10. 如图,在$△ ABC$中,$∠ A=28°$,以$AB$为直径的$\odot O$交$AC$于点D,$DE// CB$,连接$BD$.若添加一个条件,使$BC$是$\odot O$的切线,则下列四个条件不符合的是()
A. $DE⊥ AB$
B. $∠ EDB=28°$
C. $∠ ADE=∠ ABD$
D. $OB=BC$

10. D

【分析】
要使BC是⊙O的切线，根据切线的判定定理，需满足BC⊥AB（即∠ABC=90°）。已知AB是⊙O的直径，由圆周角定理可得直径所对的圆周角为直角，即∠ADB=90°，结合∠A=28°可算出∠ABD=62°，因此只需判断各选项能否推出∠ABC=90°即可。
【解析】
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°（直径所对的圆周角为直角），即BD⊥AC。
在Rt△ABD中，∠A=28°，
∴∠ABD=90°−28°=62°。要使BC是⊙O的切线，需∠ABC=90°，即∠ABD + ∠DBC=90°，故需判断各选项能否推出该结论：
选项A：DE⊥AB，又DE//CB，根据平行线的性质，可得CB⊥AB，即∠ABC=90°，因此BC是⊙O的切线，符合要求；
选项B：
∵DE//CB，
∴∠EDB=∠DBC，若∠EDB=28°，则∠DBC=28°，
∴∠ABC=∠ABD + ∠DBC=62°+28°=90°，BC是⊙O的切线，符合要求；
选项C：
∵∠ADB=90°，
∴∠ADE + ∠EDB=90°，若∠ADE=∠ABD，则∠ABD + ∠EDB=90°，又DE//CB，
∴∠EDB=∠DBC，故∠ABD + ∠DBC=90°，即∠ABC=90°，BC是⊙O的切线，符合要求；
选项D：若OB=BC，设⊙O半径为r，则OB=r，AB=2r，
∴AB=2BC。在Rt△ABC中，AB为斜边，BC为直角边，若AB=2BC，则∠A=30°，但题目中∠A=28°，无法推出∠ABC=90°，故BC不是⊙O的切线，不符合要求。
综上，不符合要求的是选项D。
【答案】
D
【知识点】
切线的判定、圆周角定理
【点评】
本题结合平行线性质、直角三角形性质考查切线的判定，需逐一分析各选项与切线判定条件的关联，关键是利用圆周角定理得到直角，再结合已知角度推导，难度中等。
【难度系数】
0.5

11. 如图,$∠ ABC=90°$,O为射线$BC$上一点,以点O为圆心,$\frac{1}{2}BO$长为半径作$\odot O$,当射线$BA$绕点B按顺时针方向旋转°时与$\odot O$相切.

11. 60或120

【分析】
要解决这个问题，需结合切线的性质和直角三角形的边角关系，同时注意射线与圆相切存在两种情况。首先设⊙O的半径为r，根据题意得出BO与半径的关系；当BA旋转后与⊙O相切时，连接切点与圆心构造直角三角形，利用直角三角形中“30°角对的直角边是斜边的一半”求出相关角度，再结合原∠ABC=90°，分两种情况计算旋转角度即可。
【解析】
设⊙O的半径为r，由题意知半径为$\frac{1}{2}BO$，故$BO=2r$。
当射线BA旋转后与⊙O相切时，设切点为P，连接OP，根据切线的性质：切线垂直于过切点的半径，可得$OP⊥BP$，即$△ OPB$为直角三角形，$∠ OPB=90°$。
在$Rt△ OPB$中，$OP=r$，$BO=2r$，因此$\sin∠ OBP=\frac{OP}{BO}=\frac{r}{2r}=\frac{1}{2}$，故$∠ OBP=30°$。
已知$∠ ABC=90°$，即原射线BA与BC的夹角为90°，分两种情况：
1. 当旋转后的射线在BC上方时，旋转角为$90° - 30°=60°$；
2. 当旋转后的射线在BC下方时，旋转角为$90° + 30°=120°$。
综上，射线BA绕点B顺时针旋转60°或120°时与⊙O相切。
【答案】
60或120
【知识点】
切线的性质，直角三角形的性质，旋转的角度计算
【点评】
本题结合切线性质与直角三角形边角关系，重点考查分类讨论思想，需注意射线与圆相切存在两种不同位置，避免漏解。
【难度系数】
0.5

12. 如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ C=90°$,D为$BC$上一点,且$\overset{\frown}{DE}=\overset{\frown}{DF}$.
(1) 求证:$BC$与$\odot O$相切;
(2) 若$BD=3$,$BE=1$,求$CD$的长.

12. (1)证明略 (2) $CD=\dfrac{12}{5}$

【分析】
本题分两小问：(1) 要证BC与⊙O相切，需利用切线判定定理，通过连接半径OD，结合等弧的性质、等腰三角形性质推出OD⊥BC；(2) 求CD长，先在Rt△ODB中用勾股定理求⊙O半径，再利用OD//AC得到相似三角形，通过相似比计算CD。
【解析】
(1) 证明：连接OD，
∵ $\overset{\frown}{DE}=\overset{\frown}{DF}$，
∴ ∠CAD=∠BAD（等弧所对的圆周角相等），
又
∵ OA=OD，
∴ ∠OAD=∠ODA，
∴ ∠ODA=∠CAD，
∴ OD//AC，
∵ ∠C=90°，
∴ ∠ODB=∠C=90°，即OD⊥BC，
又
∵ OD是⊙O的半径，
∴ BC与⊙O相切。
(2) 解：设⊙O的半径为r，则OE=OD=r，
在Rt△ODB中，OB=OE+BE=r+1，BD=3，
由勾股定理得：$OD^2 + BD^2 = OB^2$，
即 $r^2 + 3^2 = (r+1)^2$，
展开得：$r^2 +9 = r^2 +2r +1$，
解得：$r=4$，
∴ OD=4，OB=5，OA=4，AB=9，
∵ OD//AC，
∴ △BOD∽△BAC，
∴ $\frac{BD}{BC} = \frac{OB}{AB}$，
∵ BC=3+CD，
代入得：$\frac{3}{3+CD} = \frac{5}{9}$，
解得：$CD=\frac{12}{5}$。
【答案】
$CD=\dfrac{12}{5}$
【知识点】
切线的判定、相似三角形的性质、勾股定理
【点评】
本题综合考查圆的切线判定、相似三角形应用及勾股定理，解题关键是利用弧的性质推导平行关系，结合切线判定和相似比求解，属于中等难度的几何综合题。
【难度系数】
0.5

13. 如图,半径为10的$\odot M$经过x轴上一点C,与y轴交于点A、B,连接$AM$、$AC$,$AC$平分$∠ OAM$,$AO+CO=12$.
(1) 判断$\odot M$与x轴的位置关系,并说明理由;
(2) 求$AB$的长.

13. (1)相切,证明略 (2) $AB=12$

【分析】
(1) 判断圆与直线的位置关系，需看圆心到直线的距离是否等于半径。结合角平分线性质和等腰三角形性质，可推出圆心与x轴上点的连线垂直于x轴，进而判断位置关系；
(2) 设圆心坐标，利用AO+CO=12和半径长度，结合两点间距离公式求出相关线段，再用垂径定理计算AB的长。
【解析】
(1) ⊙M与x轴相切，理由如下：
连接MC，
∵ AM、MC都是⊙M的半径，
∴ AM=MC，
∴ ∠MAC=∠MCA，
∵ AC平分∠OAM，
∴ ∠MAC=∠OAC，
∴ ∠OAC=∠MCA，
∴ MC//OA，
∵ OA在y轴上，OA⊥x轴，
∴ MC⊥x轴，
即圆心M到x轴的距离等于⊙M的半径10，故⊙M与x轴相切。
(2) 设C点坐标为(c,0)，因MC⊥x轴且半径为10，故M点坐标为(c,-10)；设A点坐标为(0,a)，由图知A在y轴负半轴，故AO=-a，CO=c，
由AO+CO=12得：-a + c=12 → a=c-12，
∵ AM是半径，AM=10，根据两点间距离公式：
AM²=(c-0)² + (-10 -a)²=10²，
将a=c-12代入得：
c² + (-10 - (c-12))²=100 → c² + (2 - c)²=100，
展开化简：2c²-4c-96=0 → c²-2c-48=0，
解得c=(2±14)/2，因C在x轴正半轴，故c=8，
则a=8-12=-4，即A(0,-4)，
圆心M到y轴的距离为8，设AB中点为E，由垂径定理得AE=EB，ME⊥AB，
在Rt△AME中，AE=√(AM² - ME²)=√(10²-8²)=6，
∴ AB=2AE=12。
【答案】
(1) 相切；(2) 12
【知识点】
圆与直线的位置关系、垂径定理、角平分线性质
【点评】
本题结合坐标系考查圆的核心性质，需利用角平分线与等腰三角形推导平行关系，再结合代数计算和垂径定理求解，关键是建立线段间的等量关系，综合性适中。
【难度系数】
0.5