)^2+(3x_4+2-M)^2]$
将$M=3\overline{x}+2$代入，得$3x_i+2-M=3x_i+2-(3\overline{x}+2)=3(x_i-\overline{x})$，代入上式：
$N=\frac{1}{4}[(3(x_1-\overline{x}))^2+(3(x_2-\overline{x}))^2+(3(x_3-\overline{x}))^2+(3(x_4-\overline{x}))^2]$
$=\frac{1}{4}×9×[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+(x_3-\overline{x})^2+(x_4-\overline{x})^2]$
又因为$\frac{1}{4}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+(x_3-\overline{x})^2+(x_4-\overline{x})^2]=s^2$，所以$N=9s^2$
解得：$s^2=\frac{N}{9}$
综上，原数据的平均数为$\frac{M-2}{3}$，方差为$\frac{N}{9}$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
平均数的性质；方差的性质
【点评】
本题考查数据线性变换下平均数和方差的变化规律，既可以通过定义推导得出结果，也可以直接用规律快速判断：若数据进行$ax+b$的线性变换，新平均数为$a\overline{x}+b$，新方差为$a^2s^2$，解题时注意方差只受系数影响，不受常数项加减的影响，避免混淆公式出错。
【难度系数】
0.7
7. 如图,在$△ ABC$中,$∠ ABC=90°$,直角边$AB$落在数轴上,$AB=3$个单位长度,$BC=1$个单位长度,点$A$表示的数为$-1$.若以点$A$为圆心,以斜边$AC$长为半径画弧交数轴于点$D$,则点$D$表示的数是 (
A.$\sqrt{10}$
B.$\sqrt{5}-1$
C.$\sqrt{5}$
D.$\sqrt{10}-1$
D
)A.$\sqrt{10}$
B.$\sqrt{5}-1$
C.$\sqrt{5}$
D.$\sqrt{10}-1$
答案
7.D
解析
【分析】
本题是勾股定理与数轴结合的基础题，解题思路可分为三步：第一步，在直角△ABC中，利用勾股定理计算出斜边AC的长度；第二步，根据圆的性质，同圆的半径相等，可得AD的长度等于AC的长度；第三步，结合点A在数轴上表示的数，由于点D在点A右侧，因此用点A表示的数加上AD的长度，即可得到点D表示的数。
【解析】
解：在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=1，根据勾股定理可得：
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{9+1}=\sqrt{10}$
∵ 以点A为圆心，AC长为半径画弧交数轴于点D，
∴ $AD=AC=\sqrt{10}$
又
∵ 点A表示的数为-1，且点D在点A的右侧，
∴ 点D表示的数为 $-1+\sqrt{10}=\sqrt{10}-1$
故选D。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理；圆的半径相等；数轴与实数
【点评】
本题属于几何与数轴结合的基础应用题，核心是利用同圆半径相等的性质将AC的长度转化为AD的长度，再结合勾股定理和数轴上点的位置关系计算对应数值，计算量小，侧重对基础知识点的应用考查。
【难度系数】
0.7
本题是勾股定理与数轴结合的基础题，解题思路可分为三步：第一步，在直角△ABC中，利用勾股定理计算出斜边AC的长度；第二步，根据圆的性质，同圆的半径相等，可得AD的长度等于AC的长度；第三步，结合点A在数轴上表示的数，由于点D在点A右侧，因此用点A表示的数加上AD的长度，即可得到点D表示的数。
【解析】
解：在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=1，根据勾股定理可得：
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{9+1}=\sqrt{10}$
∵ 以点A为圆心，AC长为半径画弧交数轴于点D，
∴ $AD=AC=\sqrt{10}$
又
∵ 点A表示的数为-1，且点D在点A的右侧，
∴ 点D表示的数为 $-1+\sqrt{10}=\sqrt{10}-1$
故选D。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理；圆的半径相等；数轴与实数
【点评】
本题属于几何与数轴结合的基础应用题，核心是利用同圆半径相等的性质将AC的长度转化为AD的长度，再结合勾股定理和数轴上点的位置关系计算对应数值，计算量小，侧重对基础知识点的应用考查。
【难度系数】
0.7
8.水钟在我国又称漏刻、漏壶,是一种利用水流等时性原理计时的古老装置.小明依据水钟的原理,制作了一个简易的计时工具,通过观察,他发现容器中水的高度和时间有如下关系:
下列说法中,不正确的是
(
A.上表反映了容器中水的高度和时间两个变量之间的关系
B.当经过的时间为3 min时,容器中水的高度是6 cm
C.当容器中水的高度为6 cm时,对应的时间为4 min
D.时间每增加1 min,容器中水的高度增加1.5 cm
下列说法中,不正确的是
(
B
)A.上表反映了容器中水的高度和时间两个变量之间的关系
B.当经过的时间为3 min时,容器中水的高度是6 cm
C.当容器中水的高度为6 cm时,对应的时间为4 min
D.时间每增加1 min,容器中水的高度增加1.5 cm
答案
8.B
解析
【分析】
这道题结合表格考查变量相关知识，解题思路如下：首先观察表格，确定表格记录的是时间和水的高度两个量的对应关系。第一步先判断A选项：两个量的数值都随过程变化，属于变量，因此A描述正确。接下来逐一验证涉及数值的选项：将B、C选项的描述和表格中的对应数据对照，判断正误；再计算相邻时间的水的高度差，验证D选项的规律是否正确，最终选出错误选项即可。
【解析】
逐一分析各选项：
A. 表格中记录的时间和水的高度都是数值会发生变化的量，该表反映了这两个变量之间的关系，故A正确，不符合题意；
B. 观察表格可知，当时间为3min时，对应的水的高度为4.5cm，不是6cm，故B错误，符合题意；
C. 观察表格可知，当水的高度为6cm时，对应的时间为4min，故C正确，不符合题意；
D. 计算相邻1分钟的水的高度差：$3-1.5=1.5\mathrm{cm}$，$4.5-3=1.5\mathrm{cm}$，$6-4.5=1.5\mathrm{cm}$……，可得出时间每增加1min，容器中水的高度增加1.5cm，故D正确，不符合题意。
综上，本题选不正确的，答案为B。
【答案】
B
【知识点】
变量的概念，表格法表示变量间关系
【点评】
本题侧重考查从表格中提取有效信息的能力，解题关键是准确对应时间和水的高度的数值关系，属于基础类题型。
【难度系数】
0.9
这道题结合表格考查变量相关知识，解题思路如下：首先观察表格，确定表格记录的是时间和水的高度两个量的对应关系。第一步先判断A选项：两个量的数值都随过程变化，属于变量，因此A描述正确。接下来逐一验证涉及数值的选项：将B、C选项的描述和表格中的对应数据对照，判断正误；再计算相邻时间的水的高度差，验证D选项的规律是否正确，最终选出错误选项即可。
【解析】
逐一分析各选项：
A. 表格中记录的时间和水的高度都是数值会发生变化的量，该表反映了这两个变量之间的关系，故A正确，不符合题意；
B. 观察表格可知，当时间为3min时，对应的水的高度为4.5cm，不是6cm，故B错误，符合题意；
C. 观察表格可知，当水的高度为6cm时，对应的时间为4min，故C正确，不符合题意；
D. 计算相邻1分钟的水的高度差：$3-1.5=1.5\mathrm{cm}$，$4.5-3=1.5\mathrm{cm}$，$6-4.5=1.5\mathrm{cm}$……，可得出时间每增加1min，容器中水的高度增加1.5cm，故D正确，不符合题意。
综上，本题选不正确的，答案为B。
【答案】
B
【知识点】
变量的概念，表格法表示变量间关系
【点评】
本题侧重考查从表格中提取有效信息的能力，解题关键是准确对应时间和水的高度的数值关系，属于基础类题型。
【难度系数】
0.9
9. 如图，直线$y=kx-b(k≠0)$与$x$轴交于点$(-5,0)$，下列说法正确的是（
A.$k＞0,b＞0$
B.直线$y=bx+k$不经过第四象限
C.关于$x$的方程$kx-b=0$的解为$x=-5$
D.若$(x_1,y_1),(x_2,y_2)$是直线$y=kx-b$上的两点，若$x_1＜x_2$，则$y_1＞y_2$
第9题 第10题
C
）A.$k＞0,b＞0$
B.直线$y=bx+k$不经过第四象限
C.关于$x$的方程$kx-b=0$的解为$x=-5$
D.若$(x_1,y_1),(x_2,y_2)$是直线$y=kx-b$上的两点，若$x_1＜x_2$，则$y_1＞y_2$
第9题 第10题
答案
9.C
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：①直线y=kx-b的图像呈上升趋势，与x轴交于点(-5,0)，与y轴交于正半轴；②结合一次函数的性质先判断k、b的符号，再逐一分析每个选项：首先根据直线上升可得k＞0，根据y轴交点在正半轴可推导b的符号，再结合一次函数的象限性质、增减性、一次函数与一元一次方程的对应关系判断各选项正误。
【解析】
由图像可知：
1. 直线y=kx-b从左下向右上延伸，即y随x的增大而增大，因此k＞0；
2. 直线与y轴交于正半轴，当x=0时，y=-b＞0，解得b＜0。
逐个分析选项：
A选项：k＞0成立，但b＜0，因此A错误；
B选项：对于直线y=bx+k，b＜0说明直线斜率为负，k＞0说明直线与y轴交于正半轴，该直线经过第一、二、四象限，经过第四象限，因此B错误；
C选项：关于x的方程kx-b=0的解，对应一次函数y=kx-b的函数值为0时的x值，已知直线与x轴交于(-5,0)，即y=0时x=-5，因此方程kx-b=0的解为x=-5，C正确；
D选项：由于k＞0，直线y=kx-b的y随x的增大而增大，因此若x₁＜x₂，则y₁＜y₂，D错误。
【答案】
C
【知识点】
一次函数的性质；一次函数与一元一次方程
【点评】
本题是一次函数的基础综合题，重点考查一次函数的图像与系数的关系、增减性以及一次函数与一元一次方程的对应关系，熟练掌握一次函数的基本性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件入手：①直线y=kx-b的图像呈上升趋势，与x轴交于点(-5,0)，与y轴交于正半轴；②结合一次函数的性质先判断k、b的符号，再逐一分析每个选项：首先根据直线上升可得k＞0，根据y轴交点在正半轴可推导b的符号，再结合一次函数的象限性质、增减性、一次函数与一元一次方程的对应关系判断各选项正误。
【解析】
由图像可知：
1. 直线y=kx-b从左下向右上延伸，即y随x的增大而增大，因此k＞0；
2. 直线与y轴交于正半轴，当x=0时，y=-b＞0，解得b＜0。
逐个分析选项：
A选项：k＞0成立，但b＜0，因此A错误；
B选项：对于直线y=bx+k，b＜0说明直线斜率为负，k＞0说明直线与y轴交于正半轴，该直线经过第一、二、四象限，经过第四象限，因此B错误；
C选项：关于x的方程kx-b=0的解，对应一次函数y=kx-b的函数值为0时的x值，已知直线与x轴交于(-5,0)，即y=0时x=-5，因此方程kx-b=0的解为x=-5，C正确；
D选项：由于k＞0，直线y=kx-b的y随x的增大而增大，因此若x₁＜x₂，则y₁＜y₂，D错误。
【答案】
C
【知识点】
一次函数的性质；一次函数与一元一次方程
【点评】
本题是一次函数的基础综合题，重点考查一次函数的图像与系数的关系、增减性以及一次函数与一元一次方程的对应关系，熟练掌握一次函数的基本性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
10. 如图,已知线段AB端点的坐标分别为$A(-2,1),B(1,1)$.若一次函数$y=-2x+b$的图象与线段AB有交点,则$b$的取值范围是（
A.$-3 ≤ b ≤ -\dfrac{1}{3}$
B.$-3 ≤ b ≤ 3$
C.$1 ≤ b ≤ 3$
D.$-3 ≤ b ≤ 1$
B
）A.$-3 ≤ b ≤ -\dfrac{1}{3}$
B.$-3 ≤ b ≤ 3$
C.$1 ≤ b ≤ 3$
D.$-3 ≤ b ≤ 1$
答案
10.B
解析
【分析】
首先观察线段AB的特征：点A(-2,1)和B(1,1)的纵坐标相同，说明线段AB位于直线y=1上，且横坐标的取值范围为-2≤x≤1。要使一次函数y=-2x+b的图象与线段AB有交点，可将y=1代入一次函数解析式，得到x与b的关系式，再根据x的取值范围列不等式求解b的范围；也可直接将A、B两点分别代入一次函数，算出两个临界的b值，最终确定b的取值范围。
【解析】
解法1：
∵线段AB的端点为A(-2,1)、B(1,1)，
∴线段AB上所有点的纵坐标均为1，横坐标满足-2≤x≤1。
将y=1代入y=-2x+b，得：
1 = -2x + b，整理得$x = \frac{b-1}{2}$
∵一次函数图象与线段AB有交点，
∴x需要满足$-2 ≤ \frac{b-1}{2} ≤ 1$，
不等式三边同时乘2，得：$-4 ≤ b-1 ≤ 2$，
三边同时加1，得：$-3 ≤ b ≤ 3$。
解法2：
当一次函数y=-2x+b过点A(-2,1)时，代入得：
$1 = -2×(-2) + b$，解得$b = -3$；
当一次函数y=-2x+b过点B(1,1)时，代入得：
$1 = -2×1 + b$，解得$b = 3$；
结合一次函数的单调性，可知b的取值范围是$-3≤b≤3$。
【答案】
B
【知识点】
一次函数图象性质，一元一次不等式求解
【点评】
本题是一次函数的常见题型，解题核心是抓住线段AB上点的纵坐标恒定的特征，将交点问题转化为不等式求解问题，也可以通过代入端点求临界值的方法快速解题，能有效考查对一次函数图象的理解和应用能力。
【难度系数】
0.7
首先观察线段AB的特征：点A(-2,1)和B(1,1)的纵坐标相同，说明线段AB位于直线y=1上，且横坐标的取值范围为-2≤x≤1。要使一次函数y=-2x+b的图象与线段AB有交点，可将y=1代入一次函数解析式，得到x与b的关系式，再根据x的取值范围列不等式求解b的范围；也可直接将A、B两点分别代入一次函数，算出两个临界的b值，最终确定b的取值范围。
【解析】
解法1：
∵线段AB的端点为A(-2,1)、B(1,1)，
∴线段AB上所有点的纵坐标均为1，横坐标满足-2≤x≤1。
将y=1代入y=-2x+b，得：
1 = -2x + b，整理得$x = \frac{b-1}{2}$
∵一次函数图象与线段AB有交点，
∴x需要满足$-2 ≤ \frac{b-1}{2} ≤ 1$，
不等式三边同时乘2，得：$-4 ≤ b-1 ≤ 2$，
三边同时加1，得：$-3 ≤ b ≤ 3$。
解法2：
当一次函数y=-2x+b过点A(-2,1)时，代入得：
$1 = -2×(-2) + b$，解得$b = -3$；
当一次函数y=-2x+b过点B(1,1)时，代入得：
$1 = -2×1 + b$，解得$b = 3$；
结合一次函数的单调性，可知b的取值范围是$-3≤b≤3$。
【答案】
B
【知识点】
一次函数图象性质，一元一次不等式求解
【点评】
本题是一次函数的常见题型，解题核心是抓住线段AB上点的纵坐标恒定的特征，将交点问题转化为不等式求解问题，也可以通过代入端点求临界值的方法快速解题，能有效考查对一次函数图象的理解和应用能力。
【难度系数】
0.7
