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8.如图,直线a与直线b被直线c所截,$b ⊥ c$,垂足为点A,$∠ 1 = 70°$.若使直线b与直线a平行,则可将直线b绕着点A顺时针旋转 (
A.$70°$
B.$50°$
C.$30°$
D.$20°$
D
)A.$70°$
B.$50°$
C.$30°$
D.$20°$
答案
8.D
解析
【分析】
解题时先明确直线平行的判定条件：同位角相等，两直线平行。首先根据已知$b⊥c$，可得当前直线b与c的夹角为$90°$，要使$b// a$，需让直线b与c的夹角和$∠ 1$是同位角且相等，即等于$70°$，最后用原来的$90°$减去$70°$就能得到需要顺时针旋转的角度。
【解析】
已知$b⊥c$，根据垂直的定义，直线b与直线c的夹角为$90°$。
根据“同位角相等，两直线平行”，当直线b与直线c的夹角等于$∠ 1=70°$时，直线$b// a$。
因此直线b绕点A顺时针旋转的角度为：$90° - 70° = 20°$。
【答案】
D
【知识点】
垂直的定义、平行线的判定、旋转角度计算
【点评】
本题是相交线与平行线的基础应用题，解题的核心是掌握平行线的判定定理，结合旋转前后角度的变化关系计算即可，解题时注意区分旋转方向。
【难度系数】
0.8
解题时先明确直线平行的判定条件：同位角相等，两直线平行。首先根据已知$b⊥c$，可得当前直线b与c的夹角为$90°$，要使$b// a$，需让直线b与c的夹角和$∠ 1$是同位角且相等，即等于$70°$，最后用原来的$90°$减去$70°$就能得到需要顺时针旋转的角度。
【解析】
已知$b⊥c$，根据垂直的定义，直线b与直线c的夹角为$90°$。
根据“同位角相等，两直线平行”，当直线b与直线c的夹角等于$∠ 1=70°$时，直线$b// a$。
因此直线b绕点A顺时针旋转的角度为：$90° - 70° = 20°$。
【答案】
D
【知识点】
垂直的定义、平行线的判定、旋转角度计算
【点评】
本题是相交线与平行线的基础应用题，解题的核心是掌握平行线的判定定理，结合旋转前后角度的变化关系计算即可，解题时注意区分旋转方向。
【难度系数】
0.8
二、填空题
9. 如图所示，直线a,b被直线c所截，若a//b，∠1=60°，则∠2的度数为
9. 如图所示，直线a,b被直线c所截，若a//b，∠1=60°，则∠2的度数为
60°
。 答案
9.60°
解析
【分析】
解题时先梳理已知条件：直线a、b平行，被直线c所截，∠1为60°，目标是求∠2的度数。首先回忆平行线的性质：两直线平行，同位角相等、内错角相等。再观察角的位置关系，可先通过平行线的性质得到与∠1相等的角，再结合对顶角相等的性质，推导得出∠2和∠1的等量关系，代入度数即可求出结果。
【解析】
解：
∵a//b（已知），
∴∠1与∠2的对顶角相等（两直线平行，同位角相等），
又
∵对顶角相等，
∴∠2=∠1=60°。
【答案】
60°
【知识点】
平行线的性质；对顶角的性质
【点评】
本题是相交线与平行线模块的基础常考题，解题核心是准确识别平行线被截线所形成的角的位置关系，熟练掌握平行线的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.9
解题时先梳理已知条件：直线a、b平行，被直线c所截，∠1为60°，目标是求∠2的度数。首先回忆平行线的性质：两直线平行，同位角相等、内错角相等。再观察角的位置关系，可先通过平行线的性质得到与∠1相等的角，再结合对顶角相等的性质，推导得出∠2和∠1的等量关系，代入度数即可求出结果。
【解析】
解：
∵a//b（已知），
∴∠1与∠2的对顶角相等（两直线平行，同位角相等），
又
∵对顶角相等，
∴∠2=∠1=60°。
【答案】
60°
【知识点】
平行线的性质；对顶角的性质
【点评】
本题是相交线与平行线模块的基础常考题，解题核心是准确识别平行线被截线所形成的角的位置关系，熟练掌握平行线的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.9
10.如图所示，∠1=∠2，∠A=60°，则∠ADC=
120°
。答案
10.120°
解析
【分析】
解题时首先观察已知角∠1和∠2的位置关系，二者是直线AB、CD被直线BD所截形成的内错角，结合∠1=∠2，可根据平行线的判定定理推出AB//CD；再观察∠A和∠ADC的位置关系，二者是AB、CD被直线AD所截形成的同旁内角，根据平行线的性质可知二者互补，结合已知∠A的度数即可求出∠ADC的度数。
【解析】
解：
∵∠1=∠2（已知）
∴AB//CD（内错角相等，两直线平行）
∴∠A + ∠ADC = 180°（两直线平行，同旁内角互补）
又
∵∠A=60°（已知）
∴∠ADC = 180° - 60° = 120°
【答案】
120°
【知识点】
平行线的判定；平行线的性质
【点评】
本题是角度计算的基础题型，解题的关键是准确识别内错角、同旁内角，灵活运用平行线的判定和性质完成角度关系的转化，计算难度较低。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察已知角∠1和∠2的位置关系，二者是直线AB、CD被直线BD所截形成的内错角，结合∠1=∠2，可根据平行线的判定定理推出AB//CD；再观察∠A和∠ADC的位置关系，二者是AB、CD被直线AD所截形成的同旁内角，根据平行线的性质可知二者互补，结合已知∠A的度数即可求出∠ADC的度数。
【解析】
解：
∵∠1=∠2（已知）
∴AB//CD（内错角相等，两直线平行）
∴∠A + ∠ADC = 180°（两直线平行，同旁内角互补）
又
∵∠A=60°（已知）
∴∠ADC = 180° - 60° = 120°
【答案】
120°
【知识点】
平行线的判定；平行线的性质
【点评】
本题是角度计算的基础题型，解题的关键是准确识别内错角、同旁内角，灵活运用平行线的判定和性质完成角度关系的转化，计算难度较低。
【难度系数】
0.8
11. 如图所示，直线$a // b$，点B在直线b上，且$AB ⊥ BC$，$∠ 1 = 55°$，那么$∠ 2$的度数是
35°
。答案
11.35°
解析
【分析】
本题可按以下思路求解：第一步，根据AB⊥BC的垂直关系，得出直角∠ABC=90°；第二步，利用平角为180°的性质，计算出直线BC与直线b形成的锐角的度数，该角和∠2是同位角；第三步，结合两直线平行同位角相等的平行线性质，即可求出∠2的度数。
【解析】
解：
∵ $AB ⊥ BC$，
∴ $∠ ABC = 90°$（垂直的定义）。
∵ 直线$b$上点B处的角为平角，度数为$180°$，
∴ $∠ 1 + ∠ ABC + $（直线$BC$与直线$b$的夹角）$=180°$，该夹角与$∠2$是同位角。
将$∠1=55°$、$∠ ABC=90°$代入得：
该夹角的度数为$180° - 55° - 90° = 35°$。
又
∵ $a // b$，
∴ $∠2 = $该夹角$= 35°$（两直线平行，同位角相等）。
【答案】
$35°$
【知识点】
垂直的定义，平角的性质，平行线的性质
【点评】
本题属于相交线与平行线模块的基础题型，考查学生对基础几何性质的综合运用能力，解题的关键是找到待求角和已知角之间的等量关系，熟练掌握相关性质即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
本题可按以下思路求解：第一步，根据AB⊥BC的垂直关系，得出直角∠ABC=90°；第二步，利用平角为180°的性质，计算出直线BC与直线b形成的锐角的度数，该角和∠2是同位角；第三步，结合两直线平行同位角相等的平行线性质，即可求出∠2的度数。
【解析】
解：
∵ $AB ⊥ BC$，
∴ $∠ ABC = 90°$（垂直的定义）。
∵ 直线$b$上点B处的角为平角，度数为$180°$，
∴ $∠ 1 + ∠ ABC + $（直线$BC$与直线$b$的夹角）$=180°$，该夹角与$∠2$是同位角。
将$∠1=55°$、$∠ ABC=90°$代入得：
该夹角的度数为$180° - 55° - 90° = 35°$。
又
∵ $a // b$，
∴ $∠2 = $该夹角$= 35°$（两直线平行，同位角相等）。
【答案】
$35°$
【知识点】
垂直的定义，平角的性质，平行线的性质
【点评】
本题属于相交线与平行线模块的基础题型，考查学生对基础几何性质的综合运用能力，解题的关键是找到待求角和已知角之间的等量关系，熟练掌握相关性质即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
12.如图所示，BD平分∠ABC，点E在BC上，EF//AB.若∠CEF=100°，则∠ABD的度数为
50°
.答案
12.50°
解析
【分析】
解题时先从已知的平行关系入手，根据平行线的同位角相等性质求出∠ABC的度数，再结合角平分线的定义，即可求出∠ABD的度数。第一步：由EF//AB，找到与∠CEF相等的同位角∠ABC，得到∠ABC的大小；第二步：利用BD平分∠ABC，可知∠ABD是∠ABC的一半，代入数值计算即可。
【解析】
解：
∵EF//AB，∠CEF=100°，
根据“两直线平行，同位角相等”，可得：
∠ABC=∠CEF=100°，
又
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=$\frac{1}{2}$∠ABC=$\frac{1}{2}$×100°=50°。
【答案】
50°
【知识点】
平行线的性质；角平分线的定义
【点评】
本题是基础的几何综合计算题，将平行线性质和角平分线定义结合考查，掌握基础性质是解题的关键。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知的平行关系入手，根据平行线的同位角相等性质求出∠ABC的度数，再结合角平分线的定义，即可求出∠ABD的度数。第一步：由EF//AB，找到与∠CEF相等的同位角∠ABC，得到∠ABC的大小；第二步：利用BD平分∠ABC，可知∠ABD是∠ABC的一半，代入数值计算即可。
【解析】
解：
∵EF//AB，∠CEF=100°，
根据“两直线平行，同位角相等”，可得：
∠ABC=∠CEF=100°，
又
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=$\frac{1}{2}$∠ABC=$\frac{1}{2}$×100°=50°。
【答案】
50°
【知识点】
平行线的性质；角平分线的定义
【点评】
本题是基础的几何综合计算题，将平行线性质和角平分线定义结合考查，掌握基础性质是解题的关键。
【难度系数】
0.8
三、解答题
13.如图,点D在三角形ABC的边AB上.(友情提示:尺规作图要用圆规,并保留痕迹,作完图要写完整结论)
(1)尺规作图:①过点D作$DE// BC$,交AC于点E;
②在BC上取一点F,使$BF = DE$.
(2)在(1)的条件下,连接EF,若$∠DEF = ∠B$,请说明$EF// AB$.
13.如图,点D在三角形ABC的边AB上.(友情提示:尺规作图要用圆规,并保留痕迹,作完图要写完整结论)
(1)尺规作图:①过点D作$DE// BC$,交AC于点E;
②在BC上取一点F,使$BF = DE$.
(2)在(1)的条件下,连接EF,若$∠DEF = ∠B$,请说明$EF// AB$.
答案
13.解:(1)①如图1所示,DE即为所求.
②如图2所示,点F即为所求.
(2)如图3.
由(1)作图可知,DE//BC,所以∠DEF = ∠EFC. 因为∠DEF = ∠B,所以∠B = ∠EFC,所以EF//AB.
②如图2所示,点F即为所求.
(2)如图3.
由(1)作图可知,DE//BC,所以∠DEF = ∠EFC. 因为∠DEF = ∠B,所以∠B = ∠EFC,所以EF//AB.
解析
【分析】
（1）尺规作图部分：①要过点D作DE//BC，依据“同位角相等，两直线平行”的原理，在点D处作一个与∠B相等的同位角，得到的直线就与BC平行，交AC于点E即可；②要得到BF=DE，只需利用圆规能截取等长线段的特点，量出DE的长度后，以B为圆心、DE长为半径画弧，与BC的交点就是所求的F。
（2）证明部分：要证EF//AB，需要找到能判定两直线平行的角的等量关系。首先利用已知DE//BC的性质得到相关角相等，再结合题目给出的∠DEF=∠B做等量代换，得到同位角相等后即可判定EF与AB平行。
【解析】
(1)①作图操作：
以点B为圆心任意长为半径画弧，交AB、BC于两点；再以D为圆心相同长度为半径画弧，交AB于一点，用圆规量取B处弧上两交点的距离，以D处弧的交点为圆心、该距离为半径画弧，两弧交点与D连接并延长，交AC于E，DE即为所求。
②作图操作：
用圆规量取DE的长度，以点B为圆心、DE长为半径画弧，与BC交于点F，点F即为所求。
(2)证明过程：
∵DE//BC（作图所得），
∴∠DEF=∠EFC（两直线平行，内错角相等）。
又
∵∠DEF=∠B（已知），
∴∠B=∠EFC（等量代换），
∴EF//AB（同位角相等，两直线平行）。
【答案】
(1)①按作图方法作出的DE即为所求；
②按作图方法作出的点F即为所求。
(2)由(1)作图可知，DE//BC，所以∠DEF = ∠EFC。因为∠DEF = ∠B，所以∠B = ∠EFC，所以EF//AB。
【知识点】
尺规作图，平行线的性质，平行线的判定
【点评】
本题结合了尺规作图基础操作和平行线的性质、判定，是相交线与平行线模块的基础题型，既考查了动手作图能力，也考查了简单的逻辑推理能力，掌握基础知识点即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
（1）尺规作图部分：①要过点D作DE//BC，依据“同位角相等，两直线平行”的原理，在点D处作一个与∠B相等的同位角，得到的直线就与BC平行，交AC于点E即可；②要得到BF=DE，只需利用圆规能截取等长线段的特点，量出DE的长度后，以B为圆心、DE长为半径画弧，与BC的交点就是所求的F。
（2）证明部分：要证EF//AB，需要找到能判定两直线平行的角的等量关系。首先利用已知DE//BC的性质得到相关角相等，再结合题目给出的∠DEF=∠B做等量代换，得到同位角相等后即可判定EF与AB平行。
【解析】
(1)①作图操作：
以点B为圆心任意长为半径画弧，交AB、BC于两点；再以D为圆心相同长度为半径画弧，交AB于一点，用圆规量取B处弧上两交点的距离，以D处弧的交点为圆心、该距离为半径画弧，两弧交点与D连接并延长，交AC于E，DE即为所求。
②作图操作：
用圆规量取DE的长度，以点B为圆心、DE长为半径画弧，与BC交于点F，点F即为所求。
(2)证明过程：
∵DE//BC（作图所得），
∴∠DEF=∠EFC（两直线平行，内错角相等）。
又
∵∠DEF=∠B（已知），
∴∠B=∠EFC（等量代换），
∴EF//AB（同位角相等，两直线平行）。
【答案】
(1)①按作图方法作出的DE即为所求；
②按作图方法作出的点F即为所求。
(2)由(1)作图可知，DE//BC，所以∠DEF = ∠EFC。因为∠DEF = ∠B，所以∠B = ∠EFC，所以EF//AB。
【知识点】
尺规作图，平行线的性质，平行线的判定
【点评】
本题结合了尺规作图基础操作和平行线的性质、判定，是相交线与平行线模块的基础题型，既考查了动手作图能力，也考查了简单的逻辑推理能力，掌握基础知识点即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
