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9. 如图,$△ ABC$与它的内切圆$\odot O$分别相切于点$D$、$E$、$F$.若$△ ABC$的周长为$20$,$BC=6$,则$AD$的长为
(第9题)
4
.(第9题)
答案
9. 4
解析
【分析】
要解决这个问题，需利用三角形内切圆的切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长度相等。首先设未知线段长度，结合三角形周长和已知边的长度，通过代数运算即可求出AD的长度。
【解析】
根据切线长定理，可得：AD=AF，BD=BE，CE=CF。
设AD=AF=x，BD=BE=y，CE=CF=z。
则AB = AD + BD = x + y，BC = BE + CE = y + z，AC = AF + CF = x + z。
已知△ABC的周长为20，即AB + BC + AC = 20，代入得：
(x + y) + (y + z) + (x + z) = 20，
整理得：2(x + y + z) = 20，因此x + y + z = 10。
又已知BC = 6，即y + z = 6，
所以AD = x = (x + y + z) - (y + z) = 10 - 6 = 4。
【答案】
4
【知识点】
切线长定理；三角形内切圆
【点评】
本题考查切线长定理的应用，属于基础题型，核心是利用切线长相等的性质，结合三角形周长进行代数运算，解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，需利用三角形内切圆的切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长度相等。首先设未知线段长度，结合三角形周长和已知边的长度，通过代数运算即可求出AD的长度。
【解析】
根据切线长定理，可得：AD=AF，BD=BE，CE=CF。
设AD=AF=x，BD=BE=y，CE=CF=z。
则AB = AD + BD = x + y，BC = BE + CE = y + z，AC = AF + CF = x + z。
已知△ABC的周长为20，即AB + BC + AC = 20，代入得：
(x + y) + (y + z) + (x + z) = 20，
整理得：2(x + y + z) = 20，因此x + y + z = 10。
又已知BC = 6，即y + z = 6，
所以AD = x = (x + y + z) - (y + z) = 10 - 6 = 4。
【答案】
4
【知识点】
切线长定理；三角形内切圆
【点评】
本题考查切线长定理的应用，属于基础题型，核心是利用切线长相等的性质，结合三角形周长进行代数运算，解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.6
10. 如图,$△ ABC$是一张周长为$21\ \mathrm{cm}$的三角形纸片,$BC=6\ \mathrm{cm}$,$\odot O$是它的内切圆,小高准备用剪刀在$\odot O$的右侧沿着与$\odot O$相切的任意一条直线$MN$剪下$△ AMN$,则剪下的三角形的周长为
9 cm
.答案
10. 9 cm
解析
【分析】
要解决这个问题，需利用切线长定理结合三角形内切圆的性质。先设△ABC的内切圆与AB、AC、BC分别相切于点D、E、F，根据切线长定理，从同一点引圆的两条切线长度相等，再将△AMN的周长转化为与AD、AE相关的表达式，结合△ABC的周长和BC的长度计算即可。
【解析】
设△ABC的内切圆⊙O与AB、AC、BC分别相切于点D、E、F，根据切线长定理：
$AD = AE$，$BD = BF$，$CF = CE$。
已知△ABC的周长为$21\ \mathrm{cm}$，$BC=6\ \mathrm{cm}$，因此：
$AB + AC = 21 - BC = 21 - 6 = 15\ \mathrm{cm}$。
又因为$AB = AD + BD$，$AC = AE + CE$，且$BD=BF$，$CE=CF$，所以：
$AB + AC = (AD + BD) + (AE + CE) = (AD + AE) + (BD + CE) = (AD + AE) + (BF + CF) = (AD + AE) + BC$。
代入$AB+AC=15\ \mathrm{cm}$，$BC=6\ \mathrm{cm}$，得：
$15 = (AD + AE) + 6$，解得$AD + AE = 9\ \mathrm{cm}$。
设MN与⊙O相切于点G，根据切线长定理，$MG=MD$，$NG=NE$，则△AMN的周长为：
$AM + AN + MN = AM + AN + (MG + NG) = AM + AN + MD + NE = (AM + MD) + (AN + NE) = AD + AE = 9\ \mathrm{cm}$。
【答案】
9 cm
【知识点】
切线长定理，三角形内切圆
【点评】
本题核心是利用切线长定理转化线段关系，将△AMN的周长与△ABC的边长关联，需熟练掌握切线长定理的性质，属于中等难度的几何应用题型。
【难度系数】
0.4
要解决这个问题，需利用切线长定理结合三角形内切圆的性质。先设△ABC的内切圆与AB、AC、BC分别相切于点D、E、F，根据切线长定理，从同一点引圆的两条切线长度相等，再将△AMN的周长转化为与AD、AE相关的表达式，结合△ABC的周长和BC的长度计算即可。
【解析】
设△ABC的内切圆⊙O与AB、AC、BC分别相切于点D、E、F，根据切线长定理：
$AD = AE$，$BD = BF$，$CF = CE$。
已知△ABC的周长为$21\ \mathrm{cm}$，$BC=6\ \mathrm{cm}$，因此：
$AB + AC = 21 - BC = 21 - 6 = 15\ \mathrm{cm}$。
又因为$AB = AD + BD$，$AC = AE + CE$，且$BD=BF$，$CE=CF$，所以：
$AB + AC = (AD + BD) + (AE + CE) = (AD + AE) + (BD + CE) = (AD + AE) + (BF + CF) = (AD + AE) + BC$。
代入$AB+AC=15\ \mathrm{cm}$，$BC=6\ \mathrm{cm}$，得：
$15 = (AD + AE) + 6$，解得$AD + AE = 9\ \mathrm{cm}$。
设MN与⊙O相切于点G，根据切线长定理，$MG=MD$，$NG=NE$，则△AMN的周长为：
$AM + AN + MN = AM + AN + (MG + NG) = AM + AN + MD + NE = (AM + MD) + (AN + NE) = AD + AE = 9\ \mathrm{cm}$。
【答案】
9 cm
【知识点】
切线长定理，三角形内切圆
【点评】
本题核心是利用切线长定理转化线段关系，将△AMN的周长与△ABC的边长关联，需熟练掌握切线长定理的性质，属于中等难度的几何应用题型。
【难度系数】
0.4
11. 如图,在矩形$ABCD$中,$AB=4$,$AD=5$,$AD$、$AB$、$BC$分别与$\odot O$相切于$E$、$F$、$G$三点,过点$D$作$\odot O$的切线交$BC$于点$M$,切点为$N$,则$DM$的长为
$\frac{13}{3}$
.答案
11. $\frac{13}{3}$
解析
【分析】
首先根据矩形与圆相切的性质确定圆的半径，再利用切线长定理得到相关线段的等量关系，最后通过勾股定理建立方程求解DM的长度。具体思路：1. 由圆与矩形三边相切，求出圆的半径，进而得到DE的长度；2. 依据切线长定理，得到DN=DE、MN=MG的等量关系；3. 设MG为未知数，用含未知数的式子表示MC和DM，在直角三角形DCM中应用勾股定理列方程，解出未知数后计算DM。
【解析】
解：
∵矩形ABCD中，AB=4，AD=5，⊙O与AD、AB、BC分别相切于E、F、G三点，
∴⊙O的半径r=AB÷2=2（圆与AB、AD、BC相切，圆心到这三边的距离均为半径，故直径等于AB的长度），
∴AE=2，
∴DE=AD - AE=5 - 2=3。
根据切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，
∴DN=DE=3，MN=MG。
设MG=x，则MN=x，
∵BG=2，BC=AD=5，
∴BM=BG + MG=2 + x，
∴MC=BC - BM=5 - (2 + x)=3 - x，
又
∵DM=DN + MN=3 + x，
在Rt△DCM中，∠C=90°，由勾股定理得：
DC² + MC² = DM²，其中DC=AB=4，代入得：
4² + (3 - x)² = (3 + x)²，
展开计算：16 + 9 - 6x + x² = 9 + 6x + x²，
化简得：25 - 6x = 9 + 6x，
移项得12x=16，解得x=4/3，
∴DM=3 + x=3 + 4/3=13/3。
【答案】
$\frac{13}{3}$
【知识点】
切线长定理、矩形性质、勾股定理
【点评】
本题综合运用矩形性质、切线长定理和勾股定理，核心是利用切线长定理转化线段长度，通过设未知数列方程求解，体现了数形结合与方程思想，属于中等难度的几何综合题。
【难度系数】
0.5
首先根据矩形与圆相切的性质确定圆的半径，再利用切线长定理得到相关线段的等量关系，最后通过勾股定理建立方程求解DM的长度。具体思路：1. 由圆与矩形三边相切，求出圆的半径，进而得到DE的长度；2. 依据切线长定理，得到DN=DE、MN=MG的等量关系；3. 设MG为未知数，用含未知数的式子表示MC和DM，在直角三角形DCM中应用勾股定理列方程，解出未知数后计算DM。
【解析】
解：
∵矩形ABCD中，AB=4，AD=5，⊙O与AD、AB、BC分别相切于E、F、G三点，
∴⊙O的半径r=AB÷2=2（圆与AB、AD、BC相切，圆心到这三边的距离均为半径，故直径等于AB的长度），
∴AE=2，
∴DE=AD - AE=5 - 2=3。
根据切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，
∴DN=DE=3，MN=MG。
设MG=x，则MN=x，
∵BG=2，BC=AD=5，
∴BM=BG + MG=2 + x，
∴MC=BC - BM=5 - (2 + x)=3 - x，
又
∵DM=DN + MN=3 + x，
在Rt△DCM中，∠C=90°，由勾股定理得：
DC² + MC² = DM²，其中DC=AB=4，代入得：
4² + (3 - x)² = (3 + x)²，
展开计算：16 + 9 - 6x + x² = 9 + 6x + x²，
化简得：25 - 6x = 9 + 6x，
移项得12x=16，解得x=4/3，
∴DM=3 + x=3 + 4/3=13/3。
【答案】
$\frac{13}{3}$
【知识点】
切线长定理、矩形性质、勾股定理
【点评】
本题综合运用矩形性质、切线长定理和勾股定理，核心是利用切线长定理转化线段长度，通过设未知数列方程求解，体现了数形结合与方程思想，属于中等难度的几何综合题。
【难度系数】
0.5
12. [教材改编]如图,$\odot O$的半径是4,$PA$、$PB$分别与$\odot O$相切于点$A$、$B$,若$PA$与$PB$之间的夹角$∠ APB=60°$.
(1)若点$C$是圆周上的一动点,$∠ ACB$的大小为定值吗?若是定值,请求出它的度数.
(2)求$△ ABP$的周长.
(1)若点$C$是圆周上的一动点,$∠ ACB$的大小为定值吗?若是定值,请求出它的度数.
(2)求$△ ABP$的周长.
答案
12. (1) 当点C在优弧AB上时,$∠ ACB=\frac{1}{2}∠ AOB=60^{\circ },$
当点C在劣弧AB上时,$∠ ACB=180^{\circ }-60^{\circ }=120^{\circ };$
(2) $△ ABP$的周长是$12\sqrt{3}.$
当点C在劣弧AB上时,$∠ ACB=180^{\circ }-60^{\circ }=120^{\circ };$
(2) $△ ABP$的周长是$12\sqrt{3}.$
解析
【分析】
要解决这道题，需结合圆的切线性质、圆周角定理及切线长定理分析：
(1) 先通过切线性质求出圆心角∠AOB的度数，再根据圆周角定理，分点C在优弧AB和劣弧AB两种情况，计算对应的∠ACB，判断是否为定值；
(2) 利用切线长定理得PA=PB，结合角平分线性质和直角三角形的性质求出PA的长度，再根据∠APB=60°判断△ABP为等边三角形，进而计算周长。
【解析】
(1) 连接OA、OB，
∵ PA、PB是⊙O的切线，
∴ OA⊥PA，OB⊥PB，即∠OAP=∠OBP=90°。
在四边形OAPB中，内角和为360°，已知∠APB=60°，
∴ ∠AOB=360° - ∠OAP - ∠OBP - ∠APB = 360° - 90° -90° -60° =120°。
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
当点C在优弧AB上时，∠ACB = 1/2∠AOB = 1/2×120°=60°；
当点C在劣弧AB上时，∠ACB与优弧AB所对的圆周角互补，即∠ACB=180°-60°=120°。
故∠ACB不是定值，度数为60°或120°。
(2) 由切线长定理可知，PA=PB，且OP平分∠APB，
∵ ∠APB=60°，
∴ ∠APO=1/2∠APB=30°。
在Rt△OAP中，OA=4，∠OAP=90°，∠APO=30°，
∴ OP=2OA=8，由勾股定理得：
PA=√(OP² - OA²)=√(8² -4²)=√48=4√3，
∴ PA=PB=4√3。
又
∵ ∠APB=60°，PA=PB，
∴ △ABP是等边三角形，AB=PA=4√3。
因此，△ABP的周长=PA+PB+AB=4√3 +4√3 +4√3=12√3。
【答案】
(1) ∠ACB不是定值，度数为60°或120°；(2) 12√3
【知识点】
圆周角定理，切线的性质，切线长定理
【点评】
本题结合切线性质、圆周角定理和切线长定理考查圆的相关计算，需注意点的位置对圆周角的影响，解题时要分情况讨论，同时熟练运用直角三角形的性质和等边三角形的判定，属于中等难度的圆相关题型。
【难度系数】
0.5
要解决这道题，需结合圆的切线性质、圆周角定理及切线长定理分析：
(1) 先通过切线性质求出圆心角∠AOB的度数，再根据圆周角定理，分点C在优弧AB和劣弧AB两种情况，计算对应的∠ACB，判断是否为定值；
(2) 利用切线长定理得PA=PB，结合角平分线性质和直角三角形的性质求出PA的长度，再根据∠APB=60°判断△ABP为等边三角形，进而计算周长。
【解析】
(1) 连接OA、OB，
∵ PA、PB是⊙O的切线，
∴ OA⊥PA，OB⊥PB，即∠OAP=∠OBP=90°。
在四边形OAPB中，内角和为360°，已知∠APB=60°，
∴ ∠AOB=360° - ∠OAP - ∠OBP - ∠APB = 360° - 90° -90° -60° =120°。
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
当点C在优弧AB上时，∠ACB = 1/2∠AOB = 1/2×120°=60°；
当点C在劣弧AB上时，∠ACB与优弧AB所对的圆周角互补，即∠ACB=180°-60°=120°。
故∠ACB不是定值，度数为60°或120°。
(2) 由切线长定理可知，PA=PB，且OP平分∠APB，
∵ ∠APB=60°，
∴ ∠APO=1/2∠APB=30°。
在Rt△OAP中，OA=4，∠OAP=90°，∠APO=30°，
∴ OP=2OA=8，由勾股定理得：
PA=√(OP² - OA²)=√(8² -4²)=√48=4√3，
∴ PA=PB=4√3。
又
∵ ∠APB=60°，PA=PB，
∴ △ABP是等边三角形，AB=PA=4√3。
因此，△ABP的周长=PA+PB+AB=4√3 +4√3 +4√3=12√3。
【答案】
(1) ∠ACB不是定值，度数为60°或120°；(2) 12√3
【知识点】
圆周角定理，切线的性质，切线长定理
【点评】
本题结合切线性质、圆周角定理和切线长定理考查圆的相关计算，需注意点的位置对圆周角的影响，解题时要分情况讨论，同时熟练运用直角三角形的性质和等边三角形的判定，属于中等难度的圆相关题型。
【难度系数】
0.5
13. 如图,$AB$是$\odot O$的直径,$AM$和$BN$是它的两条切线,$DE$切$\odot O$于点$E$,交$AM$于点$D$,交$BN$于点$C$,连接$OD$、$BE$.
(1)求证:$OD// BE$;
(2)如果$AD=2\ \mathrm{cm}$,$BC=8\ \mathrm{cm}$,$F$为$CD$的中点,连接$OF$,求$OF$的长.
(1)求证:$OD// BE$;
(2)如果$AD=2\ \mathrm{cm}$,$BC=8\ \mathrm{cm}$,$F$为$CD$的中点,连接$OF$,求$OF$的长.
答案
13. (1) 证明略. (2) $OF=5$ cm.
解析
【分析】
(1) 要证明OD//BE，需结合切线性质、全等三角形判定及圆心角与圆周角的关系。先利用切线长定理和HL证得Rt△OAD≌Rt△OED，得到OD平分∠AOE；再根据同弧所对圆心角是圆周角的2倍，推出∠AOD=∠ABE，由同位角相等证平行。
(2) 求OF的长，先通过切线长定理得AD=DE、BC=CE，算出DC的长度；再作辅助线DG⊥BN构造直角三角形，用勾股定理求出AB的长度；最后利用直角梯形中位线性质，结合O是AB中点、F是CD中点，计算OF的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵ AM、DE是⊙O的切线，OA、OE为⊙O半径，
∴ OA⊥AM，OE⊥DE，且OA=OE，
在Rt△OAD和Rt△OED中，
$\{\begin{array}{l} OA=OE \\ OD=OD \end{array} $
∴ Rt△OAD≌Rt△OED（HL），
∴ ∠AOD=∠EOD=$\frac{1}{2}$∠AOE，
∵ 弧AE所对的圆心角为∠AOE，圆周角为∠ABE，
∴ ∠AOE=2∠ABE，
∴ ∠AOD=∠ABE，
∴ OD//BE（同位角相等，两直线平行）。
(2) 解：
过点D作DG⊥BN于点G，
∵ AM、BN、DE均为⊙O的切线，
∴ AD=DE=2cm，BC=CE=8cm，AB⊥AM，AB⊥BN，
∴ DC=DE+CE=AD+BC=2+8=10cm，
又
∵ DG⊥BN，AM//BN，
∴ DG=AB，∠DGC=90°，
∴ GC=BC - AD=8-2=6cm，
在Rt△DGC中，由勾股定理得：
DG=$\sqrt{DC^2 - GC^2}$=$\sqrt{10^2 -6^2}$=8cm，
∴ AB=DG=8cm，
∵ O是AB中点，F是CD中点，在直角梯形ABCD中，OF为梯形中位线，
∴ OF=$\frac{1}{2}(AD + BC)$=$\frac{1}{2}(2+8)$=5cm。
【答案】
(1) OD//BE得证；(2) OF的长为5 cm。
【知识点】
切线的性质、平行线的判定、直角梯形中位线
【点评】
本题综合考查圆的切线性质、全等三角形、平行线判定及梯形中位线的应用，解题关键是利用切线长定理转化线段，结合辅助线构造直角三角形求高，再用中位线性质计算，属于中等难度的几何综合题。
【难度系数】
0.4
(1) 要证明OD//BE，需结合切线性质、全等三角形判定及圆心角与圆周角的关系。先利用切线长定理和HL证得Rt△OAD≌Rt△OED，得到OD平分∠AOE；再根据同弧所对圆心角是圆周角的2倍，推出∠AOD=∠ABE，由同位角相等证平行。
(2) 求OF的长，先通过切线长定理得AD=DE、BC=CE，算出DC的长度；再作辅助线DG⊥BN构造直角三角形，用勾股定理求出AB的长度；最后利用直角梯形中位线性质，结合O是AB中点、F是CD中点，计算OF的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵ AM、DE是⊙O的切线，OA、OE为⊙O半径，
∴ OA⊥AM，OE⊥DE，且OA=OE，
在Rt△OAD和Rt△OED中，
$\{\begin{array}{l} OA=OE \\ OD=OD \end{array} $
∴ Rt△OAD≌Rt△OED（HL），
∴ ∠AOD=∠EOD=$\frac{1}{2}$∠AOE，
∵ 弧AE所对的圆心角为∠AOE，圆周角为∠ABE，
∴ ∠AOE=2∠ABE，
∴ ∠AOD=∠ABE，
∴ OD//BE（同位角相等，两直线平行）。
(2) 解：
过点D作DG⊥BN于点G，
∵ AM、BN、DE均为⊙O的切线，
∴ AD=DE=2cm，BC=CE=8cm，AB⊥AM，AB⊥BN，
∴ DC=DE+CE=AD+BC=2+8=10cm，
又
∵ DG⊥BN，AM//BN，
∴ DG=AB，∠DGC=90°，
∴ GC=BC - AD=8-2=6cm，
在Rt△DGC中，由勾股定理得：
DG=$\sqrt{DC^2 - GC^2}$=$\sqrt{10^2 -6^2}$=8cm，
∴ AB=DG=8cm，
∵ O是AB中点，F是CD中点，在直角梯形ABCD中，OF为梯形中位线，
∴ OF=$\frac{1}{2}(AD + BC)$=$\frac{1}{2}(2+8)$=5cm。
【答案】
(1) OD//BE得证；(2) OF的长为5 cm。
【知识点】
切线的性质、平行线的判定、直角梯形中位线
【点评】
本题综合考查圆的切线性质、全等三角形、平行线判定及梯形中位线的应用，解题关键是利用切线长定理转化线段，结合辅助线构造直角三角形求高，再用中位线性质计算，属于中等难度的几何综合题。
【难度系数】
0.4
