7. 如图,直线$AB$经过$\odot O$上的点C,$OA=OB$,$CA=CB$.
(1) 直线$AB$是否与$\odot O$相切? 为什么?
(2) 如果$\odot O$的直径为4 cm,$AB=8$ cm,求$OA$的长.

7. (1)证明略 (2) $AO=2\sqrt{5}(\mathrm{cm})$.

【分析】
第(1)问要判断直线AB是否与⊙O相切，需依据切线的判定定理：经过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线。已知OA=OB，CA=CB，可推出OC是等腰△OAB底边AB的中线，根据等腰三角形三线合一的性质，OC⊥AB，结合C在⊙O上（OC为半径），即可证明AB是切线。第(2)问，先由直径得半径OC的长度，再由CA=CB算出CA的长度，利用(1)中得到的直角三角形OCA，结合勾股定理即可求出OA的长。
【解析】
(1) 直线AB与⊙O相切，理由如下：
连接OC，
∵ OA=OB，CA=CB，
∴ OC是等腰△OAB底边AB的中线，根据等腰三角形三线合一的性质，OC⊥AB。
又
∵ 点C在⊙O上，
∴ OC是⊙O的半径，根据切线的判定定理，直线AB与⊙O相切。
(2) 解：
∵ ⊙O的直径为4 cm，
∴ 半径OC=4÷2=2 cm。
∵ CA=CB，AB=8 cm，
∴ CA=AB÷2=4 cm。
由(1)知OC⊥AB，
∴ △OCA是直角三角形，∠OCA=90°。
在Rt△OCA中，根据勾股定理：OA²=OC² + CA²，
代入OC=2 cm，CA=4 cm，得OA²=2² + 4²=4 + 16=20，
∴ OA=√20=2√5 cm。
【答案】
(1) 直线AB与⊙O相切，理由见解析；(2) OA的长为2√5 cm。
【知识点】
切线的判定、等腰三角形的性质、勾股定理
【点评】
本题综合考查切线的判定、等腰三角形的性质及勾股定理的应用，核心是利用等腰三角形三线合一得到垂直关系，再结合勾股定理计算，属于中等难度的几何题。
【难度系数】
0.5

8. 对于题目"已知$\odot O$及圆外一点P,如何过点P作出$\odot O$的切线?"甲、乙的作法如图:

甲的作法:连接$OP$,作$OP$的垂直平分线交$OP$于点G,以点G为圆心,$OG$长为半径画弧交$\odot O$于点M,作直线$PM$.直线$PM$即为所求.
乙的作法:连接$PO$并延长,交$\odot O$于B、C两点,分别以点P、O为圆心,$PO$、$BC$长为半径作弧,两弧交于点D,连接$OD$,交$\odot O$于点M,作直线$PM$.直线$PM$即为所求.
下列说法正确的是()

A.甲和乙的作法都正确
B.甲和乙的作法都错误
C.甲的作法正确,乙的作法错误
D.乙的作法正确,甲的作法错误

8. A

【分析】要判断甲、乙的作法是否正确，核心是验证所作直线PM是否为⊙O的切线，即证明PM与⊙O的半径OM垂直。需分别结合垂直平分线性质、圆周角定理、等腰三角形性质分析两种作法的合理性。
【解析】
甲的作法验证：
1. 连接OP，作OP的垂直平分线交OP于G，根据垂直平分线的性质，G是OP中点，故$OG=GP$。
2. 以G为圆心、OG长为半径画弧交⊙O于M，则$GM=OG=GP$，因此$GM=\frac{1}{2}OP$。根据“若三角形一边上的中线等于这边的一半，则该三角形为直角三角形”，可得$∠ OMP=90°$，即$OM⊥ PM$。
3. 因OM是⊙O的半径，故PM是⊙O的切线，甲的作法正确。
乙的作法验证：
1. 连接PO并延长交⊙O于B、C，则BC是⊙O的直径，故$BC=2OB$（OB为⊙O半径）。
2. 分别以P、O为圆心，PO、BC长为半径作弧交于D，得$PD=PO$，$OD=BC=2OB=2OM$，即M是OD的中点。
3. 在$△ POD$中，$PD=PO$，M是OD中点，根据等腰三角形“三线合一”，得$PM⊥ OD$，即$OM⊥ PM$。
4. 因OM是⊙O的半径，故PM是⊙O的切线，乙的作法正确。
综上，甲和乙的作法都正确。
【答案】A
【知识点】切线的判定、垂直平分线性质、等腰三角形性质
【点评】本题通过两种几何作图方法考查切线的判定，需结合几何定理分析作图逻辑，关键是证明直线与半径垂直，属于基础几何应用题型。
【难度系数】0.5

9. 如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ C=90°$.
(1) 请用无刻度的直尺和圆规作一个圆,使圆心O在$AC$上,且与$AB$、$BC$所在直线相切(不写作法,保留作图痕迹,标明字母);
(2) 若(1)中$\odot O$与$AB$相切于点E,$BC=8$,$AC=6$,求线段$OE$的长.

9. (1)解:如图1,$\odot O$即为所求作;

(2) $OE=\dfrac{8}{3}$.

【分析】
（1）要作圆心在AC上且与AB、BC相切的圆，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，只需作∠ABC的角平分线，交AC于点O，再以O为圆心、OC长为半径作圆，即可满足圆心在AC上且与AB、BC相切的条件。
（2）求OE的长时，OE是⊙O的半径，因⊙O与AB相切于E，故OE⊥AB，结合OC⊥BC，利用角平分线性质得OE=OC；先由勾股定理算出AB的长度，再通过△AEO与△ACB相似，对应边成比例设未知数列方程求解。
【解析】
（1）作图：作∠ABC的角平分线，交AC于点O；以O为圆心，OC的长为半径作圆，⊙O即为所求（作图痕迹保留）。
（2）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$。
∵⊙O与AB相切于E，
∴OE⊥AB，又OC⊥BC，且O在∠ABC的角平分线上，
∴OE=OC（角平分线的性质）。
设OE=OC=x，则AO=AC-OC=6-x。
∵∠A是△AEO和△ACB的公共角，∠AEO=∠C=90°，
∴△AEO∽△ACB（两角对应相等，三角形相似）。
根据相似三角形对应边成比例：$\frac{OE}{BC}=\frac{AO}{AB}$，代入得：
$\frac{x}{8}=\frac{6-x}{10}$，
交叉相乘得：$10x=8(6-x)$，
展开：$10x=48-8x$，
合并：$18x=48$，
解得：$x=\frac{8}{3}$，即OE=$\frac{8}{3}$。
【答案】
(1) 如图1，⊙O即为所求；
(2) OE=$\frac{8}{3}$。
【知识点】
角平分线性质、切线性质、相似三角形、勾股定理
【点评】
本题结合直角三角形考查作图与几何计算，核心是利用角平分线性质和相似三角形建立关系，需掌握切线的性质及相似三角形的判定，综合性适中。
【难度系数】
0.5