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9. 按某种标准把多项式进行分类时，$3x^3 -4$和$a^2b +ab^2 +1$属于同一类，则下列也属于此类的多项式是（
A.$abc -1$
B.$x^2 -2$
C.$3x^2 +2xy^4$
D.$m^2 +2mn +n^2$
A
）A.$abc -1$
B.$x^2 -2$
C.$3x^2 +2xy^4$
D.$m^2 +2mn +n^2$
答案
9. A 解析:$3x^3-4$ 和 $a^2b+ab^2+1$ 的项数不同,次数均为 3,$abc-1$次数与两者相同,故选 A.
10. 新趋势 开放性试题 请写出一个只含有字母a的二次多项式，且无论a取何值时该二次多项式的值都大于2026，则这个二次多项式可以为
$a^2+2027$(答案不唯一)
.答案
10. $a^2+2027$(答案不唯一) 解析:$a^2$ 为非负数,则 $a^2+2027$ 必定大于 2026,满足题意.
11.若一个整式具备以下三个条件:(1)它是一个关于字母x的二次三项式;(2)各项系数的和等于10;(3)它的二次项系数和常数项都比-2小1,则满足这些条件的整式为
$-3x^2+16x-3$
.答案
11. $-3x^2+16x-3$ 解析:由二次项系数和常数项都比-2小1,可得二次项系数是-3,常数项是-3,由各项系数的和等于10可得一次项系数为 16.则满足条件的整式为 $-3x^2+16x-3$.
12. (1)(绵阳中考)若多项式$xy^{|m-n|}+(n-2)· x^2y^2 +1$是关于$x,y$的三次多项式，则$mn=$
(2)已知多项式$-x^2y^{2m+1}+xy-6x^3-1$是五次四项式，且单项式$π x^n y^{4m-3}$与多项式的次数相同，则$m=$
8或0
.(2)已知多项式$-x^2y^{2m+1}+xy-6x^3-1$是五次四项式，且单项式$π x^n y^{4m-3}$与多项式的次数相同，则$m=$
1
,$n=$4
.答案
12. (1)8 或 0 解析:因为多项式 $xy^{|m-n|}+(n-2)x^2y^2+1$ 是关于 $x,y$ 的三次多项式,所以 $n-2=0$,$1+|m-n|=3$,所以 $n=2$,$|m-n|=2$,所以 $m-n=2$ 或 $n-m=2$,所以 $m=4$ 或 $m=0$,所以 $mn=8$ 或 0.
(2)1 4 解析:因为多项式 $-x^2y^{2m+1}+xy-6x^3-1$ 是五次四项式,所以 $2+2m+1=5$,解得 $m=1$.又单项式 $π x^n y^{4m-3}$ 与该多项式的次数相同,所以 $n+4m-3=5$,即 $n+4-3=5$,解得 $n=4$.
(2)1 4 解析:因为多项式 $-x^2y^{2m+1}+xy-6x^3-1$ 是五次四项式,所以 $2+2m+1=5$,解得 $m=1$.又单项式 $π x^n y^{4m-3}$ 与该多项式的次数相同,所以 $n+4m-3=5$,即 $n+4-3=5$,解得 $n=4$.
13. 已知关于$x$的整式$(|k|-3)x^3+(k-3)x^2 -k$.
(1)若此整式是单项式,求$k$的值;
(2)若此整式是二次多项式,求$k$的值;
(3)若此整式是二项式,求$k$的值.
(1)若此整式是单项式,求$k$的值;
(2)若此整式是二次多项式,求$k$的值;
(3)若此整式是二项式,求$k$的值.
答案
13. (1)若原式是单项式,则$|k|-3=0$,且$k-3=0$,得$k=3$.
(2)若原式是二次多项式,则$|k|-3=0$,且$k-3\ne0$,得$k=-3$.
(3)三项系数分别为$|k|-3$,$k-3$和$-k$,若其中一个系数为0,另外两个系数不为0,则此整式是二项式,当$|k|-3=0$,其他两个系数不为0时,得$k=-3$;当$k-3=0$,其他两个系数不为0时,没有满足题意的值;当$-k=0$,其他两个系数不为0时,得$k=0$,所以$k=0$或$-3$.
(2)若原式是二次多项式,则$|k|-3=0$,且$k-3\ne0$,得$k=-3$.
(3)三项系数分别为$|k|-3$,$k-3$和$-k$,若其中一个系数为0,另外两个系数不为0,则此整式是二项式,当$|k|-3=0$,其他两个系数不为0时,得$k=-3$;当$k-3=0$,其他两个系数不为0时,没有满足题意的值;当$-k=0$,其他两个系数不为0时,得$k=0$,所以$k=0$或$-3$.
14. 观察下列单项式：$-x, 3x^2, -5x^3, 7x^4, \dots, -37x^{19}, 39x^{20}, \dots$,写出第$n$个单项式,为了解这个问题,提供下面的解题思路.
(1)这组单项式的系数依次为多少？它们系数绝对值的规律是什么？
(2)这组单项式的次数的规律是什么？
(3)根据上面的归纳,猜想出第$n$个单项式,用含$n$的代数式表示.
(4)请你根据猜想,写出第2025个与第2026个单项式.
(1)这组单项式的系数依次为多少？它们系数绝对值的规律是什么？
(2)这组单项式的次数的规律是什么？
(3)根据上面的归纳,猜想出第$n$个单项式,用含$n$的代数式表示.
(4)请你根据猜想,写出第2025个与第2026个单项式.
答案
14. (1)这组单项式的系数依次为-1,3,-5,7,…,系数为奇数且奇数项的系数为负数,偶数项的系数为正数,故单项式的系数的符号可以是$(-1)^n$,第$n$个单项式的系数的绝对值为$2n-1$.
(2)这组单项式的次数的规律是从1开始的连续自然数.
(3)第$n$个单项式是$(-1)^n·(2n-1)x^n$.
(4)第2025个单项式是$(-1)^{2025}·(2×2025-1)x^{2025}=-4049x^{2025}$.第2026个单项式是$(-1)^{2026}·(2×2026-1)x^{2026}=4051x^{2026}$.
(2)这组单项式的次数的规律是从1开始的连续自然数.
(3)第$n$个单项式是$(-1)^n·(2n-1)x^n$.
(4)第2025个单项式是$(-1)^{2025}·(2×2025-1)x^{2025}=-4049x^{2025}$.第2026个单项式是$(-1)^{2026}·(2×2026-1)x^{2026}=4051x^{2026}$.
15. 已知 $ m, n $ 是自然数，$ a, b, c $ 均不为 0，若 $ a^{m-3}b^2c - \frac{1}{7}a^2b^{n-3}c^4 + \frac{1}{12}a^{m+1}b^{n-1}c $ 是八次三项式，求 $ m, n $ 的值.
答案
15. 依题意,可得 $a^{m-3}b^2c$ 的次数为 $m-3+2+1=m$,$-\dfrac{1}{7}a^2b^{n-3}c^4$ 的次数为 $2+n-3+4=n+3$,$\dfrac{1}{12}a^{m+1}b^{n-1}c$ 的次数为 $m+1+n-1+1=m+n+1$.由题意,得 $m,n$ 均为大于或等于 3 的数,且 $m,n$ 为自然数,所以 $m+n+1＞m$,$m+n+1＞n+3$.因为 $a^{m-3}b^2c-\dfrac{1}{7}a^2b^{n-3}c^4+\dfrac{1}{12}a^{m+1}b^{n-1}c$ 是八次三项式,所以 $m+n+1=8$,所以 $m=3,n=4$ 或 $m=4,n=3$.
