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9. 如图,直线a与直线b,c分别交于点A,B,将含$45°$角的直角三角尺BCD按如图所示放置,$∠1=120°$.若要使直线b与直线c平行,可将直线b绕点A逆时针旋转的最小角度为
15
°.答案
9. 15 解析:
如图,因为∠1=120°,所以∠2=180°-120°=60°.因为∠ABD=45°,所以当∠2=∠ABD=45°时,b//c,所以直线b绕点A逆时针旋转至少60°-45°=15°.10. 新情境 为响应国家新能源建设，某市公交站亭装上了太阳能电池板.当地某一季节的太阳光(平行光线)与水平线最大夹角为$64°$，如图，电池板$AB$与最大夹角时刻的太阳光线垂直，此时电池板$CD$与水平线夹角为$46°$，要使$AB// CD$，需将电池板$CD$逆时针旋转$m°(0＜m＜90)$，则$m=$
20
.答案
10. 20 解析:因为电池板AB与最大夹角时刻的太阳光线垂直,所以AB与水平线的夹角为90°-64°=26°.要使AB//CD,需令CD与水平线的夹角为26°,所以需将电池板CD逆时针旋转46°-26°=20°.
11. 新趋势 开放性试题 如图,已知$∠ 1=∠ 2$,有下列条件:①$AB ⊥ BE$, $CD ⊥ DF$;②$BA$平分$∠ EBM$, $DC$平分$∠ FDM$;③$BE$平分$∠ ABN$, $DF$平分$∠ CDN$.请你从上述条件中任选一个,试说明:$BE // DF$.
答案
11. 选①.因为AB⊥BE,CD⊥DF,所以∠ABE=∠CDF=90°.
因为∠1 = ∠2,所以∠1 + ∠ABE = ∠2 + ∠CDF,即∠EBM = ∠FDM.
所以BE//DF.
理由:同位角相等,两直线平行.
选②.因为BA平分∠EBM,DC平分∠FDM,所以∠EBM=2∠1,∠FDM=2∠2. 因为∠1 = ∠2,所以∠EBM = ∠FDM,所以BE//DF.
理由:同位角相等,两直线平行.
选③.因为BE平分∠ABN,DF平分∠CDN,所以∠EBN=1/2∠ABN,∠FDN=1/2∠CDN.因为∠1 = ∠2,所以180°-∠1=180°-∠2,即∠ABN = ∠CDN,所以∠EBN = ∠FDN,所以BE//DF.
理由:同位角相等,两直线平行.
因为∠1 = ∠2,所以∠1 + ∠ABE = ∠2 + ∠CDF,即∠EBM = ∠FDM.
所以BE//DF.
理由:同位角相等,两直线平行.
选②.因为BA平分∠EBM,DC平分∠FDM,所以∠EBM=2∠1,∠FDM=2∠2. 因为∠1 = ∠2,所以∠EBM = ∠FDM,所以BE//DF.
理由:同位角相等,两直线平行.
选③.因为BE平分∠ABN,DF平分∠CDN,所以∠EBN=1/2∠ABN,∠FDN=1/2∠CDN.因为∠1 = ∠2,所以180°-∠1=180°-∠2,即∠ABN = ∠CDN,所以∠EBN = ∠FDN,所以BE//DF.
理由:同位角相等,两直线平行.
12. 在同一平面内有100条互不重合的直线，若$a_1 ⊥ a_2$，$a_2 ⊥ a_3$，$a_3 ⊥ a_4$，$a_4 ⊥ a_5$，…，$a_{99} ⊥ a_{100}$，则下列结论正确的是（
A.$a_1 // a_{100}$
B.$a_2 ⊥ a_{98}$
C.$a_1 // a_{99}$
D.$a_{49} // a_{50}$
C
）A.$a_1 // a_{100}$
B.$a_2 ⊥ a_{98}$
C.$a_1 // a_{99}$
D.$a_{49} // a_{50}$
答案
12. C 解析:可以画图寻找规律,a₁⊥a₂,a₂⊥a₃,a₃⊥a₄,a₄⊥a₅,…,a₉₉⊥a₁₀₀,
如图所示(只画出前4条直线).因为∠1=∠2=90°,所以a₁//a₃.又因为∠2=∠3=90°,所以a₂//a₄.以此类推可得a₁//a₃//a₅//…//a₉₉,a₂//a₄//a₆//…//a₁₀₀,所以a₁⊥a₁₀₀,故A错误;a₂//a₉₈,故B错误;a₁//a₉₉,故C正确;a₄₉⊥a₅₀,故D错误.故选C.13. 如图①,直线EF上有两点A,C,分别引两条射线AB,CD. ∠BAF=110°,CD与AB在直线EF异侧.
(1)若∠DCF=70°,试判断射线AB与CD的位置关系,并说明理由.
(2)如图②,若∠DCF=60°,射线AB,CD分别绕点A,点C以1°/s和6°/s的速度同时顺时针转动,设时间为t s,在射线CD转动一周的时间内,当时间t的值为
(1)若∠DCF=70°,试判断射线AB与CD的位置关系,并说明理由.
(2)如图②,若∠DCF=60°,射线AB,CD分别绕点A,点C以1°/s和6°/s的速度同时顺时针转动,设时间为t s,在射线CD转动一周的时间内,当时间t的值为
2或38
时,CD与AB平行.答案
13. (1)AB//CD.理由如下:如图①,延长BA至点G,因为∠DCF=70°,所以∠ACD=180°-∠DCF=180°-70°=110°.因为∠BAF = 110°,所以∠EAG = ∠BAF = 110°,所以∠EAG=∠ACD,所以AB//CD.
(2)2或38 解析:
分三种情况:①如图②,AB与CD在EF的两侧时,因为∠BAF=110°,∠DCF=60°,所以∠ACD = 180°-60°-6t°=(120-6t)°,∠BAC=∠EAG=110°-t°.要使AB//CD,则∠ACD = ∠EAG,即(120-6t)°=110°-t°,解得t=2.经检验,t=2符合题意.②如图③,CD旋转到与AB都在EF的右侧,即在CD₁处时,由题意得∠D₁CF = 360°-6t°-60°=(300-6t)°,∠B₁AC = 110°-t°.要使AB₁//CD₁,则∠D₁CF = ∠B₁AC,即(300-6t)°=110°-t°,解得t=38.经检验,t=38符合题意.③如图④,CD旋转到与AB都在EF的左侧,即在CD₂处时,此时t＞110,则6°×110 = 660°＞360°,CD转动超过一周,所以此情况不存在.综上,满足条件的时间t的值为2或38.