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21. （10 分）先化简，再求值：
（1）$ (x - 2y)^{2} - (2y + x)(-2y + x) $，其中 $ x = 1 $，$ y = -\frac{1}{2} $；
（2）$ (m + 3n)^{2} - 2(m + 3n)(m - 3n) + (m - 3n)^{2} $，其中 $ m = 2024 $，$ n = 1 $。
（1）$ (x - 2y)^{2} - (2y + x)(-2y + x) $，其中 $ x = 1 $，$ y = -\frac{1}{2} $；
（2）$ (m + 3n)^{2} - 2(m + 3n)(m - 3n) + (m - 3n)^{2} $，其中 $ m = 2024 $，$ n = 1 $。
答案
21. 解：（1）$ (x - 2y)^{2} - (2y + x)(-2y + x) = x^{2} - 4xy + 4y^{2} - (x^{2} - 4y^{2}) = 8y^{2} - 4xy $。
将 $ x = 1 $，$ y = -\frac{1}{2} $ 代入，得
原式 $ = 8×(-\frac{1}{2})^{2} - 4× 1×(-\frac{1}{2}) = 4 $。
（2）$ (m + 3n)^{2} - 2(m + 3n)(m - 3n) + (m - 3n)^{2} = [(m + 3n) - (m - 3n)]^{2} = (6n)^{2} = 36n^{2} $。
将 $ m = 2024 $，$ n = 1 $ 代入，得
原式 $ = 36× 1^{2} = 36 $。
将 $ x = 1 $，$ y = -\frac{1}{2} $ 代入，得
原式 $ = 8×(-\frac{1}{2})^{2} - 4× 1×(-\frac{1}{2}) = 4 $。
（2）$ (m + 3n)^{2} - 2(m + 3n)(m - 3n) + (m - 3n)^{2} = [(m + 3n) - (m - 3n)]^{2} = (6n)^{2} = 36n^{2} $。
将 $ m = 2024 $，$ n = 1 $ 代入，得
原式 $ = 36× 1^{2} = 36 $。
解析
【分析】
这是典型的整式化简求值题目，核心解题思路是先利用乘法公式对原式做恒等变形化简，再代入给定数值计算，避免直接代入带来的复杂运算、降低出错概率。第(1)问中，$(x-2y)^2$符合完全平方公式结构，乘积项$(2y+x)(-2y+x)$调整顺序后符合平方差公式结构，分别展开后去括号合并同类项即可得到最简式，再代入x、y的数值计算。第(2)问整体完全符合完全平方差$a^2-2ab+b^2$的结构，把$(m+3n)$看作a、$(m-3n)$看作b，逆用完全平方公式直接合并，就能消去m项得到极简单的最简式，快速算出结果。
【解析】
(1) 利用乘法公式展开原式：
根据完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，得$(x-2y)^2=x^2-4xy+4y^2$；
根据平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，调整顺序得$(2y+x)(-2y+x)=(x+2y)(x-2y)=x^2-4y^2$。
代入原式去括号合并同类项：
$\begin{aligned}原式&=x^2 - 4xy + 4y^2 - (x^2 - 4y^2)\\&=x^2 -4xy +4y^2 -x^2 +4y^2\\&=8y^2 -4xy\end{aligned}$
将$x=1$，$y=-\frac{1}{2}$代入化简后的式子：
$\begin{aligned}原式&=8×(-\frac{1}{2})^2 -4×1×(-\frac{1}{2})\\&=8×\frac{1}{4} +2\\&=2+2\\&=4\end{aligned}$
(2) 逆用完全平方差公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，令$a=m+3n$，$b=m-3n$：
$\begin{aligned}原式&=[(m+3n)-(m-3n)]^2\\&=(m+3n -m +3n)^2\\&=(6n)^2\\&=36n^2\end{aligned}$
将$m=2024$，$n=1$代入化简后的式子：
$原式=36×1^2=36$
【答案】
(1) 化简结果为$8y^2-4xy$，最终值为4；(2) 化简结果为$36n^2$，最终值为36
【知识点】
完全平方公式，平方差公式，整式化简求值
【点评】
本题是整式运算的基础题型，重点考察乘法公式的识别与灵活运用，先化简再代入是这类题的核心解题原则，第(2)问逆用完全平方公式可以直接消去参数m，大幅降低运算量，避免了代入大数值2024的冗余计算，能有效提升解题准确率。
【难度系数】
0.7
这是典型的整式化简求值题目，核心解题思路是先利用乘法公式对原式做恒等变形化简，再代入给定数值计算，避免直接代入带来的复杂运算、降低出错概率。第(1)问中，$(x-2y)^2$符合完全平方公式结构，乘积项$(2y+x)(-2y+x)$调整顺序后符合平方差公式结构，分别展开后去括号合并同类项即可得到最简式，再代入x、y的数值计算。第(2)问整体完全符合完全平方差$a^2-2ab+b^2$的结构，把$(m+3n)$看作a、$(m-3n)$看作b，逆用完全平方公式直接合并，就能消去m项得到极简单的最简式，快速算出结果。
【解析】
(1) 利用乘法公式展开原式：
根据完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，得$(x-2y)^2=x^2-4xy+4y^2$；
根据平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，调整顺序得$(2y+x)(-2y+x)=(x+2y)(x-2y)=x^2-4y^2$。
代入原式去括号合并同类项：
$\begin{aligned}原式&=x^2 - 4xy + 4y^2 - (x^2 - 4y^2)\\&=x^2 -4xy +4y^2 -x^2 +4y^2\\&=8y^2 -4xy\end{aligned}$
将$x=1$，$y=-\frac{1}{2}$代入化简后的式子：
$\begin{aligned}原式&=8×(-\frac{1}{2})^2 -4×1×(-\frac{1}{2})\\&=8×\frac{1}{4} +2\\&=2+2\\&=4\end{aligned}$
(2) 逆用完全平方差公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，令$a=m+3n$，$b=m-3n$：
$\begin{aligned}原式&=[(m+3n)-(m-3n)]^2\\&=(m+3n -m +3n)^2\\&=(6n)^2\\&=36n^2\end{aligned}$
将$m=2024$，$n=1$代入化简后的式子：
$原式=36×1^2=36$
【答案】
(1) 化简结果为$8y^2-4xy$，最终值为4；(2) 化简结果为$36n^2$，最终值为36
【知识点】
完全平方公式，平方差公式，整式化简求值
【点评】
本题是整式运算的基础题型，重点考察乘法公式的识别与灵活运用，先化简再代入是这类题的核心解题原则，第(2)问逆用完全平方公式可以直接消去参数m，大幅降低运算量，避免了代入大数值2024的冗余计算，能有效提升解题准确率。
【难度系数】
0.7
22. （8 分）如图，$ ∠ BOC = 2∠ AOC $，$ OD $ 平分 $ ∠ AOB $，$ ∠ COD = 17^{\circ} $，求 $ ∠ AOB $ 的度数。
答案
22. 解：设 $ ∠ AOB = x $。
根据题意，得 $ ∠ AOC = \frac{x}{3} $，$ ∠ AOD = \frac{x}{2} $，
则 $ ∠ COD = ∠ AOD - ∠ AOC = \frac{x}{2} - \frac{x}{3} = 17^{\circ} $，
解得 $ x = 102^{\circ} $，
所以 $ ∠ AOB = 102^{\circ} $。
根据题意，得 $ ∠ AOC = \frac{x}{3} $，$ ∠ AOD = \frac{x}{2} $，
则 $ ∠ COD = ∠ AOD - ∠ AOC = \frac{x}{2} - \frac{x}{3} = 17^{\circ} $，
解得 $ x = 102^{\circ} $，
所以 $ ∠ AOB = 102^{\circ} $。
解析
【分析】
我们可以用方程思想来解这道角度计算题，思路如下：
1. 首先明确所求的是∠AOB的度数，直接设它为未知量x，方便后续推导。
2. 根据已知条件∠BOC=2∠AOC，可知∠AOB=∠AOC+∠BOC=3∠AOC，因此可以把∠AOC用x表示为$\frac{x}{3}$。
3. 再根据OD平分∠AOB的角平分线定义，可得∠AOD是∠AOB的一半，也就是$\frac{x}{2}$。
4. 从图中可以看出∠COD = ∠AOD - ∠AOC，题目已经给出∠COD=17°，把上面用x表示的两个角代入这个等式，就能得到关于x的一元一次方程，解方程就能直接求出∠AOB的度数了。
【解析】
解：设 $ ∠ AOB = x $，
∵ $ ∠ BOC = 2∠ AOC $，且 $ ∠ AOB = ∠ AOC + ∠ BOC $，
∴ $ ∠ AOC = \frac{1}{3}∠AOB = \frac{x}{3} $，
∵ OD 平分 $ ∠ AOB $，
∴ $ ∠ AOD = \frac{1}{2}∠AOB = \frac{x}{2} $，
由角的和差关系可得 $ ∠ COD = ∠ AOD - ∠ AOC $，代入 $ ∠ COD = 17° $得：
$\frac{x}{2} - \frac{x}{3} = 17°$
通分计算得 $\frac{x}{6}=17°$，
解得 $ x = 102° $。
【答案】
$ ∠ AOB = 102° $
【知识点】
角平分线定义，角的和差运算，一元一次方程应用
【点评】
本题是初中几何入门阶段的典型角度计算题型，采用设未知量的方程思想求解，比算术法逻辑更清晰，能有效避免角度关系推导出错，帮助学生建立用代数方法解决几何问题的思维习惯，属于基础常规题型。
【难度系数】
0.8
我们可以用方程思想来解这道角度计算题，思路如下：
1. 首先明确所求的是∠AOB的度数，直接设它为未知量x，方便后续推导。
2. 根据已知条件∠BOC=2∠AOC，可知∠AOB=∠AOC+∠BOC=3∠AOC，因此可以把∠AOC用x表示为$\frac{x}{3}$。
3. 再根据OD平分∠AOB的角平分线定义，可得∠AOD是∠AOB的一半，也就是$\frac{x}{2}$。
4. 从图中可以看出∠COD = ∠AOD - ∠AOC，题目已经给出∠COD=17°，把上面用x表示的两个角代入这个等式，就能得到关于x的一元一次方程，解方程就能直接求出∠AOB的度数了。
【解析】
解：设 $ ∠ AOB = x $，
∵ $ ∠ BOC = 2∠ AOC $，且 $ ∠ AOB = ∠ AOC + ∠ BOC $，
∴ $ ∠ AOC = \frac{1}{3}∠AOB = \frac{x}{3} $，
∵ OD 平分 $ ∠ AOB $，
∴ $ ∠ AOD = \frac{1}{2}∠AOB = \frac{x}{2} $，
由角的和差关系可得 $ ∠ COD = ∠ AOD - ∠ AOC $，代入 $ ∠ COD = 17° $得：
$\frac{x}{2} - \frac{x}{3} = 17°$
通分计算得 $\frac{x}{6}=17°$，
解得 $ x = 102° $。
【答案】
$ ∠ AOB = 102° $
【知识点】
角平分线定义，角的和差运算，一元一次方程应用
【点评】
本题是初中几何入门阶段的典型角度计算题型，采用设未知量的方程思想求解，比算术法逻辑更清晰，能有效避免角度关系推导出错，帮助学生建立用代数方法解决几何问题的思维习惯，属于基础常规题型。
【难度系数】
0.8
23. （8 分）如图，点 $ D $，$ E $，$ F $ 分别在三角形 $ ABC $ 的三条边上，点 $ G $ 在 $ DF $ 上。若 $ ∠ 1 + ∠ 2 = 180^{\circ} $，$ ∠ 3 = ∠ B $，$ DE $ 与 $ BC $ 所在的直线存在什么位置关系？请说明理由。
答案
23. 解：$ DE// BC $。理由如下：
因为 $ ∠ 1 + ∠ DGE = 180^{\circ} $，$ ∠ 1 + ∠ 2 = 180^{\circ} $，
所以 $ ∠ DGE = ∠ 2 $，
所以 $ EG// AB $，
所以 $ ∠ 3 = ∠ ADE $。
因为 $ ∠ 3 = ∠ B $，
所以 $ ∠ B = ∠ ADE $，
所以 $ DE// BC $。
因为 $ ∠ 1 + ∠ DGE = 180^{\circ} $，$ ∠ 1 + ∠ 2 = 180^{\circ} $，
所以 $ ∠ DGE = ∠ 2 $，
所以 $ EG// AB $，
所以 $ ∠ 3 = ∠ ADE $。
因为 $ ∠ 3 = ∠ B $，
所以 $ ∠ B = ∠ ADE $，
所以 $ DE// BC $。
解析
【分析】
我们首先预判DE和BC的位置关系为平行，接下来结合已知条件逐步推导验证：第一步，已知∠1+∠2=180°，而∠1和它的邻补角∠DGE的和天然为180°，根据同角的补角相等，可推出∠DGE=∠2，这组同位角相等就能得到EG//AB；第二步，由EG//AB，根据平行线的内错角相等性质，得到∠3=∠ADE，再结合已知∠3=∠B做等量代换，得到同位角∠ADE=∠B，最终即可判定DE//BC。整个推导过程通过第一组平行作为桥梁，递推得到第二组平行，符合平行线证明的常规逻辑。
【解析】
$DE// BC$，理由如下：
1. 由邻补角的定义可得：$∠ 1 + ∠ DGE = 180°$
2. 已知$∠ 1 + ∠ 2 = 180°$，根据同角的补角相等，可得$∠ DGE = ∠ 2$
3. 同位角相等，两直线平行，因此$EG// AB$
4. 根据两直线平行，内错角相等，可得$∠ 3 = ∠ ADE$
5. 已知$∠ 3 = ∠ B$，通过等量代换可得$∠ B = ∠ ADE$
6. 同位角相等，两直线平行，因此$DE// BC$
【答案】
$ DE// BC $。理由如下：
因为 $ ∠ 1 + ∠ DGE = 180° $，$ ∠ 1 + ∠ 2 = 180° $，
所以 $ ∠ DGE = ∠ 2 $，
所以 $ EG// AB $，
所以 $ ∠ 3 = ∠ ADE $。
因为 $ ∠ 3 = ∠ B $，
所以 $ ∠ B = ∠ ADE $，
所以 $ DE// BC $。
【知识点】
平行线判定，补角性质，等量代换
【点评】
本题属于平行线判定的递进型基础证明题，综合考查补角性质、平行线的判定与性质的运用，以EG//AB作为推导桥梁完成角的等量关系转化，能够有效锻炼学生几何证明的逻辑严谨性，纠正跳步推导的常见错误。
【难度系数】
0.7
我们首先预判DE和BC的位置关系为平行，接下来结合已知条件逐步推导验证：第一步，已知∠1+∠2=180°，而∠1和它的邻补角∠DGE的和天然为180°，根据同角的补角相等，可推出∠DGE=∠2，这组同位角相等就能得到EG//AB；第二步，由EG//AB，根据平行线的内错角相等性质，得到∠3=∠ADE，再结合已知∠3=∠B做等量代换，得到同位角∠ADE=∠B，最终即可判定DE//BC。整个推导过程通过第一组平行作为桥梁，递推得到第二组平行，符合平行线证明的常规逻辑。
【解析】
$DE// BC$，理由如下：
1. 由邻补角的定义可得：$∠ 1 + ∠ DGE = 180°$
2. 已知$∠ 1 + ∠ 2 = 180°$，根据同角的补角相等，可得$∠ DGE = ∠ 2$
3. 同位角相等，两直线平行，因此$EG// AB$
4. 根据两直线平行，内错角相等，可得$∠ 3 = ∠ ADE$
5. 已知$∠ 3 = ∠ B$，通过等量代换可得$∠ B = ∠ ADE$
6. 同位角相等，两直线平行，因此$DE// BC$
【答案】
$ DE// BC $。理由如下：
因为 $ ∠ 1 + ∠ DGE = 180° $，$ ∠ 1 + ∠ 2 = 180° $，
所以 $ ∠ DGE = ∠ 2 $，
所以 $ EG// AB $，
所以 $ ∠ 3 = ∠ ADE $。
因为 $ ∠ 3 = ∠ B $，
所以 $ ∠ B = ∠ ADE $，
所以 $ DE// BC $。
【知识点】
平行线判定，补角性质，等量代换
【点评】
本题属于平行线判定的递进型基础证明题，综合考查补角性质、平行线的判定与性质的运用，以EG//AB作为推导桥梁完成角的等量关系转化，能够有效锻炼学生几何证明的逻辑严谨性，纠正跳步推导的常见错误。
【难度系数】
0.7
24. （10 分）“天宫课堂”开讲，传播普及空间科学知识，激发了广大青少年不断追求“科学梦”的热情。小明与爸爸周末从家骑自行车到本市科技馆探索科技的奥秘，他们骑行了一段时间后，在某路口等待红绿灯，待绿灯亮起后继续向科技馆方向骑行，在快到科技馆时突然发现钥匙不见了，于是他们着急地原路返回，在刚刚等红绿灯的路口处找到了钥匙，然后继续前往科技馆。小明离科技馆的距离（m）与离家的时间（min）的关系如图所示，请根据图中提供的信息回答下列问题：
(1)小明家到本市科技馆的距离是
(2)小明等待红绿灯所用的时间为
（3）图中点 $ C $ 表示的意义是：
（4）小明在整个途中，哪个时间段骑车速度最快？
（5）小明在整个途中，共行驶了多少路程？
(1)小明家到本市科技馆的距离是
3000
$ \mathrm{ m} $；(2)小明等待红绿灯所用的时间为
2
$ \mathrm{ min} $；（3）图中点 $ C $ 表示的意义是：
发现钥匙不见时，小明离家 12 min，离科技馆是 600 m
；（4）小明在整个途中，哪个时间段骑车速度最快？
（5）小明在整个途中，共行驶了多少路程？
答案
$24. （1）3000 （2）2 （3）$发现钥匙不见时，小明离家$ 12 min，$离科技馆是$ 600 m （4）$ 0∼ 6 $ min $时间段的速度为$ $$ \frac{3000 - 1560}{6}$ = 240(m/min) $，$$ $ 8∼ 12 $ min $时间段的速度为$ $$ \frac{1560 - 600}{4} $= 240(m/min) $，$$ $ 12∼ 15 $ min $时间段的速度为 $ \frac{1560 - 600}{3} $= $320(m/min)$ $，$$ $ 15∼ 21 $ min $时间段的速度为$ $ $\frac{1560 - 0}{6} $= 260(m/min) $。$$ $因为$ $ 320 > 260 > 240 $，$$ $所以小明在整个途中， 12∼ 15 $ min $时间段的骑车速度最快。$ （5）$因为$ $ 0∼ 6 $ min $时间段的路程为$ $ 3000 - 1560 = 1440(m) $，$$ $ 8∼ 12 $ min $时间段的路程为$ $ 1560 - 600 = 960(m) $，$$ $ 12∼ 15 $ min $时间段的路程为$ $ 1560 - 600 = 960(m) $，$$ $ 15∼ 21 $ min $时间段的路程为$ $ 1560 - 0 = 1560(m) $，$$ $所以小明在整个途中，共行驶了$ $ 1440 + 960 + 960 + 1560 = 4920(m) $。$$ $
解析
（1）3000
（2）2
（3）发现钥匙不见时，小明离家12 min，离科技馆是600 m
（4）计算各段速度：
0-6 min：$\frac{3000-1560}{6}=240\ \mathrm{m/min}$
8-12 min：$\frac{1560-600}{12-8}=240\ \mathrm{m/min}$
12-15 min：$\frac{1560-600}{15-12}=320\ \mathrm{m/min}$
15-21 min：$\frac{1560}{21-15}=260\ \mathrm{m/min}$
最快时间段为12-15 min。
（5）总路程：$(3000-1560)+(1560-600)+(1560-600)+1560=4920\ \mathrm{m}$
（2）2
（3）发现钥匙不见时，小明离家12 min，离科技馆是600 m
（4）计算各段速度：
0-6 min：$\frac{3000-1560}{6}=240\ \mathrm{m/min}$
8-12 min：$\frac{1560-600}{12-8}=240\ \mathrm{m/min}$
12-15 min：$\frac{1560-600}{15-12}=320\ \mathrm{m/min}$
15-21 min：$\frac{1560}{21-15}=260\ \mathrm{m/min}$
最快时间段为12-15 min。
（5）总路程：$(3000-1560)+(1560-600)+(1560-600)+1560=4920\ \mathrm{m}$
