疑难点拨
已知在$△ ABC$中,$AC=6$,$BC=8$,$AB=10$,则它的外接圆的半径为,内切圆的半径为.
点拨 直角顶点为端点的切线长与内切圆的两个半径组成正方形,所以它们相等.

5 2

【分析】首先根据三角形三边长度，利用勾股定理的逆定理判断△ABC为直角三角形；再结合直角三角形外接圆、内切圆的半径公式，分别计算两个半径的值。
【解析】在△ABC中，已知AC=6，BC=8，AB=10，计算得：AC²+BC²=6²+8²=36+64=100=AB²，根据勾股定理的逆定理，可判定△ABC是直角三角形，且直角顶点为C。
1. 外接圆半径：直角三角形的外接圆圆心在斜边中点，因此外接圆半径等于斜边的一半，即R=AB÷2=10÷2=5。
2. 内切圆半径：直角三角形内切圆半径公式为r=(直角边1+直角边2-斜边)÷2，代入数值计算得：r=(6+8-10)÷2=2。
【答案】5 2
【知识点】勾股定理逆定理；三角形外接圆半径；三角形内切圆半径
【点评】本题属于基础题型，关键是先通过勾股定理逆定理确定三角形为直角三角形，再利用直角三角形特有的半径公式快速求解，需熟练掌握相关公式。
【难度系数】0.8

1. 如图,$PA$、$PB$是$\odot O$的切线,$A$、$B$是切点,点$C$为$\odot O$上一点,若$∠ P=40°$,则$∠ ACB$的度数为

A.$70°$
B.$50°$
C.$20°$
D.$40°$

(第1题)
(第2题)
(第3题)
(第4题)

1. A

【分析】要计算∠ACB的度数，需先利用切线的性质求出圆心角∠AOB的度数，再根据圆周角定理（同弧所对的圆周角是圆心角的一半）得出结果。首先连接OA、OB，利用切线与半径垂直的性质得到直角，结合四边形内角和算出∠AOB，进而求出∠ACB。
【解析】连接OA、OB。
∵PA、PB是⊙O的切线，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，即∠OAP=∠OBP=90°。
在四边形OAPB中，内角和为360°，已知∠P=40°，
∴∠AOB=360°−∠OAP−∠OBP−∠P=360°−90°−90°−40°=140°。
∵∠ACB是弧AB所对的圆周角，∠AOB是弧AB所对的圆心角，
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
∴∠ACB=½∠AOB=½×140°=70°。
【答案】A
【知识点】切线性质、圆周角定理
【点评】本题综合考查切线的性质和圆周角定理，解题关键是通过切线性质求出圆心角，再利用圆周角与圆心角的关系求解，属于初中几何基础题型，需熟练掌握相关定理。
【难度系数】0.5

2. 如图,$AB$是$\odot O$的直径,点$C$为$\odot O$外一点,$CA$、$CD$分别与$\odot O$相切于点$A$、$D$,连接$BD$、$AD$.若$∠ ACD=50°$,则$∠ DBA$的度数是.

2. $65^{\circ }$

【分析】
首先利用切线长定理得出CA=CD，结合已知∠ACD=50°求出等腰△ACD中∠CAD的度数；再根据弦切角定理，切线与弦的夹角等于弦所对的圆周角，即可得到∠DBA的度数。
【解析】
1. 因为CA、CD分别与⊙O相切于点A、D，根据切线长定理，得CA=CD，所以△ACD为等腰三角形。
2. 已知∠ACD=50°，根据等腰三角形内角和性质，∠CAD=(180°−∠ACD)÷2=(180°−50°)÷2=65°。
3. 由于CA是⊙O的切线，AD是⊙O的弦，根据弦切角定理：弦切角等于它所夹弧对应的圆周角，可知∠CAD=∠DBA。
4. 因此，∠DBA=65°。
【答案】
65°
【知识点】
切线长定理、弦切角定理、圆周角定理
【点评】
本题考查圆的切线相关性质，核心是运用切线长定理和弦切角定理，属于基础几何题，需熟练掌握圆的切线相关定理的应用。
【难度系数】
0.4

3. 如图,$PA$、$PB$是$\odot O$的切线,$A$、$B$为切点,点$C$、$D$在$\odot O$上.若$∠ P=100°$,则$∠ A+∠ C=$.

3. $220^{\circ }$

【分析】
要解决本题，需结合切线的性质、等腰三角形的性质和圆内接四边形的性质推导。首先利用切线长定理得到PA=PB，结合∠P的度数求出∠PAB；再根据圆内接四边形对角互补得到∠BAD与∠BCD的和；最后明确所求∠A是∠PAB与∠BAD的和，进而计算出结果。
【解析】
1. 连接AB，因为PA、PB是⊙O的切线，根据切线长定理，得PA=PB，△PAB为等腰三角形。
2. 已知∠P=100°，根据等腰三角形内角和，计算得∠PAB=∠PBA=(180°-∠P)÷2=(180°-100°)÷2=40°。
3. 因为四边形ABCD是⊙O的内接四边形，根据圆内接四边形的性质，对角互补，即∠BAD + ∠BCD=180°。
4. 题目中的∠A为∠PAD，且∠PAD=∠PAB + ∠BAD，因此∠A + ∠C=∠PAD + ∠BCD=(∠PAB + ∠BAD) + ∠BCD=∠PAB + (∠BAD + ∠BCD)=40° + 180°=220°。
【答案】
220°
【知识点】
切线长定理、圆内接四边形性质、等腰三角形性质
【点评】
本题综合考查圆的相关性质，解题关键是明确所求角与已知角的关系，熟练运用切线长定理、圆内接四边形对角互补的性质，结合等腰三角形角度计算即可求解，属于中等难度的几何题。
【难度系数】
0.5

4. 如图,在$△ ABC$中,$∠ ABC=90°$,$\odot O$的圆心在$AB$边上,且分别与$AC$、$BC$相切于点$D$、$B$.若$AB=6\ \mathrm{cm}$,$AC=10\ \mathrm{cm}$,则$\odot O$的半径为$\mathrm{cm}$.

4. $\frac{8}{3}$

【分析】首先利用勾股定理求出Rt△ABC中BC的长度；再根据切线长定理得到从点C引向圆的两条切线长度相等，算出AD的长度；接着设⊙O的半径为r，结合切线性质得到OD⊥AC，在Rt△AOD中利用勾股定理建立方程，求解得到半径。
【解析】在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6cm，AC=10cm，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AC^2 - AB^2}=\sqrt{10^2 - 6^2}=\sqrt{64}=8(\mathrm{cm})$。
因为⊙O与AC、BC分别相切于点D、B，根据切线长定理，从同一点引圆的两条切线长度相等，故$CD=CB=8\mathrm{cm}$，则$AD=AC - CD=10 - 8=2(\mathrm{cm})$。
设⊙O的半径为$r\ \mathrm{cm}$，则$OD=OB=r\ \mathrm{cm}$，$OA=AB - OB=(6 - r)\ \mathrm{cm}$。
由于AC是⊙O的切线，所以$OD⊥AC$，即∠ADO=90°，在Rt△AOD中，由勾股定理：
$OA^2=AD^2 + OD^2$，
代入得：$(6 - r)^2=2^2 + r^2$，
展开整理：$36 -12r + r^2=4 + r^2$，
消去$r^2$后解得：$12r=32$，即$r=\frac{8}{3}$。
【答案】$\frac{8}{3}$
【知识点】切线长定理、勾股定理、切线的性质
【点评】本题是圆与直角三角形结合的基础题，核心是利用切线长定理转化线段长度，结合勾股定理列方程求解，需要掌握切线的性质和切线长定理的应用，难度适中。
【难度系数】0.5

5. 如图,$P$为$\odot O$外一点,$PA$、$PB$分别切$\odot O$于点$A$、$B$,$CD$切$\odot O$于点$E$,分别交$PA$、$PB$于点$C$、$D$.若$△ PCD$的周长为$24$,$\odot O$的半径是$5$,则点$P$到圆心$O$的距离为.

(第5题)
(第6题)
(第7题)

5. 13

【分析】
要解决本题，需结合切线长定理、切线的性质和勾股定理逐步推导：首先利用切线长定理将△PCD的周长转化为PA的长度，再通过切线的性质得到直角三角形，最后用勾股定理计算点P到圆心O的距离。
【解析】
1. 应用切线长定理：
从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等。已知PA、PB分别切⊙O于A、B，CD切⊙O于E，因此：
$ CA = CE $，$ DB = DE $，$ PA = PB $。
2. 计算PA的长度：
△PCD的周长为 $ PC + CD + PD $，将CD替换为 $ CE + DE $，结合切线长定理可得：
$ PC + CD + PD = PC + CE + DE + PD = PC + CA + DB + PD = (PC + CA) + (PD + DB) = PA + PB $。
已知△PCD的周长为24，且$ PA = PB $，故 $ 2PA = 24 $，解得 $ PA = 12 $。
3. 利用切线性质和勾股定理求OP：
连接OA，因为PA是⊙O的切线，根据切线的性质，圆的切线垂直于过切点的半径，所以 $ OA ⊥ PA $，即△OPA是直角三角形，$ ∠ OAP = 90° $。
已知⊙O的半径 $ OA = 5 $，$ PA = 12 $，由勾股定理得：
$ OP = \sqrt{OA^2 + PA^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 $。
【答案】
13
【知识点】
切线长定理、切线的性质、勾股定理
【点评】
本题是圆的切线相关的基础题型，核心是利用切线长定理转化线段长度，结合直角三角形勾股定理求解，重点考查对切线相关性质的应用能力，难度适中。
【难度系数】
0.5

6. 如图,$PA$、$PB$是$\odot O$的两条切线,切点分别为$A$、$B$.若$∠ AOB=90°$,$PA=3$,则$\odot O$的半径为.

6. 3

【分析】
要解决本题，需利用切线的性质、切线长定理判断四边形的形状，进而求出圆的半径。首先回忆：圆的切线垂直于过切点的半径，从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等。结合已知的∠AOB=90°，可推导四边形OAPB的形状，最终得到半径长度。
【解析】
解：
∵PA、PB是⊙O的两条切线，切点分别为A、B，
∴OA⊥PA，OB⊥PB（切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径），
∴∠OAP=∠OBP=90°。
又
∵∠AOB=90°，
∴四边形OAPB的四个内角均为90°，即四边形OAPB是矩形。
根据切线长定理，从圆外一点P引⊙O的两条切线PA、PB，得PA=PB，
∴矩形OAPB是正方形（邻边相等的矩形是正方形），
∴OA=PA=3，即⊙O的半径为3。
【答案】
3
【知识点】
切线的性质、切线长定理、正方形的判定
【点评】
本题结合切线的性质、切线长定理与正方形的判定，考查圆的基础应用，解题关键是利用切线性质推出四边形内角，结合切线长相等判断四边形为正方形，属于基础题型。
【难度系数】
0.6

7. 如图,两个同心圆的圆心是点$O$,$AD$是大圆的直径,大圆的弦$AB$、$BE$分别与小圆相切于点$C$、$F$,连接$BD$,则$∠ ABE+2∠ D=$.

7. $180^{\circ }$

【分析】
要解决该问题，需结合切线性质、等腰三角形性质、圆周角定理推导角度关系：首先利用切线性质得BO平分∠ABE，再结合大圆半径相等得到等腰三角形的角度关系，最后利用直径所对圆周角为直角的性质，将目标式转化为已知角度和的倍数，计算结果。
【解析】
连接OC、OF，
∵ AB、BE分别与小圆相切于点C、F，
∴ OC⊥AB，OF⊥BE，且OC=OF，
∴ BO平分∠ABE，即∠ABE=2∠OBA。
∵ OA、OB都是大圆的半径，
∴ OA=OB，
∴ △OAB为等腰三角形，∠OAB=∠OBA，
∴ ∠ABE=2∠OAB。
又
∵ AD是大圆的直径，
∴ ∠ABD=90°（直径所对的圆周角为直角），
在△ABD中，∠BAD + ∠D=90°，即∠OAB + ∠D=90°。
∴ ∠ABE + 2∠D=2∠OAB + 2∠D=2(∠OAB + ∠D)=2×90°=180°。
【答案】
180°
【知识点】
切线的性质、圆周角定理、等腰三角形性质
【点评】
本题综合考查圆的相关性质，关键是利用切线平分角的特点，结合直径的直角性质转化角度关系，需掌握多个圆的基础知识点，难度适中。
【难度系数】
0.5

8. 小亮对《数书九章》中的“遥度圆城”问题进行了改编:如图,一座圆形城堡有正东、正南、正西和正北四个门,出南门向东走一段路程后刚好看到北门外的一棵大树,向树的方向走9里到达城堡边,再往前走6里到达树下.求:
(1)大树到城堡南门的距离;
(2)城堡外圆的半径.

8. (1) 12里 (2) 4.5里

【分析】
本题需结合圆的切线性质与勾股定理求解。根据题意，从出南门向东的点到大树的直线是圆形城堡的切线，切点在城堡边上，已知该点到切点的距离为9里，切点到大树的距离为6里，因此大树到出南门向东的点的距离为15里。设大树到南门的距离为$x$里，城堡半径为$r$里，通过直角三角形的勾股关系和切线长公式建立方程，即可求出结果。
【解析】
设大树到城堡南门的距离为$x$里，城堡外圆的半径为$r$里。
1. 出南门向东的点到大树的距离为$9+6=15$里，该点、南门、大树构成直角三角形，根据勾股定理：
$\sqrt{SB^2 + x^2}=15$
其中$SB$为出南门向东的水平距离。同时，出南门向东的点到圆的切线长为9里，根据切线长公式，该点到圆心的距离平方减去半径平方等于切线长平方，化简得$SB=9$里。代入勾股定理：
$\sqrt{9^2 + x^2}=15$
两边平方得：$81 + x^2=225$，解得$x^2=144$，即$x=12$（距离为正，舍去负根）。
2. 大树到圆的切线长为6里，同理，大树到圆心的距离平方减去半径平方等于切线长平方。圆心在南门正北$r$里处，大树在南门正北$12$里处，因此大树到圆心的距离为$12 - r$，代入切线长公式：
$6=\sqrt{(12 - r)^2 - r^2}$
两边平方得：$36=144 -24r + r^2 - r^2$，化简得$24r=108$，解得$r=4.5$里。
【答案】
(1) 12里；(2) 4.5里
【知识点】
切线长定理、勾股定理、圆的性质
【点评】
本题改编自古代数学问题，需结合圆的切线性质与勾股定理建立方程求解，关键是理清各点的位置关系，利用几何公式简化计算，考查学生对几何知识的综合应用能力。
【难度系数】
0.4