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12. 如图，并列摆放的两正方形的边长分别为$m,n$，且$m-n=2$，$mn=7$，则图中阴影部分的面积为
$\dfrac{11}{2}$
。答案
12.$\dfrac{11}{2}$
解析
【分析】
要求阴影部分的面积，可采用割补法，先计算两个正方形的总面积，再减去两个空白直角三角形的面积，得到阴影面积的代数式；再利用完全平方公式对代数式变形，结合已知的$m-n$和$mn$的值，整体代入计算即可得到结果，不需要单独求出$m$、$n$的具体数值。
【解析】
1. 计算两个正方形的总面积：
$S_{\mathrm{总}} = m^2 + n^2$
2. 计算两个空白三角形的面积：
大空白直角三角形的底为$m+n$，高为$m$，面积$S_1=\frac{1}{2}m(m+n)$
小空白直角三角形的底和高均为$n$，面积$S_2=\frac{1}{2}n^2$
3. 阴影部分面积为总面积减去两个空白面积：
$\begin{aligned}S_{\mathrm{阴}}&=S_{\mathrm{总}} - S_1 - S_2\\&=m^2 + n^2 - \frac{1}{2}m(m+n) - \frac{1}{2}n^2\\&=m^2 + n^2 - \frac{1}{2}m^2 - \frac{1}{2}mn - \frac{1}{2}n^2\\&=\frac{1}{2}m^2 + \frac{1}{2}n^2 - \frac{1}{2}mn\\&=\frac{1}{2}(m^2 + n^2 - mn)\end{aligned}$
4. 利用完全平方公式变形：$m^2 + n^2=(m-n)^2 + 2mn$，代入已知$m-n=2$，$mn=7$：
$m^2 + n^2=2^2 + 2×7=4+14=18$
5. 代入阴影面积公式计算：
$S_{\mathrm{阴}}=\frac{1}{2}×(18 -7)=\frac{11}{2}$
【答案】
$\dfrac{11}{2}$
【知识点】
面积割补计算，完全平方公式，整式化简求值
【点评】
本题是几何面积与整式运算结合的典型题型，核心是通过割补法得到阴影面积的表达式，再利用整体代入的思想求值，避免了求解$m$、$n$的具体数值，降低了计算量。
【难度系数】
0.6
要求阴影部分的面积，可采用割补法，先计算两个正方形的总面积，再减去两个空白直角三角形的面积，得到阴影面积的代数式；再利用完全平方公式对代数式变形，结合已知的$m-n$和$mn$的值，整体代入计算即可得到结果，不需要单独求出$m$、$n$的具体数值。
【解析】
1. 计算两个正方形的总面积：
$S_{\mathrm{总}} = m^2 + n^2$
2. 计算两个空白三角形的面积：
大空白直角三角形的底为$m+n$，高为$m$，面积$S_1=\frac{1}{2}m(m+n)$
小空白直角三角形的底和高均为$n$，面积$S_2=\frac{1}{2}n^2$
3. 阴影部分面积为总面积减去两个空白面积：
$\begin{aligned}S_{\mathrm{阴}}&=S_{\mathrm{总}} - S_1 - S_2\\&=m^2 + n^2 - \frac{1}{2}m(m+n) - \frac{1}{2}n^2\\&=m^2 + n^2 - \frac{1}{2}m^2 - \frac{1}{2}mn - \frac{1}{2}n^2\\&=\frac{1}{2}m^2 + \frac{1}{2}n^2 - \frac{1}{2}mn\\&=\frac{1}{2}(m^2 + n^2 - mn)\end{aligned}$
4. 利用完全平方公式变形：$m^2 + n^2=(m-n)^2 + 2mn$，代入已知$m-n=2$，$mn=7$：
$m^2 + n^2=2^2 + 2×7=4+14=18$
5. 代入阴影面积公式计算：
$S_{\mathrm{阴}}=\frac{1}{2}×(18 -7)=\frac{11}{2}$
【答案】
$\dfrac{11}{2}$
【知识点】
面积割补计算，完全平方公式，整式化简求值
【点评】
本题是几何面积与整式运算结合的典型题型，核心是通过割补法得到阴影面积的表达式，再利用整体代入的思想求值，避免了求解$m$、$n$的具体数值，降低了计算量。
【难度系数】
0.6
三、解答题
13.计算：
(1)$2016^2 - 2018 × 2014$；
(2)$(2x^2 y)^3 · (-7xy^2) ÷ 14x^4 y^3$；
(3)$(x + 2y - 1)(x - 2y - 1)$；
(4)$(x + 1)(x + 3) - (x - 2)^2$。
13.计算：
(1)$2016^2 - 2018 × 2014$；
(2)$(2x^2 y)^3 · (-7xy^2) ÷ 14x^4 y^3$；
(3)$(x + 2y - 1)(x - 2y - 1)$；
(4)$(x + 1)(x + 3) - (x - 2)^2$。
答案
13.(1)4
(2)$-4x^3y^2$
(3)$x^2 - 2x + 1 - 4y^2$
(4)$8x - 1$
(2)$-4x^3y^2$
(3)$x^2 - 2x + 1 - 4y^2$
(4)$8x - 1$
解析
【分析】
(1) 观察算式发现2018可写成2016+2，2014可写成2016-2，符合平方差公式的形式，利用平方差公式计算可避免大数运算，简化步骤。
(2) 属于整式乘除混合运算，先按照积的乘方法则计算乘方，再按从左到右的顺序，结合同底数幂的乘、除运算法则计算系数和对应字母的指数即可。
(3) 两个多项式相乘，将相同部分(x-1)看作整体，相反的2y和-2y看作另一部分，可直接套用平方差公式计算，再展开完全平方得到结果。
(4) 先分别按多项式乘多项式法则、完全平方公式展开两个因式，再去括号合并同类项即可。
【解析】
(1) 解：
$\begin{aligned}原式&=2016^2 - (2016+2)(2016-2)\\&=2016^2 - (2016^2 - 2^2)\\&=2016^2 - 2016^2 + 4\\&=4\end{aligned}$
(2) 解：
$\begin{aligned}原式&=8x^6y^3 · (-7xy^2) ÷ 14x^4y^3\\&=[8×(-7)÷14]x^{6+1-4}y^{3+2-3}\\&=-4x^3y^2\end{aligned}$
(3) 解：
$\begin{aligned}原式&=[(x-1)+2y][(x-1)-2y]\\&=(x-1)^2 - (2y)^2\\&=x^2 - 2x + 1 - 4y^2\end{aligned}$
(4) 解：
$\begin{aligned}原式&=(x^2 + 3x + x + 3) - (x^2 - 4x + 4)\\&=x^2 + 4x + 3 - x^2 + 4x - 4\\&=8x -1\end{aligned}$
【答案】
(1)$4$；(2)$-4x^3y^2$；(3)$x^2 - 2x + 1 - 4y^2$；(4)$8x - 1$
【知识点】
平方差公式，完全平方公式，整式乘除运算
【点评】
本题考查整式运算相关法则和乘法公式的灵活应用，解题时可先观察式子特征，合理运用整体思想简化计算，运算过程中要注意符号判断，合并同类项时不要漏项。
【难度系数】
0.7
(1) 观察算式发现2018可写成2016+2，2014可写成2016-2，符合平方差公式的形式，利用平方差公式计算可避免大数运算，简化步骤。
(2) 属于整式乘除混合运算，先按照积的乘方法则计算乘方，再按从左到右的顺序，结合同底数幂的乘、除运算法则计算系数和对应字母的指数即可。
(3) 两个多项式相乘，将相同部分(x-1)看作整体，相反的2y和-2y看作另一部分，可直接套用平方差公式计算，再展开完全平方得到结果。
(4) 先分别按多项式乘多项式法则、完全平方公式展开两个因式，再去括号合并同类项即可。
【解析】
(1) 解：
$\begin{aligned}原式&=2016^2 - (2016+2)(2016-2)\\&=2016^2 - (2016^2 - 2^2)\\&=2016^2 - 2016^2 + 4\\&=4\end{aligned}$
(2) 解：
$\begin{aligned}原式&=8x^6y^3 · (-7xy^2) ÷ 14x^4y^3\\&=[8×(-7)÷14]x^{6+1-4}y^{3+2-3}\\&=-4x^3y^2\end{aligned}$
(3) 解：
$\begin{aligned}原式&=[(x-1)+2y][(x-1)-2y]\\&=(x-1)^2 - (2y)^2\\&=x^2 - 2x + 1 - 4y^2\end{aligned}$
(4) 解：
$\begin{aligned}原式&=(x^2 + 3x + x + 3) - (x^2 - 4x + 4)\\&=x^2 + 4x + 3 - x^2 + 4x - 4\\&=8x -1\end{aligned}$
【答案】
(1)$4$；(2)$-4x^3y^2$；(3)$x^2 - 2x + 1 - 4y^2$；(4)$8x - 1$
【知识点】
平方差公式，完全平方公式，整式乘除运算
【点评】
本题考查整式运算相关法则和乘法公式的灵活应用，解题时可先观察式子特征，合理运用整体思想简化计算，运算过程中要注意符号判断，合并同类项时不要漏项。
【难度系数】
0.7
14. 先化简,再求值.
(1)$(x+2)^2 - (x+1)(x-1)$,其中$x=1.5$;
好学生暑假生活 七年级数学 BS
(2)$[(x+2y)^2 - (x+y)(3x - y) -5y^2]÷2x$,其中$x=-2,y=\frac{1}{2}$.
(1)$(x+2)^2 - (x+1)(x-1)$,其中$x=1.5$;
好学生暑假生活 七年级数学 BS
(2)$[(x+2y)^2 - (x+y)(3x - y) -5y^2]÷2x$,其中$x=-2,y=\frac{1}{2}$.
答案
14.(1)$4x + 5\quad11$
(2)$-x + y\quad\dfrac{5}{2}$
(2)$-x + y\quad\dfrac{5}{2}$
解析
【分析】
解决化简求值类问题的核心思路是“先化简，后代入”，避免直接代入数值计算导致运算复杂、出错率高。（1）小题先分别用完全平方公式展开平方项、平方差公式计算多项式乘多项式，再去括号合并同类项得到最简结果，最后代入x的值计算即可；（2）小题先按运算顺序计算中括号内的部分：先用完全平方公式、多项式乘多项式法则展开对应项，再去括号合并同类项，然后按照多项式除以单项式的法则计算得到最简结果，最后代入x、y的值计算即可。
【解析】
(1) 计算原式：
根据公式展开得：
$(x+2)^2 = x^2 + 4x + 4$，$(x+1)(x-1)=x^2 - 1$
代入原式化简：
$\begin{aligned}原式&=(x^2 + 4x + 4) - (x^2 - 1)\\&=x^2 + 4x + 4 - x^2 + 1\\&=4x + 5\end{aligned}$
将$x=1.5$代入化简结果：
$4×1.5 + 5 = 6 + 5 = 11$
(2) 计算原式：
先展开中括号内的各项：
$(x+2y)^2 = x^2 + 4xy + 4y^2$
$(x+y)(3x-y) = 3x^2 - xy + 3xy - y^2 = 3x^2 + 2xy - y^2$
代入中括号内化简：
$\begin{aligned}中括号内的式子&=(x^2 + 4xy + 4y^2) - (3x^2 + 2xy - y^2) - 5y^2\\&=x^2 + 4xy + 4y^2 - 3x^2 - 2xy + y^2 - 5y^2\\&=-2x^2 + 2xy\end{aligned}$
再进行除法运算：
$\begin{aligned}原式&=(-2x^2 + 2xy) ÷ 2x\\&=-2x^2÷2x + 2xy÷2x\\&=-x + y\end{aligned}$
将$x=-2$，$y=\frac{1}{2}$代入化简结果：
$-(-2) + \frac{1}{2} = 2 + \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$
【答案】
(1) 化简结果为$4x+5$，值为$11$；
(2) 化简结果为$-x+y$，值为$\dfrac{5}{2}$
【知识点】
完全平方公式，平方差公式，整式化简求值
【点评】
本题属于整式运算的常规基础题型，解题的关键是熟练掌握整式乘法的各类公式和运算法则，注意去括号时的符号变化，先化简再代入的运算思路能大幅提升计算效率和准确率。
【难度系数】
0.8
解决化简求值类问题的核心思路是“先化简，后代入”，避免直接代入数值计算导致运算复杂、出错率高。（1）小题先分别用完全平方公式展开平方项、平方差公式计算多项式乘多项式，再去括号合并同类项得到最简结果，最后代入x的值计算即可；（2）小题先按运算顺序计算中括号内的部分：先用完全平方公式、多项式乘多项式法则展开对应项，再去括号合并同类项，然后按照多项式除以单项式的法则计算得到最简结果，最后代入x、y的值计算即可。
【解析】
(1) 计算原式：
根据公式展开得：
$(x+2)^2 = x^2 + 4x + 4$，$(x+1)(x-1)=x^2 - 1$
代入原式化简：
$\begin{aligned}原式&=(x^2 + 4x + 4) - (x^2 - 1)\\&=x^2 + 4x + 4 - x^2 + 1\\&=4x + 5\end{aligned}$
将$x=1.5$代入化简结果：
$4×1.5 + 5 = 6 + 5 = 11$
(2) 计算原式：
先展开中括号内的各项：
$(x+2y)^2 = x^2 + 4xy + 4y^2$
$(x+y)(3x-y) = 3x^2 - xy + 3xy - y^2 = 3x^2 + 2xy - y^2$
代入中括号内化简：
$\begin{aligned}中括号内的式子&=(x^2 + 4xy + 4y^2) - (3x^2 + 2xy - y^2) - 5y^2\\&=x^2 + 4xy + 4y^2 - 3x^2 - 2xy + y^2 - 5y^2\\&=-2x^2 + 2xy\end{aligned}$
再进行除法运算：
$\begin{aligned}原式&=(-2x^2 + 2xy) ÷ 2x\\&=-2x^2÷2x + 2xy÷2x\\&=-x + y\end{aligned}$
将$x=-2$，$y=\frac{1}{2}$代入化简结果：
$-(-2) + \frac{1}{2} = 2 + \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$
【答案】
(1) 化简结果为$4x+5$，值为$11$；
(2) 化简结果为$-x+y$，值为$\dfrac{5}{2}$
【知识点】
完全平方公式，平方差公式，整式化简求值
【点评】
本题属于整式运算的常规基础题型，解题的关键是熟练掌握整式乘法的各类公式和运算法则，注意去括号时的符号变化，先化简再代入的运算思路能大幅提升计算效率和准确率。
【难度系数】
0.8
